이중근호
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1. 개요[편집]
二重根號 / double radical
이중근호는 근호 안에 근호가 하나 더 있는 것을 말한다. 이런 상태가 반복되어 근호가 세 개 이상이 되면 다중근호(多重根號)라고 한다.
2. 표기[편집]
근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 관례적으로 모든 근호를 [math(\sqrt{1+3\sqrt{5+\sqrt 7}})]처럼 보기 좋게 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, [math(\sqrt{3\sqrt{5+{\sqrt 7}}+1})]와 같이 뒤죽박죽 표기해도 문제는 없다.
3. 공식[편집]
이중근호로 된 식을 바로 계산하기는 쉽지 않으므로 단일근호로 바꿀 필요가 있다. 아래의 공식으로 이중근호를 풀어낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\bigl|\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr|\end{aligned} )]
증명은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2} \\ &=\sqrt{\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b} \bigr)^2} \\ &=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{\sqrt{a}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2} \\ &=\sqrt{\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2} \\ &=\bigl|\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr|\end{aligned} )]
위 증명에서는 다음의 곱셈 공식을 사용했다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} )]
또한 다음을 주의해야 한다. 1학년의 꿈 참고.
[math(\displaystyle \sqrt{\sqrt{a\pm b}}\neq\sqrt{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}} \neq\sqrt{\sqrt{a}}\pm\sqrt{\sqrt{b}})]
간혹 네제곱근을 사용해야 단일근호로 바꿀 수 있는 경우도 있다. 즉,
로 변형 후 위 공식을 적용해야 하는 경우도 있다는 뜻이다.
3.1. 예시[편집]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{5+2\sqrt{6}}&=\sqrt{(2+3)+2\sqrt{2 \cdot 3}}\\&=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\\\\sqrt{7-2\sqrt{10}}&=\sqrt{(2+5)-2\sqrt{2 \cdot 5}}\\&=\bigl|\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr|=\sqrt{5}-\sqrt{2} \\\\ \sqrt{4+3\sqrt 2}&=\sqrt[4]{2} \sqrt{3+2\sqrt 2}\\&=\sqrt[4]{2} \sqrt{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}\\&=\sqrt[4]{2}(\sqrt{2} +1) \\\\ \sqrt{5+3\sqrt 5}&=\sqrt[4]{5} \sqrt{3+\sqrt 5}\\&=\sqrt[4]{5} \sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{2}} \\&=\sqrt[4]{5} \sqrt{\dfrac{(5+1)+2\sqrt{5 \cdot 1}}{2}} \\&=\dfrac{\sqrt[4]{5}(\sqrt{5} +1)}{\sqrt 2}\end{aligned})]
4. 다중근호[편집]
이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호 등도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다.
다중근호가 들어간 대표적인 식으로 가우스가 구한 정십칠각형의 코사인 값이 있다. 코사인 값이 삼중근호이지만[1] 사인 값이 사중근호이다. 마찬가지로 정257각형은 사인 값이 팔중근호, 정65537각형은 사인 값이 십육중근호, 정4294967297각형[2]은 삼십이중근호가 들어가게 된다. 페르마 수는 2차방정식 [math(2^{n})]번으로 변환 가능해서 그러며 1의 [math(n)]제곱근과도 공식이 겹친다. 정17각형의 사인, 코사인 값을 유도하는 공식은 다음과 같다.#[3]
정오각형, 정십이면체, 정이십면체, 정백이십포체, 정육백포체 그리고 아르키메데스 다면체의 면적과 부피를 구할 때도 다중근호가 많이 사용된다.
2제곱근과 3제곱근이 섞여 있는 다중근호는 식이 훨씬 더 복잡해진다. 3차방정식과 4차방정식의 근의 공식이 이러하다. 정칠각형, 정구각형, 다듬은 육팔면체, 다듬은 십이이십면체도 2제곱근과 3제곱근이 반복돼서 나온다.[4]
5. 국가별 교육과정[편집]
5.1. 대한민국[편집]
2007 개정 교육과정에서 고1 과정에 이중근호를 포함하는 등, 계속 이중근호를 가르치고 있었으나 2009 개정 교육과정부터 전면 삭제되었다.
5.2. 일본[편집]
수학Ⅰ의 1단원에 속하는 〈식의 계산〉 부분에서 다룬다. 따라서 일본 대학으로 유학하려면 입시를 위해 이중근호를 공부해야 한다.
6. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-14 11:56:21에 나무위키 이중근호 문서에서 가져왔습니다.[1] [math(n)]이 페르마 수라 할때 [math(\cos{(2\pi/n)})], [math(\cos{(\pi/n)})]값이 [math(n-1)]중근호가 들어간다. 정삼각형의 코사인 값은 유리수지만 사인 값이 단일근호이며 정오각형의 코사인 값이 단일근호이지만 사인 값은 이중근호가 들어간다.[2] 4294967297의 약수인 정641각형, 정6700417각형도 32중근호가 사용된다.[3] 제목은 5차방정식이라 되어있지만 중간부분에 정십칠각형 코사인 값을 유도하는 방법이 나온다. 마찬가지로 257, 65537각형 등도 유도 가능해 보인다.[4] 아르키메데스 다면체 중 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체만 해당. 이 둘이 [math(n)]차원 아르키메데스 다면체 중에서는 다른 차원에서는 찾아볼 수 없는 3차원의 고유한 형태이기도 하다.