구구단

1. 개요[편집]

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九九段

영문명은 Times Table(곱셈표).

기초적인 곱셈표로, 분배법칙, 지수법칙 등과 결합되어 곱셈 계산을 대단히 빠르게 한다.[1] 구구법(九九法)이라고도 한다. 한국에서는 초등학교 2학년 2학기 수학[2] 2단원에 '곱셈구구'라는 이름으로 나온다. 구구단은 앞으로 배울 곱셈의 기초가 되므로 중요하다. 인간은 10진수를 사용하므로, 일반적으로 0부터 9까지의 숫자를 서로 곱하여 나오는 값들을 늘어놓은 목록이다. 다만 0단, 1단의 경우 0 × n = 0, 1 × n = n이므로 가장 쉬워서 열외하는 경우가 절대 다수다. 여기서 1은 곱셈에 대한 항등원임을 알 수 있다.

특유의 리듬에 맞추어 '오 사(는) 이십, 오 오는 이십 오'와 같이 외우는 게 보통. 원숭이 엉덩이는 빨개와 같은 멜로디다. 인터넷을 찾아보면 구구단송 등이 있을 것이다.
컴퓨터의 경우, 구구단은 논리곱에 대응한다.

2. 단별 특징[편집]

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1단부터 9단까지 있다. 2단과 5단이 가장 외우기 쉽다. 2단은 짝수를 작은 순서대로 말하며 십의 자릿수를 올리면 되고 5단은 0과 5를 번갈아가면서 십의 자릿수를 올리면 되기 때문이다. 5단은 두 번 외칠 때마다 십의 자릿수가 올라가니 알아서 리듬을 타 보자. 9단은 숫자는 많이 크지만 09, 18, 27, 36과 같이 십의 자리가 증가한 만큼 일의 자리가 감소한다는 규칙성이 있기 때문에 이 규칙만 알면 2, 5단 급으로 쉬운 축이다. 9가 10 - 1이기 때문에 무조건 일의 자리가 1씩 빠진다. 모르면 3단이 아니라 제일 마지막에 외울지도.

8단은 십의 자릿수가 1씩 늘 때 일의 자릿수가 2씩 줄다가 일의 자리가 0이 되면 다시 같은 십의 자리부터 시작해 8부터 시작해서 2씩 내려가는 방식으로 외울 수 있다.(08, 16, 24, 32, 40) 9단에서의 방법을 비슷하게 적용할 수 있으나, 이걸로 외울 정도면 보통 구구단을 다 외우고 난 상태인 경우가 많다. 왜냐하면 2씩 떨어지는 일 자리수를 거꾸로 계산한다는 점 때문에 헷갈리기 십상이며, 40에서 한 번 쉬고 넘어간다는 점 때문에 중간에 흐름이 끊길 가능성이 있다.

그리고 7단까지는 7×6=42를 6×7=42에서 찾아 구하는 등 이전 및 이후 단에서 찾은 후 더하거나 빼는 식으로 교사의 물음에 빠르게 대답할 수 있으나, 8단의 경우 40까지의 계산 결과에 40씩이나 더한 값을 대답으로 요구하므로 올라가기는 벅차고 내려가기도 초등학교 2학년 치고 쉽지 않다. 이런 계륵 같은 상황에서 해당 단에서 아무거나 뽑아 무작위로 답하라는 물음에 8×8=64를 답하지 못할 가능성이 매우 높다. 7단과 함께 통째로 외우는 것이 편하며 구구단에서 가장 어려운 곳으로 꼽힌다.[3]

3. 변형 구구단[편집]

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• 구구단 외우기를 이용한 "구구단을 외자"라는 게임이 있으며 의외로 바로 대답하려고 하면 쉽지 않을 수도 있다. 다만 변형 구구단이나 술 게임으로 한다면 나름 난이도 있는 게임이 된다. 그리고 무한도전 오호츠크 해 편에서는 박명수가 이 게임의 난이도를 낮춘 "더하기를 하자", "빼기를 하자", "구구단 더하기 1을 하자" 등 변형게임을 만들기도 했다.

• 일본에서 구구단을 읽을 때는 변형된 독법이 많으니 주의해야 한다. 예컨대 3*3은 '사잔', 3*6은 '사부로쿠', 3*8은 '산파', 8*8은 '핫파' 등이다. 일본 망가 및 애니인 3X3 EYES를 읽을 때도 3X3은 "사잔"으로 읽으며, 삼삼드래의 명칭이 저렇게 된 것도 원 명칭인 사잔도라(サザンドラ)가 구구단에서 유래했기 때문이다. 달력 읽기도 그렇고 숫자를 활용하는 표현이 크게 복잡한 일본이다.

• 일반 구구단의 곱에 1을 더하거나 빼는 방식인 가일구구, 감일구구가 있다. 즉 계산 결과에 가감법을 추가한 것이다. 이 방식은 가족오락관에서 폭탄 게임 중 하나와 브레인 서바이버 로또 구구단 코너에도 쓰여졌다. 이 때는 구구단의 정답에 특정 수를 더하거나 빼는 형식.

• 구구단의 정답을 누적해서 더해나가는 방식으로 할 수도 있다.

3.1. 가일구구[편집]

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加를 써서 가일구구이다. 구구단 셈의 결과에 1을 더한 값을 외우는 방식으로, 유명하다.

3.2. 감일구구[편집]

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減를 써서 감일구구이다. 가일구구를 이은 파생작. 이쯤 되면 0단 1단도 어렵다.

4. 지수[편집]

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지수 개념도 있으며 이는 단마다 같은 수를 곱하는 부분이 있기 때문. 또한 2와 3 한정으로 세제곱 이상의 거듭제곱이 존재한다.

• 2×4 = 4×2 = 2×2×2 = 2³
• 2×8 = 4×4 = 8×2 = 2×2×2×2 = 2⁴
• 4×8 = 8×4 = 2×2×2×2×2 = 2⁵
• 8×8 = 2×2×2×2×2×2 = 2⁶
• 3×9 = 9×3 = 3×3×3 = 3³
• 9×9 = 3×3×3×3 = 3⁴

이 성질을 알면 지수 연산이 한결 편해진다.

5. 집합론[편집]

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한편 좀 더 심화된 시각으로 보면 곱집합의 사상(Map)이라는 것을 알 수 있다. 이는 다음으로 표현 가능하다.

[math(({\mathbb Z}\cap[1, 9])^2 \to {\mathbb Z})]

즉, 정수의 순서쌍(= 격자점)에서 정수로 가는 함수로 볼 수 있다.

6. 프로그래밍 언어에서 구구단 출력[편집]

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  자세한 내용은 프로그래밍 언어/예제 문서를 참고하십시오.

#include <stdio.h>

int main(void) {
   int i, j;
   for (i = 2; i <= 9; i++) {
      for (j = 1; j <= 9; j++)
         printf("%d × %d = %d\n", i, j, i * j);
   }
   
   return 0;
}

위 코드는 C언어 기준이다. 다른 언어의 예는 문서 참조.

7. 기타[편집]

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• 최근 맹목적인 구구단 암기에 반대하는 견해들이 있다. 곱셈의 원리를 배우기 전에 구구단을 먼저 암기하는 것에 대한 반발이다. 실제로 유럽의 여러 국가에서는 구구단을 외우지 않거나 5단까지 외우는 경우도 많다. 초등학교 수학에서는 곱셈의 원리를 먼저 배운 뒤 구구단을 배운다.

• 미국에서는 12단[4]
  미국은 12진법을 많이 쓰는 미국 단위계를 채택한 나라다. 길이의 단위인 1foot(feet)도 12inch. 그리고 우리는 연필에만 적용하는 dozen을 자주 쓴다.
  까지, 인도에서는 19단까지, 심지어 24단까지도 외운다. 두 자릿수의 곱셈을 더 빠르게 할 수 있다나 뭐라나? 다만 평소에 10단 후부터 사용할 일은 거의 없다. 그냥 기존의 9단까지를 이용하면 되니까. 차라리 다항식 곱셈공식 및 인수분해를 쓰는 게 낫다.[5]
  예를 들면 51×49의 경우, (50+1)(50-1)=50²-1²(=2500-1=2499)로 계산하는 것이 훨씬 빠르다. 물론, 해당 곱셈이 어떤 꼴의 다항식인가를 눈치챌 수 있어야 한다.

• 2000년대에 이미 대한민국에서도 초등학생 때 19단 외우기가 학부모와 사교육을 통해 권장되고 있었다. '19단송'이라는 노래까지 있었을 정도. 하지만 2010년대 들어서 19단 열풍은 시들해졌다.[6]
  그래도 10, 11, 12, 15단은 그나마 쉬운편이다.

• 베다수학이라는 19단의 두 자리수 계산이 가능한 인도식 기법이 있다. [math((10+a)(10+b) = (10+a+b) \times 10 + ab)]로 계산하는 것.[7]
  곱셈공식 [math((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab)]에서 [math(x)]에 10을 대입하고 적절히 정리한 것과 같다. 예를 들면,19 × 19 = (19+9)×10 + 9×9 = 280 + 81 = 361이 되는 것.
  익숙해지면 남들보다 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있다고 한다. 한데 우리나라에서 19단 열풍이 불 때는 정작 이 본질은 모르고 무작정 외우기만 더 시켜대는 바람에 아무런 의미도 얻지 못했다.

• 중국의 관리들이 평민이나 천민들이 알지 못하도록 일부러 어렵게 9단부터 거꾸로 외운 데서 구구단이라는 이름이 유래했다는 이야기도 있다.

• 부여 쌍북리에서 발견된 6~7세기 백제에서 출토된 목간에서 한국 최초의 구구단표가 확인되었다. # # 참고로 이 구구단표가 발굴되기 이전까지 중국에서 일본으로 전래되었다가 다시 거꾸로 한반도로 전래되었다는 가설이 2000년대 초반에 유행했었는데 이 유물이 발굴되면서 일본에서 전래되었다는 가설을 단번에 종식시켰다. 자세한 건 부여 쌍북리 출토 목간 참조.

• 중국어로 구구단을 외울 때는 정답이 한 자리 수면 得(얻을 득)이 붙고, 두 자리 수이면 안 붙는다.

• 포병 부대에서는 포병숫자로 구구단도 시킨다.

• 과거 어르신들의 증언에 따르면 자신들의 어린 시절에는 구구단을 못 외우면 나머지공부를 시켰다고 한다.[8]
  굳이 "어르신"의 이야기까지 들을 필요도 없이, 90년대 초중반2021년 기준으로 30대 후반 아저씨, 아주머니들의 어린시절에도 구구단을 못 외우면 나머지공부를 하는 것이 아주 당연한 시절이었다.
  심지어 춘추 80이 넘었는데도 아직도 구구단을 일본어로 외우는 사람도 있을 정도이다. 이 경우는 일제 강점기에 학교를 다녔을 가능성이 높다. 당시에는 초등학교에서조차 일본어 상용을 강요하여 구구단도 일본어로 외우게 했기 때문. 소학교 출신들은 2~3학년, 간이학교 출신들은 1학년 때 배웠다.[9]
  일제 당시 간이학교는 2학년까지만 있었는데, 간이학교 산수 시간에는 1학년 1학기 때 기초적인 수 개념과 덧셈, 뺄셈 정도만, 1학년 2학기에서 곱셈과 나눗셈 등을 가르쳤기 때문. 1학년 3학기 때는 그 동안 배운 사칙연산을 활용하는 단계에 접어들고, 2학년 때는 반올림, 분수, 소수, 주산을 배웠다.
  한국 기준으로 대략 1936년~1937년생까지는 구구단을 일본어로 외웠고, 1938년생부터는 다시 한국어로 구구단을 외웠다.

8. 관련 문서[편집]

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• 네이피어 계산봉
• 사칙연산
• 조은정(영어) - 개념강좌 시리즈는 모두 구구단으로 시작한다.