순환소수

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수와 연산
Numbers and Operations

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수 체계

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1. 개요

2. 종류

2.1. 순순환소수

2.2. 혼순환소수

3. 분수화

1 . 개요[편집]

소수로 표기 시 일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 수를 일컫는다. 나타낼 때에는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[1]

[math(0.333333 \cdots = 0. \dot 3)]
[math(0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4)]
[math(0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4)]

한국에서는 이 방법을 사용하고 있지만, 표현법에는 여러 가지가 있고, 순환마디 처음부터 끝까지 줄을 친다거나([math(0.1 \overline{624})]) 괄호를 치는 등의 여러 가지 방법이 있다. 한국은 점을 찍는 것을 사용하므로, 시험에 응시할 때에는 점을 찍어야 한다.

참고로 유한소수는 순환소수 중 순환마디가 0으로 반복되는 특수한 사례이다.

2 . 종류[편집]

2.1 . 순순환소수[편집]

순환마디가 첫째 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다. 예시로는 상술되어 있는 소수들 가운데 [math(0. \dot 3)]과 [math(0. \dot 3\dot 4)]가 존재한다.
어떤 순환소수가 순순환소수일 필요충분조건은 그 순환소수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소[2]인 것이다. 증명은 다음과 같다.

[ 증명 펼치기 · 접기 ]: 일반성을 잃지 않고, 순환소수의 정수 부분이 0이라고 가정하자. 즉, 우리가 생각할 순환소수는 [math(0.a_1a_2a_3a_4\cdots)]의 꼴이다.
먼저 순순환소수 [math(0.\dot a_1a_2\cdots \dot a_n)]를 생각하자. 아래의 '분수화' 과정을 통해서 이 순환소수를 분수로 고치면 [math(0.\dot a_1a_2\cdots \dot a_n=\dfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1})]이 된다. 여기서 [math(a_1a_2\cdots a_n)]은 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 곱이 아니라 각 자릿수가 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]인 십진법 꼴의 정수이다. 즉, [math(a_1=3)], [math(a_2=6)], [math(a_3=9)]라면 [math(a_1a_2a_3=369)]와 같이 약속한다. 그러면 위에서 얻은 분수 [math(\dfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1})]을 약분하여 기약분수 [math(\dfrac{p}{q})]로 고쳤다고 하면, [math(q)]는 [math(10^n-1)]의 약수가 된다. [math(10^n-1)]과 10이 서로소임은 명백하므로, [math(q)] 또한 10과 서로소여야 한다.
역으로 어떤 기약분수 [math(\dfrac{p}{q})]에 대하여 [math(q)]가 10과 서로소라고 가정하자. 그러면 오일러 정리에 의하여 [math(10^{\varphi(q)}-1)]은 [math(q)]의 배수이다. 여기서 [math(\varphi)]는 오일러 피 함수이다. 따라서 적당한 정수 [math(r)]을 분자, 분모에 곱하여 [math(\dfrac{p}{q}=\dfrac{pr}{10^{\varphi(q)}-1})]이 되도록 할 수 있다. 이 형태의 분수가 순순환소수가 됨은 위에서 이미 보였다.

2.2 . 혼순환소수[편집]

순환마디가 둘째 이후의 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다. 예시로는 상술되어 있는 소수들 가운데 [math(0.1 \dot62 \dot 4)]가 존재한다.

3 . 분수화[편집]

순환소수를 분수로 고치기 위해서 다음과 같은 방법을 쓸 수 있다. 중2 수학 시험에 꼭 나오는 부분이다.

대수적 방법

두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. [math(0. \dot 3)]의 경우

[math(a=0.333333 \cdots)]로 놓으면
[math(10a=3.333333 \cdots)] (ㄱ)
[math(a=0.333333 \cdots)] (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(9a=3 \; \therefore a=\displaystyle \frac{1}{3})] (약분을 해야 한다) [3]
같은 방식으로 [math(0. \dot 9)]를 분수화 하면 [math(9a=9 \; \therefore a=1)] 이므로 [math(0. \dot 9=\frac{9}{9}=1)]이다.

[math(0. \dot 14285 \dot 7)]의 경우

[math(a=0.142857142857 \cdots)]로 놓으면
[math(1000000a=142857.142857 \cdots)] (ㄱ)
[math(a=0.142857142857 \cdots)] (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7})]

등비급수를 이용한 방법

2015 개정 교육과정 기준 미적분에서 등장한다. 예를 들어 [math(2.32 \dot 4)]는 다음과 같이 분수화한다.

[math(2.32 \dot 4)]는 [math(2.32 + 0.00 \dot 4)]로 쓸 수 있다.
[math(0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{1}{100} \left( \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n)]

여기서 [math(\Sigma)] 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 [math(\displaystyle \frac{1}{10})]인 등비급수다.

첫째항이 [math(a)], 공비가 [math(r)]인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 [math(\displaystyle \frac{a}{1 - r})]이므로,

[math(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n = \displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9})]

그러므로 [math(2.32 \dot 4 = 2.32 + 0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{1}{9} \right) = \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{900} = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225})]

공식

위에서 소개한 등비급수를 이용한 방법을 공식화한 것이다.
위와 같이 [math(2.32 \dot 4)]를 예로 들면

분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
분자에는 (ㄱ) 분수화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.

위와 같은 과정을 따르면 [math(\displaystyle \frac{2324-232}{900} = \frac{2092}{900})]이 나오게 된다. 약분까지 하면 [math(\displaystyle \frac{523}{225})].

[ 증명 펼치기 · 접기 ]: 위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} 2.32 + 0.00 \dot 4 &= \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \right) \ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times \left( 1 - \frac{1}{10} \right) \times 10} \ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times (10 - 1)} \ &= \displaystyle \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \ &= \displaystyle \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \ &= \displaystyle \frac{2324 - 232}{900} \left( = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right) \end{aligned})]
여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.

[1] 숫자가 아닌 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학과 거시경제학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다.[2] 즉, 분모의 소인수에 2와 5가 있으면 안 된다.[3] 같은 방식으로 [math(0. \dot 9)]를 분수화 하면 [math(9a=9 \; \therefore a=1)] 이므로 [math(0. \dot 9=\frac{9}{9}=1)]이다.

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1. 개요[편집]

2. 종류[편집]

2.1. 순순환소수[편집]

2.2. 혼순환소수[편집]

3. 분수화[편집]

관련 문서

1 . 개요[편집]

2 . 종류[편집]

2.1 . 순순환소수[편집]

2.2 . 혼순환소수[편집]

3 . 분수화[편집]