폴리냑 추측

Polignac's conjecture

1. 개요[편집]

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임의의 짝수 [math(2k)]에 대하여 [math((p, p+2k))]인 소수 순서쌍은 무수히 많다는 추측. [math(k=1)]이면 쌍둥이 소수, [math(k=2)]이면 사촌 소수, [math(k=3)]이면 섹시 소수에 관련된 문제가 되는 식이다.

2. 진행 상황[편집]

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폴리냑의 추측은커녕 [math(k=1)]인 경우(쌍둥이 소수 추측)조차도 증명되지 않았다(...).[1]

그런 와중에 더 일반화된 추측들이 있는데, 위의 [math(p+2k)] 꼴을 [math(ap+b)] 꼴의 선형식으로 발전시킨 딕슨 추측(Dickson's conjecture), 여기서 한 발 더 나아가 임의의 정수 위에서 정의되며 최고차항의 계수가 양수이고 다른 다항식에 의해 나누어지지 않는(irreducible) 다항식들을 모았을 때 그 방정식들이 임의의 수 [math(n)]에 대해 모두 소수를 나타내기 위한 조건을 나타내는 신첼의 가설 H(Schinzel's hypothesis H)가 있다. H는 오타가 아니라 정말 추측 이름이다. 다만 논문에서는 H는 주로 생략한다.

신첼의 가설은 다음의 두 명제가 각각 성립가능하며 상호 모순임을 증명하는 것이다. 이 가설이 성립함은 어떤 자연수 [math(N)]도 두 소수 [math(p, q)]에 대해 [math(N=\frac{p+1}{q+1})] 꼴로 나타낼 수 있음에 동치이며, 이는 Conroy(2001)에서 [math(N=10^9)]까지는 증명되어 있다.

양의 정수 [math(n)]에 대해

1.[math(f_1(n), f_2(n), \cdot\cdot\cdot, f_k(n))]이 모두 소수가 되는 [math(n)]이 무수히 많다.

2.주어진 다항식 [math(f_1, f_2, \cdot, f_k)]에 종속하는 적절한 상수 [math(m>1)]이 존재해 모든 [math(n)]에 대해 [math(f_1(n)f_2(n)\cdot\cdot\cdot f_k(n))]이 [math(m)]으로 나누어 떨어진다.[2]

임의의 다항식이 특정한 수를 나타내는 값을 해로 가질 수 있는 경우는 실수 내에서도 유한하므로 당연히 유리수 내에서는 유한하며, 즉 이것이 성립함은 1.에서처럼 모든 다항식에 대해 소수가 되도록하는 [math(n)]의 개수가 주어진 다항식의 차수의 합 [math(\pi)] 이하임을 증명하는 것이다. [math(m)]이 소수가 아니라면 그걸로 증명 끝이고, 소수라면 [math(f_i(n)=mk)]가 소수라면 [math(k=1)]이어야 하므로 위에서 논거한 바에 의해 참이다.

예시를 들기에도 정말 증명된 부분이 없기 때문에 '반칙'을 사용한 예시를 사용한다. [math(f(x)=3x-6)]이라 하자.(반칙인 이유는 [math(3(x-2))]로 인수분해가 가능한 식이므로 조건에 완전히 부합하지 못 한다.) 1.조건을 성립시키는 수는 [math(x=3)] 뿐이다. 그렇다면 2.조건을 만족해야 하는데 3이 항상 이 식을 나누므로 참이다. 반칙을 사용하지 않는다면 [math(g(x)=x^2-x+2)] 같은 예시를 쓸 수 있다. [math(g(x)=x(x-1)+2)]는 항상 짝수이고 [math(g(x))]가 소수인 [math(x)]는 0,1밖에 없음이 자명하므로 2.가 성립하고 1.이 성립하지 않는다.

위에서 언급되었듯 쌍둥이 추측조차 증명이 되지 않아 소개할 수 있는 부분이 많지 않으므로(...)[3]신첼의 가설 H의 일반화(임의의 일변수 장에서 환으로 보내는 사상)가 거짓임을 증명하는 반례를 소개하는 것으로 갈음한다. 1962년 스완에 의해 제기된 반례로 환 [math(F_2[u])][4]에 대해 [math(f(x)=x^8+u^3)]은 식 그 자체로는 인수분해가 불가능하지만 어떤 [math(x\in F_2[u])]에 대해서도 더 낮은 차수의 [math(F_2[u])]의 원소로 인수분해가 가능한 식임이 증명되어 있다. 하지만 [math(f(0)=u^3, f(1)=u^3+1)]은 서로소이다. 즉 1.이 성립하지 않지만 2.가 성립함을 보증할 수 없다.[5]