큰 수
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1. 개요[편집]
수가 무한히 존재하는 만큼 큰 수는 밑도 끝도 없이 많으며, 이 문서에서는 큰 수를 표기하는 여러 명칭에 대해 다루고 있다.
'크다'는 말 자체가 상대적이고 수가 무한히 존재하기 때문에, 정확한 정의는 없다. 그리고 수가 크면 클수록 유의미하게 차이난다의 기준도 달라지는데, 예를 들어 산술적으로는 같은 10 차이여도 1과 11은 유의미한 차이로 취급되지만 100000과 100010은 정밀성이 요구되는 경우를 제외하면 그다지 유의미한 차이로 취급되지 않는다. 수가 더 커져서 자릿수도 10000자리쯤 넘어가면 2배씩 늘어나는 건 의미없다. 구골플렉스처럼 자릿수를 자연수로 쓰기조차 버거워지면 보통은 지수 탑을 쌓기 시작하며 이 때부터는 지수 탑을 쌓는 것조차도 크게 의미를 가지기 힘들다. 즉 자릿수가 극단적으로 늘어나버리면 100을 더하든 100을 곱하든 그게 그거다. 관련해선 Fast-growing hierarchy 문서나 유효한 가장 큰 수 문서를 참조하면 된다. 그런데 현실에서는 스케일에 비해 너무 지나치게 크거나 작으면 얼마나 크든 작든 그리 차이나지 않는다. 예를 들어 재산이 1000억 원이 있든 1000조 원이 있든 어차피 수명 내로 다 쓰지도 못한다.
인간은 10억 = 109대 정도의 수까지는 일상에서 접할 수 있어서[3] 그 크기가 대략은 가늠이 가지만 1조 = 1012 정도의 수만 되어도 감각적으로 경험하기 어려워[4] 사실상 동그라미 갯수가 많아진 것 뿐이지 현실적인 감이 없다. 그래서 우주의 크기나 원자의 개수, 우주의 나이나 게임에서 확률적 경우의 수[5] 등이 얼마나 큰 수인지 직관적으로 판단하기 어렵다. 의외로 우주나 원자같은 우리가 볼 때 거대하거나 작은 것이 아니라도 기하급수적으로 늘어나는 것들은 무한하지 않더라도 우주 그 이상으로 충분히 커진다. 단적인 예로 52장 트럼프 카드만 해도 이를 섞는 방법이 52! 가지 = 약 8 × 1067[6] 조합도 넘게 되어[7] 골고루 섞은 트럼프 덱의 조합은 인류가 트럼프 카드를 사용한 이래 한 번도 나온 적이 없는 유일한 조합이다.[8] 당연히 푸앵카레 재귀시간동안 배열 가능한 입자의 경우의 수처럼 기하급수적인 것 중에서도 극단적으로 큰 경우는 말이 필요없고, 원자의 배열 가능한 경우의 수만 해도 구골플렉스 수준으로 크다. 아니, 큐브, 체스, 바둑만 해도 가능한 경우의 수는 구골을 넘는다. 경우의 수와 관련된 거대수는 푸앵카레 재귀시간까지가 한계고 수학적 거대수는 홀수 완전수부터 시작해서 그레이엄 수, TREE(3) 등 상상조차 못할 큰 수들도 많이 있다.
10진법을 주로 사용하기 때문에 큰 수 단위도 대체로 10n 형태로 만들어지지만 구골플렉스 정도를 넘어가면 그런 경향은 크게 줄어든다. 어차피 10n 형태여도 n을 자연수로 적는 것조차 버거워지기 때문이다.[9]
설령 인간이 경험할 수 있는 것을 넘어서서 물리학적으로 의미 있는 수치들인 플랑크 단위부터 푸앵카레 재귀시간까지도 자연수로 표시할 수는 없겠지만[10] 충분히 지수로 표시할 수 있는 수준이고 그나마 지수로 표시할 수 없을 정도로 큰 그레이엄 수와 TREE(3) 정도는 이미 수학적으로 의미 있는 수 중에서 가장 큰 정도이다. 그 이상부터는 실용성은 떨어진다. 참고로 푸앵카레 재귀시간동안 플랑크 길이 하나의 차이도 없이 우주에 배열될 수 있는 움직이는 입자의 경우의 수까지만 해도 충분히 지수로 표시할 수 있다.[11] 다중우주의 개수와 푸앵카레 재귀시간의 길이에 따라 입자의 배열 가능 수는 기하급수적으로 증가하긴 하지만 다중우주가 G(63)개여도 그 배열 가능한 경우의 수는 그레이엄 수보다 적다. 즉 정확히 알수는 없지만 다중우주가 무한개가 아니라면 그레이엄 수를 넘기는 힘든 것이다.
작은 수와 비교하자면 작은 수는 값이 0에 가까워지거나 음수의 영역에서 절댓값이 커지는 것인 반면 큰 수는 값이 무한대에 가까워지는 게 아니라 절댓값이 커지는 것이다. 유한한 이상 무한대에 절대 가까워질 수 없고, 그에 따라 가장 큰, 두번째로 큰, 유한 번째로 큰 유한한 수는 있을 수 없다. 그리고 작은 수는 확률이 아니라면 플랑크 단위가 유한하면서도 실용성이 있고 반면 실용성이 없는 것은 생각도 안 하는 데에 비해 큰 수는 실용성이고 뭐고 그레이엄 수 이상부터는 말 그대로 숫자 놀이에 불과해진다.
2. 상세[편집]
2.1. 과거의 큰 수[편집]
과거에는 '억'이라 하면 '만의 만 배'가 아니라 '만의 열 배', 즉 오늘날의 10만을 의미했다.[12] 그래서 오래된 번역이 남아있는 성경의 요한묵시록을 보면 마병대의 수를 가리켜 2만만이라고 한다.
후한의 학자 서악이 쓴 수술기유(數術記遺)에는 큰 수의 끝이 재이며 이는 중국에서 나온 수의 개념 중 제일 크다. 하지만 큰 수를 세는 법을 3개로 나누었는데[13] 하나는 10만을 억, 10억을 조로 세는 방식이고, 또 하나는 1만만을 억, 1만만억(즉 1억억)을 조, 1만만조(즉 1억조)를 경으로 하여 108마다 단위가 바뀌는 방식이며, 마지막은 1만만을 억, 1억억을 조 등으로 하여 단위가 바뀔 때마다 전 단위의 제곱이 되는 방식이다. 이렇게 하면 가장 큰 수인 재는 104096([math(10^{2^{12}})])까지 커진다. 이는 '다바라'와 '계분' 사이의 수가 된다.
이후 불교에서 큰 수의 개념이 들어왔고 원나라 주세걸은 산학계몽(算學啓蒙)이란 책에 극 부터 무량대수 까지의 숫자를 기록했다. 그 외의 한자로 된 큰 수들은 화엄경에서 가져온 것들이다. 화엄경에서 부처의 깨달음을 설하기 위해 무턱대고 큰 수들을 열거했는데 그것이 한자의 큰 수들의 이름이 되었다.
서양의 경우 million은 13세기 이탈리아에서, billion은 17세기 영국에서 나타난 것으로 추정된다.
동아시아에서는 수당시대까지 재를 가장 큰 수로 보았다. 그 이후는 이름에서 느낄 수 있듯이 불경인 화엄경에서 나오는 수로, 산스크리트어를 한자어로 음차한 이름을 갖고 있는 수들이다.
2.2. 1부터 절대적 무한까지[편집]
계속 늘어나기도 하는 것은 볼드체로 표시, 늘어났다 줄어 들었다를 반복하기에 균형이 유지되는 것은 기울임체로 표시, 개인차가 있는 경우는 n~n 식으로 표시.
확실히 길이<부피=확률[14] <<경우의 수(연속확률)[15] <<<수학적 증명에 사용된 거대수<<<<수학적 거대수 순으로 비슷한 스케일 대비 평균 크기가 크다. 물론 경우의 수는 연속으로 하는 양과 확률이 충분히 낮아야 많이 커진다. 단적인 예로 동전을 100번 던져서 특정 패턴이 나올 확률은 지구상에서 랜덤한 모래알을 2개만 골랐을 때 서로 같을 확률과 비슷한 수준이다. 사실 아무리 연속으로 하더라도 확률이 충분히 높지 않다면 안 된다. 로또를 수천 번 사서 당첨될 확률이 50%를 넘겠는가? 그렇다고 동전을 100번 던져서 특정 패턴이 나올 확률이 로또 당첨률보다도 높겠는가? 아니다. 확률이 충분히 높아야 한다.
2.2.1. 물체의 수[편집]
2.2.2. 경우의 수[편집]
2.2.3. 수학적 거대수[편집]
2.2.4. 무한대[편집]
엄밀히 무한대는 수가 아니지만, 수와 유사하게 취급될 수 있다. 무한대는 어떤 유한한 수보다 크다.
참고로 마지막 수는 절대적 무한으로 말 그대로 모든 무한 중에서도 가장 큰 무한을 뜻한다. 가장 큰 무한대이나, 이 값에 도달하는 수는 수없이 많다. 수학적 논리로 불가능한 것이 일어나기까지의 시도 횟수가 대표적이다.[31] 하지만 크기의 제한이 절대적으로 존재하지 않는 무한이라서 그 값을 키우는 게 절대적으로 불가능하며 그에 따라 절대적 무한보다 큰 수가 있다는 것과 절대적 무한끼리 빼거나 나누거나 0으로 곱한 값이 있다는 것은 모순이다. 즉 절대적 무한에 도달하면 도달했지 그 값을 초과할 수는 없다는 뜻이다. 서로 빼거나 나누거나 0으로 곱하는 식으로 싸움을 붙이면 그 값은 부정형만큼이나, 아니 그 이상으로 정의할 수 없어진다. 애초에 절대적 무한이라는 게 다른 무한대를 아무리 더하거나 곱하는 식으로 키워도 논리적으로 크기가 허용되는 이상 절대로 도달할 수 없는 경지라서 절대적 무한 끼리의 크기 비교는 비논리에 속한다. 사실 컴퓨터로 이를 구현할 수는 있는데, 가령 그 어떤 값이든 확정적으로 0으로 만들어버리는 변수를 생각해보자. 자신이 무한대 혹은 NaN의 값을 가지더라도 해당 변수가 발동하는 순간 0이 된다. 이 변수를 절대적 무한으로 나누기라고 생각할 수 있다. 컴퓨터에서는 무한대를 0으로 곱하는 행위에 대해서 NaN을 던지지만 확정적으로 0으로 만들어버리는 변수에 대해서 확정적으로 0을 내민다.
3. 여러 큰 수의 이름[편집]
3.1. 유한[편집]
3.1.1. 수 단위[편집]
3.1.2. 수 단위 이외[편집]
너무 커서 실질적으로 수의 단위로 사용되지 않는 이름의 수들이다.
3.2. 무한[편집]
4. SI 접두어[편집]
국제단위계(SI)에서 큰 수 단위를 나타낼 때 사용하는 접두어는 다음과 같다.
5. 특이한 큰 수들[편집]
- ∞(무한대)?
고등학교에서 극한을 가르칠 때 무한대는 특정한 수가 아니라 계속해서 커지고 있는 상태라고 가르친다. 괜히 [math(\infty - \infty \neq 0)]가 아니다. 수가 아닌 상태이기 때문에 계산이 불가능하다. [math(\infty + \infty)], [math(\infty \times \infty)], [math(\infty ^{\infty})]은 모두 [math(\infty)]이고 [math(\infty - \infty)], [math(\displaystyle \frac{\infty}{\infty})]의 값은 다른 값이 주어지지 않으면 알 수 없다. 다른 수처럼 음양(±)의 경우는 존재하나, 이는 고등학생이 쉽게 개념을 이해할 수 있도록 하기 위한 것일 뿐, 엄밀한 수학적 표현은 아니다. 무한대가 정수나 실수 범위에 들어가지 않는 것은 맞지만 무한대는 무한집합의 원소의 "수"로 정의된다. 바로 아래의 알레프 문단을 참고할 것. 더 관심이 있다면 수학자 칸토어에 관해 알아보면 좋다.
- [math( \aleph )] (Aleph)
무한집합의 크기를 나타내는 수다. 자연수의 개수 = 유리수의 개수는 [math( \aleph_0 )](Aleph null)이며, 실수의 개수는 [math( 2^{\aleph_0} )]이다.[75] 좀 더 자세한 내용은 초한기수와 연속체 가설 문서 참조.
- 80,801,742,479,451,287,588,645,990,496,171,075,700,575,436,800,000,000
약 80항하사. 몬스터 단순군(Monster Simple Group)의 위수. 수학 정리에 나오는 독립적인 수 중에서 가장 큰 수이다.
어마어마한 시간을 비유적으로 나타내는 단위. 자세한 건 문서 참조.
해당 문서 참조. 그레이엄 수는 여전히 크지만 최근 연구로 인해 그레이엄 수 관련 문제의 새로운 상한선에 해당하는 소그레이엄 수(2↑↑↑6)가 나오면서 많이 작아졌다.[76]
그레이엄 수와 비슷한 경우다.
그레이엄 수 보다 더 큰 수로 많이 알려진 수이다. 그나마 그레이엄 수보다 큰데도 수학적인 의미가 있다.
- [math(\text{SSCG}(3))], [math(\text{SCG}(13))]
SSCG(Simple Subcubic graph)는 TREE 그래프와 달리 색칠을 하지 않는 그래프이며, 꼭 트리 형태의 그래프가 아니어도 된다. 이때 그래프를 순서대로 그려 나가며, [math(G_i)]는 최대 i+n개의 정점을 가질 수 있으며, 각 그래프에서 하나의 정점에는 3개의 간선이 연결될 수 있으며, 뒤의 그래프는 앞의 어떤 그래프도 포함해서는 안된다. 이때 포함이라 함은 간선에 연결된 정점을 제거하거나, 같은 간선 사이에 연결된 정점을 통합할 수 있으면 포함 관계가 성립한다.[78] 이때 정점이 하나도 없는 empty graph를 포함하여 n값에 따라 그릴 수 있는 최대의 그래프 수를 SSCG(n)으로 부른다. SSCG(0)=2, SSCG(1)=5이며, SSCG(2)는 대략 10^10^28 정도 되는 수이다. SSCG(3)의 약한 하한은 fgh로 [math(f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\omega^22}})}(10))] 정도이고,[79] 이는 TREE(3)의 추정치보다 더 큰 값이다. TREE(3)을 TREE(3)번 만큼 재귀한 것도 SSCG(3)에는 콧배기에도 얼씬거리기 못할 정도로 훨씬 더 큰 수다.[80] SSCG에서 조건을 완화시킨 SCG 함수도 존재하는데, SSCG에서 simple이 빠진 그냥 subcubic graph이고, 여기서는 SSCG와 달리 정점에 간선을 루프로 연결하는 것이 허용된다.[81] SCG(0)=6이며, SCG(1)부터 그레이엄 수를 아득히 초과한다. 그레이엄 수는 물론 fgh의 엡실론 단계를 통과한다. SCG(2)는 SVO를 넘어서며, TREE를 재귀로 넘어설 수 있을 정도로 커진다. 당연히 SCG(3)은 SSCG(3)보다 크며,[82] 그래도 BIGG 보다 작다.[83] 게다가 계산 가능한 수이기 때문에 나중에는 바쁜 비버 함수와 같은 계산 불가능 함수한테도 초월 당하게 된다.[84]
- 라요 수([math(\text{Rayo}(10^{100}))])
라요 수의 크기가 얼마나 되는지 아는 사람은 아무도 없다. 애초에 현재로서는 크기가 fgh 등으로 근사되는 것은 타르인타르 정도까지이다.[85] 그 이상인 로더의 수부터는 수치가 아니라 어떤 재귀적 이론에서 대각선화 되는지, 계산 가능성 유무에 따라 그 성장률을 예측할 뿐이다. 가령 바쁜 비버 함수 같은 계산 불가능한 함수는 계산 가능한 그 어떠한 함수보다 빨리 성장하다고 명시되어 있기 때문에 아무리 큰 수라도 유한한 계산 가능한 수라면 바쁜 비버 함수보다는 작다는 것을 알 수 있다.[86] 마찬가지로 라요 함수 역시 FOST(일차 집합론)로 구현 가능한 그 어떠한 함수보다 빨리 성장하다고 명시되어 있는 거나 마찬가지이기 때문에 바쁜 비버 함수는 물론, 고차 바쁜 비버 함수 더 나아가 무한시간 튜링 기계까지 압도한다는 것을 알 수 있다. 라요 수보다 큰 수인 피쉬 수 7, 거대수 정원수의 경우 피쉬 수 7은 고차 라요 함수를 사용하였기 때문에 당연히 라요 수보다 월등히 크고 거대수 정원수는 아예 고차 집합론을 뛰어넘은 일차이론의 개념을 사용하였기 때문에 라요 수는 물론 피쉬 수 7까지 압도한다는 사실을 알 수 있다.[87]
- co피쉬 수 7
크기에 대한 오해가 많은 수이다. 당장 이 문서에서도 co피쉬 수 7과 거대수 저택수가 비슷한 크기인 것으로 적혀 있었지만 이는 완전히 사실과 다르다. 흔히 오해 하는게 바쁜 비버함수는 ZFC 공리계로 정의할 수 없는 수라고 생각하는데 BB(748) 이상의 값은 ZFC 공리계에서 알 수 없다는 것이지 바쁜 비버 함수 748의 값 자체는 잘 정의된 하나의 자연수이다. 제작자의 말에 따르면, co피쉬 수 7은 이렇게 ZFC 공리계에서 공식화할 수 있는 계산 불가능한 수 중 가장 큰 수에 해당한다. 따라서 바쁜 비버함수는 물론이고 고차 바쁜 비버 함수를 사용한 피쉬 수 4보다도 아득히 큰 수이다. 라요 수나 피쉬 수 7 , 거대수 정원수는 ZFC 공리계에서 정의 내릴 수 없는 수이다.
- 최소 초월정수(Transcendental integer)
TREE(3), SSCG(3), SCG(13)으로 유명한 Harvey Friedman이 만들어낸 엄청나게 큰 수이다.
이 수의 정의는 최대 21000개의 기호로 ZFC 공리계에서 정지한다는 것을 증명할 수 있는 튜링 머신 m이 있다면 그 튜링 머신은 n 단계에서 정지한다. 다시 말해 n은 21000개 이하의 기호로 ZFC 공리계 내에서 정지성을 증명할 수 있는 모든 튜링 머신의 정지시간보다 크거나 같다. 이때 n 이상의 모든 정수는 초월정수이며 n을 최소 초월 정수라고 한다.
최소초월 정수부터 그 성장률이 ZFC의 증명서수일 것으로 예측된다. 그렇기 때문에 최소 초월정수부터 계산 가능한 가장 큰 클라스라고 볼 수 있다. 너무나 당연하게도 TarinTar와 같은 계산 가능한 수중에서 최후반부에 있는 수들을 우주가 끝날 때까지 끝없이 재귀해도 티끌만큼도 도달하지 못할 것이다.
이 수의 정의는 최대 21000개의 기호로 ZFC 공리계에서 정지한다는 것을 증명할 수 있는 튜링 머신 m이 있다면 그 튜링 머신은 n 단계에서 정지한다. 다시 말해 n은 21000개 이하의 기호로 ZFC 공리계 내에서 정지성을 증명할 수 있는 모든 튜링 머신의 정지시간보다 크거나 같다. 이때 n 이상의 모든 정수는 초월정수이며 n을 최소 초월 정수라고 한다.
최소초월 정수부터 그 성장률이 ZFC의 증명서수일 것으로 예측된다. 그렇기 때문에 최소 초월정수부터 계산 가능한 가장 큰 클라스라고 볼 수 있다. 너무나 당연하게도 TarinTar와 같은 계산 가능한 수중에서 최후반부에 있는 수들을 우주가 끝날 때까지 끝없이 재귀해도 티끌만큼도 도달하지 못할 것이다.
- 거대수 정원수(巨大数庭園数), (large number garden number)
이 분야의 끝판왕. 앞예서 얘기했던 모든 유한한 수가, 이 수에 비교하면 0이나 다름없다. 정의가 이것저것 복잡하지만, 이 수는 1차 우주 이론 U를 사용하는데, U(0)는 이전에 사용했던 지금까지 거대수를 만들기 위한 모든 이론이 다 포함된다. 그렇게 되면 당연히 바로 전단계의 수인 피쉬 수 7에 사용된 이론으로 U(0)를 따라잡는 게 매우 어려워진다. 즉 U(1)은 이러한 U(0)으로 만들 수 있는 모든 이론을 초월한다. 사실 더 나아갈 거 없이 모든 거대수 (계산 불가능한 수 포함 )는 U(1)의 벽을 넘을 수가 없다. 그리고 U(2)는 U(1)에서 만들어질 수 있는 모든 이론을 다 초월한다... 최종적으로 U(e0)을 사용한 것이 거대수 정원수이다. 함수는 [math(f^{10}(10↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑10))]인데 이 f 함수는 U 함수를 또다시 아득히 초월한다... 이정도면 무한이 아닐까 생각이 들지만 분명히 유한한 수이기 때문에 이보다 큰 수 또한 무한히 존재한다. 다만 거대수 정원수에서 만든 개념이나 수의 크기 자체가 워낙 거대하기 때문에 거대수 정원수보다 아무리 큰 수라도, 거대수 정원수의 성장률을 감안하면 제자리 걸음이나 마찬가지일 것이다.
5.1. 인위적으로 창조된 큰 수[편집]
인위적으로 창조된 큰 수의 단위는 아주 많다. 그 중에는 수학적으로 매우 복잡한 정의를 세워 만들어진 것들도 있다. 하지만, 그레이엄 수나 TREE(3) 등과는 달리 특정한 수학적 의미 없이 임의로 창조된 수들이 절대다수이기에 크게 가치가 있는 것은 아니다.
2000년대 후반에는 네이버 지식iN으로 큰 수의 단위를 탐구하는 것이 유행하였다. 당시는 G(64)의 개념을 이해하지 못하는 사람들이 많았고 2010년대부턴 이를 이용해 출처도 정의도 다 없음에도 일단은 그레이엄 수보다 크다는 정체불명의 수들이 멋대로 퍼졌다. 악순환의 시초 이런 가짜 단위들이 퍼지면 누군가가 거기에 지어낸 수들을 마구마구 덧붙여서 새로 퍼뜨리는 식(...) 물론 동심파괴 좀 하자면, 그레이엄플렉스, 시안의 경우 각각 G(G(64)), G(G(G(64)))로 정의할 수 있지만, 하이퍼기굼바버스 같이 듣기만 해도 오글거리는 수 따위 실제로 존재하지 않으므로, 낚일 일은 없겠지만 알아두자.[88] 2010년대 후반 이후부터는 이런 무의미한 질문이 많이 사라진 듯하다. 물론 인터넷 떡밥이라 재미는 있을 수도.
서양인들은 아예 큰 수를 만들어내는 구골로지(googology)라는 유사학문을 만들어내어, 의미 없는 큰 수의 단위들을 만들어내는 놀이를 즐기기도 하였다. 위에 나온 큰 수들 중 상당수는 그렇게 장난으로 만들어진 수들이다. 말 그대로 대수학(大數學). 이런 곳에 언급된
그런데 이런 논의가 완전히 무의미하지는 않은 것이, 실제로 거대수가 수리논리학의 한 분야인 증명론(proof theory)에서 의미 있게 쓰이는 경우가 있기 때문이다. 예를 들어 Goodstein sequence나 Tree function은 페아노 공리계(PA)나 유사한 공리계에서 구성 가능한 모든 일반 재귀함수(general recursive function)보다 빠르게 증가하므로 이들 공리계에서 이 함수들에 관한 여러 정리가 증명불가능하다는 식의 결과를 낼 수 있다고 한다. 바쁜 비버 문서도 참조.
그런데 주의 할 점은 이런 큰 수들은 대부분 출처가 googology 사이트인데 거기서도 omega fixed point 이상의 수들은 잘못 표기되거나 정의된 경우가 많다는 것이다. 왜냐 하면 그 이상은 rathjen의 함수를 주로 사용하는데 이해하기 어려워서 대부분의 유저들이 그저 본인들의 편의에 맞춰 적당하게 큰 수를 표시하는 경우가 대부분이다.사실 Taranovsky's C 함수를 사용한 tar 함수들도 엄청나게 큰 수라고 예측되고는 있지만 완전히 잘 정의된 것은 아니다. 다만 현재 가장 큰 계산가능 수는 최소 초월 정수나, 거대수 저택수이며 이는 잘 정의된 수이다.
6. 외부 링크[편집]
- 큰 수들 텍사스 대학교 오스틴의 교수인 스콘 아론손의 글.
- 영어 이름의 경우 [math(1)]부터 [math({10}^{10000})]까지의 수 이름을 서술해놓은 사이트가 있다.
- 구골플렉스 이후의 저 특이한 수들이 뭔지 궁금하면 Googology Wiki의 큰 수 목록으로 가보라. 큰 수란 큰 수는 모두 모아놨고 또 자세히 설명하고 있다. 위 표의 수들은 극히 일부만 가져온 것인데, 실제로는 20페이지 구성이며 분량도 엄청 많다.
- 인피니티 스크래퍼즈라고 Meameamealokkapoowa oompa까지의 큰 수 목록을 정의했던 글이 있다. 이 글이 작성된 시기는 2000년대 후반이었고 당시는 끽해야 그레이엄 수보다 큰 수 따위는 상상하지도 않던 때였다. 게다가 이제는 그보다도 더 큰 수들을 정의하면서 페이지를 추가로 갱신하여, 마침내 Oblivion 시스템으로 BIG FOOT까지 최종 등록한 듯하다.
그런데 어차피 Oblivion 시스템에서 작성자가 만든 Oblivion이나 utter Oblivion은 물론이고 BiG FOOT도 잘못 정의된 수라는 것이 밝혀졌기 때문에 의미 없다. 사실 BEAF 중간부터가 전부 잘못 정의되어 있기도 하지만.Little FOOT은 제대로 정의해놓고...
7. 관련 문서[편집]
- 수
- 영어/수 단위
- 작은 수
- 천문학적
- 초인플레이션
- 큰 수의 법칙
- 테트레이션
- 커누스 윗화살표 표기법
- 콘웨이 연쇄 화살표 표기법
- Fast-growing hierarchy
- Bowers Exploding Array Function
- 유효한 가장 큰 수
- 무한대
- 오조오억
- 구골
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[1] 하지만 일부 수의 비교가 잘못 되었다. 먼저 그레이엄 수 부터 TREE(3) 사이에 있는 fgh 표기가 잘못 되었다. 영상에서의 [math(f_{\phi}(1))]와 같은 표기는 배블런 함수를 사용한 것으로 보이나, 밑첨자가 없는 등 표기의 오류가 많다. 이 영상에서 나온 TREE(3)의 추정 역시 잘못 정의되었다. TREE(3)의 실제 추정 값은 [math(f_{\theta(\Omega^\omega\omega)}(3))]이상인데, 이것과 매우 차이난다. 영상에선 fgh라고 했지만 f를 기호로 쓰는 다른 함수와 착각한 것으로 보인다. 그리고 초한수에서도 불가산 서수인 [math(\omega_1)]이 [math({Γ_0})] 보다 훨씬 크다. 절대적 무한 앞에 [math(\omega_1)]이 오는 게 맞다. 그리고 피쉬 수랑 거대수 정원수등 빠진 수도 많다.[2] 이 영상도 0부터 절대적 무한까지 보여주지만 이 영상 역시 빠진 수를 피하지는 못했다.[3] 한 가지 예시로 10억 초는 약 31년 8개월이다.[4] 그나마 일상에서 접하는 가장 밝은 밝기인 햇빛은 맨눈으로 볼 수 있는 가장 어두운 밝기인 6등성보다 10조(=1013)배 정도 밝다. 지수로 표현하기 시작하는 1000조 = 1015부터는 게임을 제외하면 일상에서 접할 수 있을 리가 없다.[5] 일부 스케일이 큰 게임의 경우 확률이 아닌 능력치에 심지어 게임 아이템 드랍률마저도 조 단위를 넘어간다. 아이템 드랍률 10억 분의 1까지는 의외로 잘 보인다. 어떤 게임은 구골플렉스까지 나온다. 애초에 이런 건 연속확률분포가 아닌 이상 단 하나의 변수로 가능한 최소한의 확률은 5×10-324정도에 불과하기 때문에 충분히 작지 않아서 연속적으로 맞아야 하는 조건을 늘리지 않는 이상 저 정도까지 설정하는 것도 불가능하다. 하지만 반대로 연속적으로 맞아야 하는 조건을 많이 늘리면 구골플렉스 정도는 쉽게 넘어간다.[6] 약 8000불가사의[7] 거의 1무량대수.[8] 물론 극히 낮은 확률로 나왔던 조합이 나올 수도 있으나 태어나서 죽을 때까지, 심지어 전세계 인류도 모자라 관측 가능한 우주를 지구로 채워서 빠짐없이 트럼프 카드만 섞어도 로또 1등에 당첨될 확률보다도 훨씬 낮다. 물론 전세계 인류가 빠짐없이 로또를 사서 전부 1등에 당첨될 확률보다는 훨씬 높다. 확률을 가진 것이 연속으로 일어날 확률은 기하급수적으로 감소하기 때문이다. 뽑은 경우의 수를 넣고 다시 뽑든 버리고 다시 뽑든 확률이 너무 낮아지면 가까워진다. 그리고 확률이 낮고 시도 횟수가 적을수록 확률이 얼마나 심히 낮든 크게 차이나지 않는다. 즉 확률이 낮아질수록 독립시행과 독립시행이 아닌 것이 서로 가까워지며 동시에 확률이 낮은 것과 더 낮은 것의 차이 역시나 시도 횟수에 비례해서 가까워진다. 그 말은 1억 분의 1이나 1조 분의 1이나 시도 횟수가 적다면 사실상 똑같다.[9] 이는 인간이 아니라 외계인이라도 수가 너무 커지면 마찬가지일 것이다. 어차피 다중우주가 있다고 치고 법칙 또한 자유자재로 바꿀 수 있다고 해도 저걸 다 쓰는 것은 상상조차 못할 일이다.[10] 플랑크 단위는 예외.[11] 모든 입자의 속력은 광속 이하이기 때문이다. 빛의 속도에 한없이 가까워질 때의 질량이라면 모를까 G(64)를 넘을 수 있을 리가 없다.[12] 춘추전국시대 때 중국 각 나라의 인구를 일컫는 말로 억조창생이란 성어가 있다. 현대 중국의 인구가 이제 13억이니 춘추전국시대의 인구가 진짜로 억, 조 단위를 찍었을 리는 없고, 그 시대에는 만 다음이 십만, 백만이 아니라 바로 억, 조였던 것. 당시 중국 전체 인구가 수천만 명 수준이었으니 각 나라의 인구는 실제로 수백만 정도였을 것이다.[13] 네이버캐스트 참고.[14] 비슷한 스케일의 길이의 세제곱.[15] 비슷한 스케일의 길이의 n제곱 이상. (여기서 n은 해당 길이의 스케일만큼) 보통은 몇 자리인지조차도 상상이 안가는만큼 크다. 물론 확률의 경우 1/n일 때 n의 값 한정. 그렇지 않으면 오히려 작은 수에 해당한다.[A] A B C D E F G H I J K L M 2019년 기준[B] A B C 2022년 기준[16] 현재 기준[17] 체중에 따라 갈린다.[18] 소행성 충돌 등으로 달라질 수 있다.[19] 참조[20] 최소 사이즈(21×21), 152 bit[21] 최대 사이즈(177×177), 23648 bit[22] 약 10240만[23] 약 10670만[24] 약 101500만[25] 약 106000만[26] 약 1024억[27] 약 105400억[28] 약 102조 4000억[29] 참고. 이마저도 생략된 항목들이 많다고 하니 실제로는 이보다도 훨씬 낮은 확률이다. 로또나 벼락은 당연, 입자 배열 경우의 수 따위에 비할 바가 안된다.[30] 푸앵카레 재귀정리란, 특정한 계는 충분한 시간이 지난 후에는 초기상태와 아주 가까운 상태로 회귀한다는 내용의 정리다. 이 정리에 의해 우주의 모든 입자가 우연히 빅뱅 당시와 같이 한 점에 모이는 상태도 언젠가는 거치게 되며, 이를 통해 또 다시 빅뱅이 일어나기까지 걸리는 예상 시간이 푸앵카레 재귀시간이다. 플랭크 시간부터 푸앵카레 재귀시간까지를 부피로 형상화한 영상 참고로 푸앵카레 재귀시간 동안에 배열 가능한 움직이는 입자의 경우의 수만 해도 지수 탑 4~5칸 정도면 충분하다.[31] 가장 대표적인 예시로는 A라는 양수를 특정 양수(이 때 무슨 양수이냐는 상관없다) 혹은 0으로 빼는 걸 반복해서 A의 크기가 커질 때까지의 시도 횟수가 되겠다. 그 외에도 실수끼리 더하거나 빼기만 해서 허수를 만들기까지의 시도 횟수도 된다.[32] 이는 현대 인도에서도 쓰이며 라크(lakh)라고 한다.[33] 이는 현대 인도에서도 쓰이며 크로레(crore)라고 한다.[34] 중국에서는, 해당 단어를 상당히 간절한 투로 부탁할 때에 사용하기도 한다.[S] A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y 미국, 현대 영국에서 쓰이는 단위인 Short scale[L] A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` a b c 유럽 대륙, 과거 영국에서 쓰는 단위인 Long scale[35] 현재 교육과정에 있는 가장 큰 수[36] 禾+予가 붙은 형태의 일본식 한자로, 원래는 秭. 자세한 것은 해당 문서 참고.[37] 갠지스 강의 모래알 만큼 많다는 뜻. 하지만 지구의 질량을 수소원자의 질량으로 나누어도 계산해보면 약 3.568×1051개로 약 3568극개가 된다[38] 아승기 역시 사용을 안 하지는 않으나 일반적으로는 빈파라로 사용한다.[39] 중국은 1068은 무량, 1072은 대수로 나뉜다. 한국처럼 둘을 합쳐서 무량대수로 부르는 것은 일본의 영향을 받은 것이기 때문. 그렇기에 일본도 해당 단위는 무량대수이다. 사실 밑에 무량이라는 단위가 하나 더 나오기는 하지만 어차피 둘 다 잘 안 쓰이는데다가 밑에 나오는 무량은 일본 유래 단어이기 때문에 중국에서는 별 신경을 쓰지 않는다.[40] 여기서부터 자연수로 표시하기 어렵다.[41] 천문학자 아서 스탠리 에딩턴이 관측 가능한 우주의 총 양성자 개수로 추측한 수이다. [math(N_\text{Edd})]로 표기한다.[42] 여기서부터 나오는 한자식 명칭은 전부 일본에서 유래한 명칭으로, 중국에서도 사용은 하지만 일본으로부터 수입해서 사용하는 것이다.[43] 참고로 10의 300제곱은 2의 1000제곱보다 약간(?) 작고 2의 1000제곱은 센틸리언보다 약간(?) 작다. 64비트 부동소수점의 한계보다는 이들이 꽤 많이 작다.[44] n비트의 값을 많이 올려도 커누스 윗화살표 표기법부터는 더 이상 재귀하는 등의 일반적인 방법으로는 쉽게 따라잡을 수 없다. n비트 정수형으로 표현할 수 있는 수는 2n보다 작고 n비트 부동소수점으로 표현할 수 있는 수는 [math(2^{2^{n-1}})]보다 작기 때문이다.[45] 10의 거듭제곱 형태로 나타내면 대략 1.7 x 10308이다.[46] 동시에 Microsoft Windows 계산기로 표현할 수 있는 한계이기도 하다.[47] The Game Theorists가 슈퍼 마리오 메이커에서 만들 수 있는 모든 레벨의 가짓수를 구하면서 나온 단어로, 슈퍼 마리오 메이커에서 만들 수 있는 레벨 수이다.[48] 1000조를 넘으면 e+로 표시하는 시스템에서도 오버플로가 뜨지 않는다는 가정 하에 e+n의 값조차도 e+로 표시하기 시작한다.[49] 푸앙카레 회귀시간 등을 제외하면 수학적인 의미 외에 다른 의미가 있는 마지막 수이다.[50] 마인크래프트 월드 전체에 베드락에서부터 y좌표 256까지 쌓을 수 있는 블록의 가능한 조합의 수이다.[51] 모든 우주가 처음 상태로 되돌아가기까지 걸리는 시간을 의미한다.[52] 여기서부터 커누스 윗화살표 표기법 이상을 쓰기에 크기가 상상을 초월한다.[53] 수가 클수록 유의미하게 차이난다는 것을 고려하면 이제 절반은 넘게 왔다.[54] 여기서부터 테트레이션 배열로 표기하기 어렵다.[55] 여기서부터 커누스 윗화살표 표기법만으로 표시하기 어렵다.[56] 여기서 부터 그레이엄 함수 G로 표기하기 까다로워진다.[57] 여기서 부 BEAF의 선형 배열로 표기하기 어렵다.[58] 여기서 부터 BEAF의 차원배열로 표기하기 어렵다.[59] 실제로 햄버거 이름 빅맥에서 따왔다고 한다.[60] 약한 하한은 [math(f_{\theta(\Omega_\omega)}(13))] BEAF로는 {13,13 / 2}정도로 추정된다. SCG(n) > SSCG(n)이고, SCG(n) ≤ SSCG(4n+3)이다.[61] Bewilderingly Incomprehensibly Ginormous Googolism[62] BEAF로 정의된 가장 큰 수.[63] [math(f_{C(C(C(\Omega_{3}2,0),0),0)}(3))]과 같다. BEAF와 SAN, BAN의 한계치는 이보다 매우 작다.[64] Taranovsky's C를 사용하여 만들어진 가장 큰 수다. Taranovsky's C가 얼마나 빠르게 성장하는 함수인지 확실한 증거는 없지만 2차 산술의 증명서수보다 빠를 것으로 예측하고 있다. 예측이 맞다면 여타 다른 수와는 그야말로 비교 자체가 안 되는 거대한 수일 것이다. 다만 ZFC의 증명 서수보다는 느리기 때문에 최소 초월 정수나 거대수 저택수, 거대수 누각수보다는 훨씬 적은 수일 것이다. [65] 계산이 가능한 가장 큰 수. 여기서부터 일반적인 fgh로 표기가 거의 불가능하다.[66] 거대수 정원수를 만든 동일인 P進大好きbot이 정의한 수로, 정의에 문제가 없음을 증명했다. 따라서 최소 초월정수보다 큰 수가 될 것으로 예측된다.[67] 여기서부터 계산 자체가 불가능하다.[68] 피쉬 수 7을 ZFC에서 잘 정의되게 변형한 수이다. 위의 거대수 저택수와 함께 ZFC 공리계에서 정의될 수 있는 가장 큰 수로 생각된다.[69] 현재 유효한 가장 큰 수[70] 자연수, 정수, 유리수의 무한집합의 원소의 개수(농도)[∞] A B C D E F G H I J
[math(\infty)](무한대)의 성질을 지닌 수로, 초한수이다.[71] 무리수, 실수, 복소수의 무한집합의 원소의 개수(농도)[72] 베트를 초월하는 계산 불가능하며 규칙적이고 강한 초한기수이다.[73] ZFC 공리계에서 안정적인 가장 강력한 초한기수이다. I0외에 I1, I2, I3이 있다.[74] ZFC 공리계에서는 계산 불가능한 함수와 마찬가지로 존재하지 않는다.[75] 그래서 실수 집합은 무한호텔에 들어가지 못한다. 자연수 개수인 방 개수보다 원소가 많기 때문.[76] 물론 어디까지나 비교적 작아졌을 뿐이다. 3↑↑↑3보다도 크다.[77] [math(x, y, z)] 모두 80자리 정도 되는 수이다. 딱히 별거 없어 보이는데 이게 왜 들어있는가 하면 이유가 있다. 페이스북 등지에 자주 등장하는, 문제 자체는 푸는데 5분이면 되지만 조건문과 서술어를 애매하게 써놔서 사람들의 답을 엄밀한 정답이 아니니 틀렸다! 라는 식으로 후려치고는 “95% 이상의 사람들이 풀지 못했습니다.” 같은 제목을 써놓고 퍼뜨리는 쓰레기 문제들을 풍자하기 위해 만들어진 문제이기 때문이다. 그래서 이 방정식이 인터넷에 올라왔을 때의 원문은 변수가 문자가 아닌 과일 모양으로 되어 있다. 답을 4 대신 178로 바꾸면 세 미지수는 약 398,605,460자리가 된다. 답을 896으로 하는 경우 세 수의 크기는 수 조 자리까지 치솟는다.[78] 따라서 다각형끼리는 모두 포함 관계가 성립한다[79] 그 이상의 수는 SCG 함수랑 비슷한 [math(f_{\theta(\Omega_\omega)}(n))]이랑 비슷하다.[80] 애초에 fgh에서는 재귀를 얼마나 하던 밑첨자에 +1이다.[81] 단 정점에 루프를 만들 경우, 간선 제한 3개 중 2개를 소모한 것으로 친다[82] [math(\text{SSCG}(n) < \text{SCG}(n))]이고 [math(\text{SSCG}(4n+3) \geq \text{SCG}(n))] 이기 때문에 SSCG(55) 정도 돼야 SCG(13)이랑 근사한 값이 나온다. 참고로 TREE(n)의 경우 G(n)보다 성장률이 월등하지만 포컬, 하이퍼 그레이엄이 존재하는 G(n)과 달리 TREE(n)은 그렇지 않은 이유는 애초에 그 단계에서는 거의 제자리걸음일 뿐이다. 그럼에도 SSCG(n)은 TREE(n)보다 큰데도 불구하고 55만 해도 SCG(13)의 다음 단계로 넘어갈 수 있는 수준이니 성장률이 엄청나게 높은 셈.[83] BIGG는 fgh로 대략 [math(f_{\psi(\psi_{I_\omega}(0))}(200))]에 근사해서, 그리 근접하지는 못할 것으로 예상된다.[84] 물론 n=1~5(5인 경우 아직 완전히 증명되지 않았다)일 때는 BB(n)[85] fgh 함수의 성장률을 높이려면 더 큰 서수가 필요한데 매우 큰 가산 서수의 존재성을 증명하려면 강력한 공리계를 필요로 하며, 가산 서수를 이용한 fgh 함수는 결국 계산 가능한 함수라는 한계가 존재한다. 비가산 서수를 이용한 fgh 함수는 일단 계산 불가능하긴 하지만, 그 성장률이 모든 계산 가능한 함수보다 빠른지조차 아직 증명되지 않았다.[86] 더 구체적으로는 바쁜 비버 함수는 정지하는 n-상태 튜링 기계가 쓰는 1의 개수 상한이므로 그 수를 계산하는 튜링 기계를 몇개 상태를 사용하는 튜링 기계로 만들 수 있는지 따져보면 된다.[87] 참고로 빅풋 등의 오류수 3개가 오류가 발견되기 전까지는 세 수가 피쉬 수 7보다도 크지만 빅풋 한정으로 거대수 정원수보다는 작은 수로 취급되었다. 나머지 두 오류수도 아무리 제대로 정의해도 거대수 정원수를 넘을 수는 없을 것이다.[88] 흔히 그런 수들을 다른 함수의 특정 값으로 근사하거나 정의도 근사도 없이 그냥 뭐보다 크고 작다 식으로 서술하기도 하는데 아무리 비슷하게 근사해도 결국 정의되지 않은 심하게 큰 수들은 결국 의미가 없고 수학자들 사이에서는 샐러드 수마냥 아예 무시될 수밖에 없다.[89] 사실상 절대적 무한이 초한수이기에 더 만드는 건 어차피 같은 절대적 무한일 뿐이다.
[math(\infty)](무한대)의 성질을 지닌 수로, 초한수이다.[71] 무리수, 실수, 복소수의 무한집합의 원소의 개수(농도)[72] 베트를 초월하는 계산 불가능하며 규칙적이고 강한 초한기수이다.[73] ZFC 공리계에서 안정적인 가장 강력한 초한기수이다. I0외에 I1, I2, I3이 있다.[74] ZFC 공리계에서는 계산 불가능한 함수와 마찬가지로 존재하지 않는다.[75] 그래서 실수 집합은 무한호텔에 들어가지 못한다. 자연수 개수인 방 개수보다 원소가 많기 때문.[76] 물론 어디까지나 비교적 작아졌을 뿐이다. 3↑↑↑3보다도 크다.[77] [math(x, y, z)] 모두 80자리 정도 되는 수이다. 딱히 별거 없어 보이는데 이게 왜 들어있는가 하면 이유가 있다. 페이스북 등지에 자주 등장하는, 문제 자체는 푸는데 5분이면 되지만 조건문과 서술어를 애매하게 써놔서 사람들의 답을 엄밀한 정답이 아니니 틀렸다! 라는 식으로 후려치고는 “95% 이상의 사람들이 풀지 못했습니다.” 같은 제목을 써놓고 퍼뜨리는 쓰레기 문제들을 풍자하기 위해 만들어진 문제이기 때문이다. 그래서 이 방정식이 인터넷에 올라왔을 때의 원문은 변수가 문자가 아닌 과일 모양으로 되어 있다. 답을 4 대신 178로 바꾸면 세 미지수는 약 398,605,460자리가 된다. 답을 896으로 하는 경우 세 수의 크기는 수 조 자리까지 치솟는다.[78] 따라서 다각형끼리는 모두 포함 관계가 성립한다[79] 그 이상의 수는 SCG 함수랑 비슷한 [math(f_{\theta(\Omega_\omega)}(n))]이랑 비슷하다.[80] 애초에 fgh에서는 재귀를 얼마나 하던 밑첨자에 +1이다.[81] 단 정점에 루프를 만들 경우, 간선 제한 3개 중 2개를 소모한 것으로 친다[82] [math(\text{SSCG}(n) < \text{SCG}(n))]이고 [math(\text{SSCG}(4n+3) \geq \text{SCG}(n))] 이기 때문에 SSCG(55) 정도 돼야 SCG(13)이랑 근사한 값이 나온다. 참고로 TREE(n)의 경우 G(n)보다 성장률이 월등하지만 포컬, 하이퍼 그레이엄이 존재하는 G(n)과 달리 TREE(n)은 그렇지 않은 이유는 애초에 그 단계에서는 거의 제자리걸음일 뿐이다. 그럼에도 SSCG(n)은 TREE(n)보다 큰데도 불구하고 55만 해도 SCG(13)의 다음 단계로 넘어갈 수 있는 수준이니 성장률이 엄청나게 높은 셈.[83] BIGG는 fgh로 대략 [math(f_{\psi(\psi_{I_\omega}(0))}(200))]에 근사해서, 그리 근접하지는 못할 것으로 예상된다.[84] 물론 n=1~5(5인 경우 아직 완전히 증명되지 않았다)일 때는 BB(n)