오일러 정리

1. 개요[편집]

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Satz von Euler / Euler 定理

레온하르트 오일러가 증명한 정리이다. 오일러 정리는 정수론에서의 정리와 동차함수에서의 정리로 구분된다.

2. 정수론에서의 오일러 정리[편집]

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정수론에서 유용하게 쓰이는 정리로, 합동식과 관련이 있다. 페르마의 소정리를 일반화한 것이다.
내용은 아래와 같다.

[math( a )]와 [math( n )]이 서로 소인 양의 정수일 때,

[math( a^{ \varphi \left( n \right) } \equiv 1 \left( \text{mod}\ n \right) )]

여기서 [math( \varphi \left( n \right) )]은 [math( 1 )]부터 [math( n )]까지의 정수 중 [math( n )]과 서로소인 정수의 개수를 구하는 오일러 파이 함수다.

2.1. 증명[편집]

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[math(n)] 이하의 자연수중 [math(n)]과 서로소인 수만 모아놓은 집합을 [math(S)]라 하자.
정의에 의해 [math(S)]의 원소의 개수는 [math( \varphi \left( n \right) )]이다.

[math( S=\left\{b_1, \cdots, b_{\varphi\left(n\right)}\right\} )]

라 하자

[math(S)]의 각 원소들에 ([math(n)]과 서로소인) [math(a)]를 곱한 집합을 [math(aS)]라 하면
[math( aS=\left\{ab_1, \cdots, ab_{\varphi\left(n\right)}\right\} )]

이때, [math(aS)]의 모든 원소들은 [math(n)]과 서로소인 수들끼리 곱한 수들이므로 그 원소들 역시 [math(n)]과 서로소.

그리고 [math(aS)]의 모든 원소는 [math(n)]로 나눈 나머지가 서로 다르다 ([math(\because)] 만일 [math(ab_i \equiv ab_j (\text{mod}~n))], [math(1 \leq i,j \leq \varphi \left(n \right))]인 서로 다른 정수 [math(i)], [math(j)]가 존재한다면, [math(a(b_i - b_j ))]가 [math(n)]의 배수. [math(a)]와 [math(n)]이 서로소이므로 [math(b_i - b_j)]가 [math(n)]의 배수. 그런데, [math(b_i)]와 [math(b_j)]가 둘 다 [math(1)]이상 [math(n)]이하의 수들이므로 [math(-(n-1) \leq b_i -b_j \leq (n-1))]. 이 범위에는 [math(n)]의 배수가 [math(0)]뿐이므로 [math(b_i = b_j)]. 즉, 모순)

그러므로 [math(aS)]의 원소들을 [math(n)]으로 나눈 나머지는 [math(S)]의 원소들의 재배열이 된다.

따라서 [math(S)]의 모든 원소의 곱과 [math(aS)]의 모든 원소의 곱은 [math(n)]으로 나눈 나머지가 같다.

[math( b_1\cdots b_{\varphi\left(n\right)} \equiv a^{\varphi\left(n\right)}b_1\cdots b_{\varphi\left(n\right)} \left(\text{mod} ~n\right))]

[math( \therefore ~ a^{ \varphi \left( n \right) } \equiv 1 \left( \text{mod}~ n \right) )]

2.1.1. 다른 증명[편집]

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[math(n)] 이하의 자연수중 [math(n)]과 서로소인 수만 모아놓은 집합을 [math(S)]라 하자.
정의에 의해 [math(S)]의 원소의 개수는 [math( \varphi (n) )]이다.

그러면, 자명하게 [math(S)]는 [math(\bmod n)] 곱셈군을 이루고, 라그랑주 정리에 의해 [math(|S:\langle a\rangle||\langle a\rangle | = |S|=\varphi (n))]로 [math(a)]의 위수는 [math(\varphi(n))]의 약수이다. 따라서, [math(a^{\varphi(n)})]는 곱셈의 항등원 [math(1)]이 된다.

2.2. 응용[편집]

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오일러 정리는 거듭제곱의 마지막 세 자리 수를 구하는 데 자주 사용된다. 예를 들어 [math(7^{2016})]의 마지막 세 자리 수를 구하고 싶을 때, [math(\varphi \left( 1000 \right) = 400)]이므로 [math(7^{400} \equiv 1 \left(\text{mod}~1000 \right))]가 성립함을 이용하면, [math(7^{2016} \equiv \left( 7^{400} \right)^5 \times 7^{16} \left( \text{mod}~1000 \right))]에 의해 [math(7^{16})]을 [math(1000)]으로 나눈 나머지를 구하면 된다.[1]

2.3. 기타[편집]

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오일러 정리는 대표적인 공개키 암호화 방식 중 하나인 RSA의 가장 중요한 이론이 되는 정리다.

3. 동차함수에 대한 오일러 정리[편집]

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함수 [math(f(x_k))]가 [math(x_k)]에 대한 [math(n)]차 동차함수이면, 다음이 성립한다.

3.1. 오일러 정리의 미분[편집]

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n차 동차 함수에 대한 오일러 정리는 다음과 같다.
이제 [math(n)]차 동차 함수의 정의를 사용하여, 오일러 정리가 연쇄 법칙을 따르는 것을 확인할 수 있다. 임의의 실수 [math(\lambda)]를 가정할때, [math(n)]차 동차 함수는 다음과 같다.


양측에 대해 미분할때, 왼쪽 식에 연쇄 법칙을 적용하자. [math(u=\lambda x, v=\lambda y)]로 치환하여 [math(f(\lambda x,\lambda y)=f(u,v))]를 가정하면,


그러므로,

4. 기하학에서의 오일러 정리[편집]

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  자세한 내용은 오일러 삼각형 정리 문서를 참고하십시오.