번분수

1. 개요[편집]

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繁分數 / complex fraction

분수의 분자·분모 중 적어도 하나가 분수인 번잡한 분수다. 일반 분수(fraction)와는 달리 분수 안에 분수가 있는 분수다. 변형으로 연분수가 있다. 부분분수와도 관련있다.

2. 번분수 계산 방법[편집]

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번분수는 분수의 나눗셈이다. 번분수 계산은 곱셈으로 바꿔가면서 간단하게 풀수있다.

[math({a\over b}\over{c\over d})] 같은 번분수는 [math({a\over b} )] [math(\div)] [math({c\over d} )] [math( = )] [math({a\over b} )] [math(\times)] [math({d\over c} )] [math( = )] [math({ad\over bc} )]로, 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 계산하면 된다.

또는 분수의 분모와 분자에 0이 아닌 동일한 수를 곱해도 원래 분수에 변화가 없음을 이용할수도 있다.

다시 말해서 분수 [math({a\over b} )]에 임의의 값 [math({c} )]를 분모와 분자에 한 번씩 곱하면 [math({a \times c \over b \times c} )]가 되어 원래의 분수와 같다.
이것은 [math({a\over b} )] 는 [math( {a \div b} )]이고 [math({a \over c})] [math(\div)] [math({b \over c} )]와 같기 때문에
이러한 사실을 이용해도 같은 결과를 얻을수 있다.
[math({a\over b} )] [math(\div)] [math({c\over d} )] [math(={a \over b \cdot {\color{red} c}} )] [math(\div)] [math({ c \over {\color{red} c} \cdot d } )]
[math({a\over b} )] [math(\div)] [math({c\over d} )] [math(={a \cdot {\color{red} d} \over b \cdot { c}} )] [math(\div)] [math({ c \cdot {\color{red} d} \over { c} \cdot d } )]
[math({a \cdot d \over b \cdot c} )] [math(\div)] [math({ {\cancel c} \cdot {\cancel d} \over {\cancel c} \cdot {\cancel d} } )]
[math({a \cdot d \over b \cdot c} )] [math(\div)] [math({ 1 \over 1 } )] [math(= {a \cdot d \over b \cdot c} )] [math(\div 1)] [math( = {a \cdot d \over b \cdot c} )]

2.1. 예[편집]

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일반적인 분수는 분모가 1인 경우에서 생략된 것과 같다.
이러한 경우를 알고있으면 번분수 계산방법을 외우지 않고 역으로 생각해낼수있다.
[math({3})] [math( = {3\over 1} =)] [math( {3\over 1}\over{1\over 1})]

3. 비례식[편집]

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모든분수는 [math({a\over b}\over{c\over d})] 의 모양에서 생략된것이므로 번분수가 비례식 [math( a:b = c : d)]과 같다는 사실을 이용하면 빠르고 쉽게 계산할수있다.
따라서 내항([math(b,c)])들의 곱셈과 외항([math(a,d)])들의 곱셈에서
유클리드 원론 제5권은 이러한 분수와 비례식의 관계에 대해 자세히 다루고 있다. [1]

3.1. 예[편집]

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4. 현재 번분수[편집]

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2001년 중학교 1학년 수학과정에서 빠져 초등학교 6학년 수학에 들어갔으나 2003년 수학과정에서 완전히 빼버렸다. 이로 인해 번분수는 공식적으로 가르치진 않지만, 가끔 분수와 관련된 단원을 공부할 때 학교나 학원 수학 선생님들이 번분수라는 개념이 있다는 것까진 설명해주는 정도.나중에 삼각비 할 때 유용하게 쓰이는데 왜 뺀거지어쨌든 알고 있으면 편리하다.

번분수로 정의되는 수학적 이론으로 소수 정리 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln x}}=1)]이 대표적이다.