콘웨이 연쇄 화살표 표기법

1. 개요[편집]

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Conway chained arrow notation

큰 수의 표기법 중 하나로, 1995년에 존 호튼 콘웨이가 만들었다. 커누스 윗화살표 표기법과 비교했을 때 화살표의 방향만 달라진 것처럼 보여도 차원이 다른 성장률을 가졌다. [1] [2]

2. 정의[편집]

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1. 모든 자연수는 길이가 1인 연쇄 화살표이다.
2. 길이가 [math(n)]인 연쇄 화살표에 오른쪽 화살표([math(\to)])와 자연수가 따라붙으면, 길이가 [math(n+1)]인 연쇄 화살표가 된다.

위 정의를 바탕으로 [math(p,q,r)]을 임의의 자연수, [math(X)]를 임의의 연쇄 화살표라 할 때 모든 연쇄 화살표는 다음 규칙에 따라 자연수로 표현된다.

1. 길이가 0인 연쇄 화살표(An empty chain)는 자연수 1과 같다.
2. 연쇄 화살표 [math(p)]는 자연수 [math(p)]와 같다.
3. 연쇄 화살표 [math(p\to{q})]는 자연수 [math(p^q)]와 같다.
4. 연쇄 화살표 [math(p\to{q}\to{r})]은 자연수 [math(p\uparrow^rq)]와 같다.
5. 연쇄 화살표 [math(X\to1)]은 연쇄 화살표 [math(X)]와 같다.
6. 연쇄 화살표 [math(X\to(p+1)\to(q+1))]은 연쇄 화살표 [math(X\to(X\to{p}\to(q+1))\to{q})]와 같다.

3. 성질[편집]

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위 정의를 바탕으로 다음의 성질을 도출해낼 수 있다.

1. [math(1\to{X})]는 [math(1)]과 같다.
2. [math(X\to1\to{Y})]는 [math(X)]와 같다.
3. [math(2\to2\to{X})]는 [math(4)]와 같다.
4. [math(X\to2\to2)]는 [math(X\to(X))]와 같다.

4. 계산 예시[편집]

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• [math(3 \rightarrow 3\\=3^3\\=27)]

• [math(4 \rightarrow 3 \rightarrow 2

\\ = 4 \rightarrow (4 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \rightarrow 1
\\ = 4 \rightarrow (4 \rightarrow 2 \rightarrow 2)
\\ = 4 \rightarrow (4 \rightarrow (4 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1)
\\ = 4 \rightarrow (4 \rightarrow (4 \rightarrow 1 \rightarrow 2))
\\ = 4 \rightarrow (4 \rightarrow 4)
\\ = 4 \rightarrow 4^4
\\ = 4^{4^4}
\\ \approx 1.34 \times 10^{154} )]

• [math(p \rightarrow q \rightarrow 2

\\= p \rightarrow (p \rightarrow (q-1) \rightarrow 2) \rightarrow 1
\\= p \rightarrow (p \rightarrow (q-1) \rightarrow 2)
\\= p \rightarrow (p \rightarrow (p \rightarrow (q-2) \rightarrow 2) \rightarrow 1)
\\= p \rightarrow (p \rightarrow (p \rightarrow (q-2) \rightarrow 2))
\\ \cdots
\\= p \rightarrow ( \cdots \rightarrow ( p \rightarrow ( p \rightarrow (p \rightarrow 1 \rightarrow 2))) \cdots )
\\= p \rightarrow ( \cdots \rightarrow (p \rightarrow ( p \rightarrow p )) \cdots )
\\= p \rightarrow ( \cdots \rightarrow ( p \rightarrow p^p )) \cdots )
\\ \cdots
\\= \underbrace{p^{p^{\cdot^{\cdot^{\cdot^p}}}}}_q
\\= p \uparrow\uparrow q )]

• [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3

\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow 2 \rightarrow 3) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow 1 \rightarrow 3) \rightarrow 2) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \rightarrow 1) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow 2 \rightarrow 2)) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1)) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow 1 \rightarrow 2))) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3^3) \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow 3^{3^3} \rightarrow 2
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3^{3^3}-1 \rightarrow 2) \rightarrow 1
\\ = 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3^{3^3}-1 \rightarrow 2)
\\ \cdots
\\ = 3\uparrow\uparrow\uparrow 3 )]

• 그레이엄 수는 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2)] 보다는 크고 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2)] 보다는 작다.
• 그레이엄 수보다 더 크고 콘웨이의 테트라트리라고도 불리는 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3)]은 G(G(26))보다는 크고 G(G(27))보다는 작다.

4.1. 사용[편집]

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일상적으로는 거의 사용되지는 않지만, 큰 수를 표기할 때 가끔씩 사용된다.
큰 수 문서를 참고할 것.