교환법칙

1. 개요[편집]

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交換法則 / commutativity

원소 [math(a)], [math(b)]를 포함한 집합 [math(S)]와 연산 [math(*)] 가 정의되어 있을 때, [math(a*b=b*a)] 가 성립하면 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)] 에 대해 교환법칙이 성립한다고 한다.

반대로 [math(a*b\neq b*a)] 가 되는 반례가 하나라도 나온다면 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.

2. 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산[편집]

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특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

• [math(+)] (덧셈)
• [math(\times)] (곱셈)
• 지수와 로그(수학)의 곱
• [math(\max(a,b))] (둘 중 큰 수를 고르는 연산: 실수 범위)
• [math(\min(a,b))] (둘 중 작은 수를 고르는 연산: 실수 범위)
• [math(\cdot)] (내적: 벡터 범위)
• [math(*)] (합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)
• [math(\circ)] (아다마르 곱: 행렬 범위)
• [math(\#)] (연결합: 위상)

3. 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산[편집]

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특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

• [math(-)] (뺄셈): [math(a-b)], [math(b-a)]는 서로 부호가 반대이다.
• [math(\div)] (나눗셈, 당연히 0으로 나누면 안 된다.): [math(a\div b)]와 [math(b\div a)]는 서로 역수 관계이다.
• [math(^\wedge)] (제곱)[증명1]
  반례를 이용한 증명) [math(2^3=8)], [math(3^2=9)]로, [math(2^3\neq3^2)]이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 제곱에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.
• [math(\uparrow)] (테트레이션)
• [math(\circ)] (둘 이상의 함수의 합성)
• [math(\otimes)] (외적): 벡터 범위, [math(\mathbf a\otimes\mathbf b)]와 [math(\mathbf b\otimes\mathbf a)]는 크기가 같지만 방향이 반대로 뒤집힌다.
• [math(\times)] (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
• [math(\times)] (곱셈: 사원수 범위)[증명2]
  반례를 이용한 증명) [math(ij=k)], [math(ji=-k)]로, [math(ij\neq ji)]이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 사원수의 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.
• [math(+/\times)] (덧셈/곱셈): 무한서수가 포함된 연산
• [math(\otimes)] (텐서곱: 텐서 범위)

4. 예[편집]

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[math(\begin{aligned}1+2&=2+1\quad(3-1=2,&3-2=1)\\1+3&=3+1\quad(4-1=3,&4-3=1)\\1+4&=4+1\quad(5-1=4,&5-4=1)\\1+5&=5+1\quad(6-1=5,&6-5=1)\\1+6&=6+1\quad(7-1=6,&7-6=1)\\1+7&=7+1\quad(8-1=7,&8-7=1)\\1+8&=8+1\quad(9-1=8,&9-8=1)\\1+9&=9+1\quad(10-1=9,&10-9=1)\\2+3&=3+2\quad(5-2=3,&5-3=2)\\2+4&=4+2\quad(6-2=4,&6-4=2)\\2+6&=6+2\quad(8-2=6,&8-6=2)\\3+4&=4+3\quad(7-3=4,&7-4=3)\\3+6&=6+3\quad(9-3=6,&9-6=3)\\4+5&=5+4\quad(9-4=5,&9-5=4)\\2\times3&=3\times2\quad(6\div2=3,&6\div3=2)\\3\times6&=6\times3\quad(18\div3=6,&18\div6=3)\\\end{aligned})]

5. 같이 보기[편집]

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• 결합법칙
• 분배법칙
• 군(대수학)
• 체(대수학)
• 교환자