산술함수
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Arithmetic Function
1. 개요[편집]
자연수 혹은 정수 집합 및 그 부분집합에서 실수/복소수로 가는 함수들 중, 정수론에서 빈번하게 쓰이는 함수들을 말한다.
대부분의 산술함수는 정수의 성질을 연구하기 위해 등장한 함수들로, 일반적인 수열이나 함수랑은 다른 정수론만에서의 고유한 방식으로 탐구된다.
2. 산술함수의 성질[편집]
2.1. 승법성[편집]
산술함수 [math(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C})]가 승법 함수 및 곱셈적 함수(multiplicative function)라는 것은, 서로소인 [math(m,n)]에 대해 [math(f(mn) = f(m) f(n))]이란 것을 의미한다. 승법 함수는 소수의 거듭제곱꼴 [math(p^e)]에서의 값을 알면 모든 값을 알 수 있다. 약수의 개수, 합, 오일러 파이 함수 등 상당히 많은 함수들이 승법성을 만족시킨다.
완전 승법 함수 및 완전 곱셈적 함수(completely multiplicative function)는 위 조건이 모든 [math(m,n)]에 대해 만족되는 함수이고, 이 경우에는 소수 위에서의 값만 알아도 충분하다. 완전 승법 함수로는 [math(n)]의 거듭제곱 꼴 외에도 디리클레 지표(Dirichlet character) 등등이 있다.
2.2. 디리클레 합성곱[편집]
산술함수 [math(a,b)]의 디리클레 합성곱 [math(c = a * b)]는
[math(\displaystyle c(n) = \sum_{d \vert n} a(d) b\left( \frac{n}{d} \right) = \sum_{de=n} a(d) b(e) )]
로 정의된다. 이 디리클레 합성곱은 다음의 성질을 지닌다.- 결합법칙, 교환법칙, 합과 상수배에 대한 분배법칙이 성립한다.
- 항등원은 [math(n=1)]에서 1의 값을 가지고 나머지에선 0인 함수이다.[1]
- 함수 [math(a)]의 역원이 존재할 필요충분조건은 [math(a(0) \neq 0)]이다.
[math(b = 1 * a \Rightarrow a = \mu * b)]
이를 풀어쓰면 다음과 같다.[math(\displaystyle b(n) = \sum_{d \vert n} a(d) \Rightarrow a(n) = \sum_{d \vert n} b\left( \frac{n}{d} \right) \mu(d) )]
이를 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)이라 부른다.2.3. 디리클레 급수[편집]
산술함수 [math(a(n))]의 디리클레 급수(Dirichlet series)는 [math( \sum a(n) n^{-s} )]로 정의된다. 산술함수가 다항식 이하의 성장성을 보일 경우 이 급수는 특정 범위에서 수렴하고, 그렇지 않으면 단순히 형식적인 표현으로 간주된다.
디리클레 급수는 정수의 곱에 대한 성질과 여러 방식으로 관련을 맺고 있다. 예로 승법 함수의 경우 디리클레 급수는 소수 [math(p)]에 대한 곱들로 나타낼 수 있고, 이 소수 [math(p)]에 대한 인수가 유한한 항으로 나타낼 수 있을 때 오일러 곱(Euler product)이 존재한다고 표현한다. 대표적인 예시로 리만 제타 함수의 오일러 곱
[math(\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\, \in\,\mathbb P} \frac{1}{1-p^{-s}} )]
이 있다. 또한 디리클레 합성곱이 디리클레 급수에서는 곱으로 대응되는 된다는 성질이 있어서, 약수와 관련된 성질을 다룰 경우 이 급수가 자연스럽게 등장하는 경우가 많다.한편으로 디리클레 급수는 [math(x = \log n)] 위에서의 이산 질량 분포의 라플라스 변환의 일종으로 간주될 수 있다. 복소해석학에 익숙하다면 라플라스 변환의 역변환인 멜린 변환(Mellin transform)을 통해 디리클레 급수에서 산술함수의 합에 대한 정보를 이끌어낼 수 있고, 이 사고방식은 리만 가설 이후 현재까지의 해석적 정수론의 주 패러다임이 되어 왔다.
물론 산술함수의 생성함수로 디리클레 급수만 쓰이는 건 아니고, 기존 일반 생성함수나 세타 급수(theta series) [math( \sum_n a_n e^{-n^2 \tau + 2 \pi i n z} )] 등등 다른 급수를 생각하는 경우도 많다.
3. 주요 산술함수들의 목록[편집]
별도의 언급이 없으면 함수들의 정의역은 자연수(양의 정수)로 간주한다. 이 목록 외에도 무수히 많은 산술함수들이 있다. [math(n)]의 소인수분해 표현을
[math(\displaystyle n=\prod_{i=1}^{t} p_i^{e_i})]
이라 하자.- 약수의 개수 [math(d(n))] 혹은 [math(\tau(n))]
[math(\displaystyle d(n) := \sum_{d \vert n} 1 = \sum_{ab=n} 1 = \prod_{i=1}^{t}(e_i+1) = 1 * 1)]
- 디리클레 약수 함수 [math(d_k(n))] 혹은 [math(\tau_k(n))]
[math(\displaystyle d_k(n) := \sum_{a_1 a_2 \cdots a_k =n} 1 = \prod_{i=1}^{t} \binom{e_i+k-1}{k-1} =1*\cdots*1(k \text{ times}) )]
- 소인수의 개수 [math(\Omega(n))], 서로 다른 소인수의 개수 [math(\omega(n))]
[math(\displaystyle \Omega(n) := \sum_{p^k \vert n} 1= \sum e_i, \quad \omega(n) := \sum_{p \vert n} 1 = t)]
- 약수의 합 [math(\sigma(n))]
[math(\displaystyle \sigma(n) := \sum_{d \vert n} d = \prod_i \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i-1} = 1*n)]
- 약수의 거듭제곱의 합 [math(\sigma_k(n))]
[math(\displaystyle \sigma_k(n) := \sum_{d \vert n} d^k = \prod_i \frac{p_i^{k(e_i+1)}-1}{p_i^k-1} = 1 * n^k)]
- 오일러 파이 함수 [math(\varphi(n))]
[math(\displaystyle \varphi(n) := \sum_{1 \le a \le n, \mathrm{gcd}(a,n)=1} 1 = n \prod_{p \vert n}(1-\frac{1}{p}) = n * \mu(n) )]
- 뫼비우스 함수 [math(\mu(n))]
[math(\displaystyle \mu(n) := \begin{cases} 1 & \text{if } n=1 \\(-1)^t & \text{if } n = p_1 p_2 \cdots p_t, \text{ product of distinct primes} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}, \quad 1 * \mu(n) = \delta_{n0})]
- 디리클레 지표(Dirichlet character) [2]
- 르장드르 기호 및 야코비 기호: 정의는 이차 잉여 항목을 참고.
- 힐베르트 기호
- 소수 계량 함수와 체비쇼프 함수 2종
- [math(\pi(x), \psi(x), \vartheta(x))] [3]
[math(\displaystyle \pi(x) := \sum_{p \le x} 1, \quad \psi(x) := \sum_{p^k \le x} \log p, \quad \vartheta(x) := \sum_{p \le x} \log p)]
- 폰 망골트 함수 [math(\Lambda(n))]
[math(\displaystyle \Lambda(n) := \mu * \log(n) = \begin{cases} \log p & \text{if } n = p^k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} )]
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