쌍둥이 소수

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1. 개요
2. 쌍둥이 소수 추측
2.1. 주요 연구 결과
3. 1100 미만의 쌍둥이 소수
4. 관련 문서



1. 개요[편집]

twin prime

쌍둥이 소수란, p 와 p+2 가 둘 다 소수인 소수쌍을 의미한다.[1] (3, 5), (5, 7), (11, 13) 등의 소수쌍을 쌍둥이 소수라고 부른다. 그리고 2와 3의 소수쌍(2, 3)은 차이가 1이며, 2가 들어있을 경우에는 예외적으로 홀수 만큼 차이가 나므로 쌍둥이 소수라고 하지 않는다.


2. 쌍둥이 소수 추측[편집]

쌍둥이 소수 추측(twin prime conjecture)은 이런 쌍둥이 소수가 '무한히 많을 것이다' 라는 추측이다. 힐베르트의 23가지 문제에도 나오는 문제이며, 21세기 현재 증명도 반증도 안 되었다.


2.1. 주요 연구 결과[편집]

  • 브룬의 정리
브룬은 쌍둥이 소수의 역수의 합은 '수렴한다'는 브룬의 정리를 발표했다. 그 수렴 값은 브룬 상수라고 부른다. 만약 쌍둥이 소수의 역수의 합이 발산하면, 쌍둥이 소수 추측도 참이라는 것이 증명될 수 있었다. 그러나 이 값이 수렴하므로 이 수렴값이 유리수인지 무리수인지를 판별할 필요성이 생겼다. 수렴값이 무리수라면 쌍둥이 소수 추측이 참이지만, 유리수라면 아무 결론도 도출하지 못한다.

  • 장이탕(张益唐, 1955~)의 연구 결과
2013년, 중국의 수학자 장이탕은 두 소수의 간격이 [math(N)] 미만인 소수쌍이 무한히 많다는 것을 증명하였다. 장이탕은 [math(N)]이 7천만일 때 성립함을 보였다. 다른 수학자들의 공동 연구로 [math(N)]의 값은 계속 줄어들어 [math(N=246)]일 때 성립함이 증명되었다.[2] 만약 [math(N)]을 [math(4)]까지 줄일 수 있다면 쌍둥이 소수 추측이 증명되는 것이다.

소수 계량 함수와 유사하게, x 보다 작은 쌍둥이 소수의 개수를 [math(\pi_2\left(x\right))] 라고 할 때 [math(\displaystyle \pi_2\left(x\right) \approx \rm C \left({x \over {(\ln x)^2}} \right) )] 라고 추측하였다. 그리고, 이 상수 [math(\rm C)]는 다른 수학자들에 의해 0.6601618158...이란 값을 가진다고 계산되었으며 '하디-리틀우드 상수'라는 이름을 가지게 되었다. 하디-리틀우드 추측이 참이 되면, 당연히 쌍둥이 소수 추측도 참이 된다.

1973년 천징룬은 p가 소수일 때 소수 또는 준소수[3]인 p+2가 무한히 많다는 것을 증명했다. 이를 천의 두 번째 정리라고도 한다.


3. 1100 미만의 쌍둥이 소수[편집]



4. 관련 문서[편집]

  • 사촌 소수(Cousin Prime)
  • 섹시 소수(Sexy Prime)
  • 세 쌍둥이 소수(Prime Triplet) : (p, p+2, p+6) 또는 (p, p+4, p+6) 소수 인 경우.
    • (p, p+2, p+4) 중 하나는 3의 배수이므로 무한하기는 커녕 그 개수가 1세트를 넘어설 수 없다. (3, 5, 7)은 특별한 예외로 취급한다.[4]
  • 네 쌍둥이 소수(prime quadruplet) : (p, p+2, p+6, p+8) 가 모두 소수인 경우. (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) 등이 있다.[5]
  • 소피 제르맹 소수 : (p, 2p+1) 이 소수인 경우


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[1] 이런 '집합 원소'가 있는 집합을 집합족(family of sets)이라고 한다.[2] 여담이지만 이 사실을 찾아낸 사람 중에서만 필즈상이 2번 나왔다. 그 유명한 테렌스 타오(2006), 그리고 제임스 메이나드(2022). 둘은 독립적으로 연구했다고 한다.[3] semiprime, 두 소수의 곱으로 이루어진 수. '반소수' 또는 '거의 소수'라고 표현하기도 한다.[4] (p, p+2, p+4) 꼴의 소수로는 처음이자 마지막이다.[5] 참고로 처음의 (5, 7, 11, 13)을 제외하고는 모두 (30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19)의 꼴로 나타난다.

관련 문서