폰 망골트 함수

분류

정수론
Number Theory

[ 펼치기 · 접기 ]

산술
나눗셈	약수·배수	배수 · 약수(소인수) · 소인수분해(목록) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수
	약수들의 합에 따른 수의 분류	완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 부부수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수
	정리	베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리
	기타	유클리드 호제법 · 서로소
디오판토스 방정식		페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측(미해결)
모듈러 연산
2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리
소수론
수의 분류	소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수(사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수
분야	대수적 정수론 · 해석적 정수론
함수	뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수· 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식
정리	그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)(천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리
기타	에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식

특수함수
Special Functions

[ 펼치기 · 접기 ]

적분	오차함수(error function) · 베타 함수^{(불완전 베타 함수)} · 감마 함수^{(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수)} · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식	르장드르 함수^* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수	브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수	제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론	소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타	헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.

폰 망골트 함수(Von Mangoldt function)는 특수함수의 하나로, [math(n\in\N)]에 대해 다음과 같이 정의된다.

\end{cases} )]

여기서 [math(\mathbb{P})]는 소수 집합이다. 위 정의식을 한 항으로 압축시켜 다음과 같이 나타낼 수 있다.

)]

[유도 과정 보기]: ---
우선 소인수가 1개일 경우 1, 소인수가 1개가 아닌 경우 0인 경우를 정의하기 위해 다음과 같은 합성함수를 정의하자.

[math(( {\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n))]

그리고 결과값을 내놓을 로그함수를 여기에 곱해주자.

[math(\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n))]

위 정의에 따라 소인수가 1개일 경우에만 그 수의 로그값을 얻는다.

그런데 이 정의에는 문제가 있다. [math(\omega(n))]은 소인수의 제곱수에서도 1의 값을 띠기 때문이다. 이때, 로그의 성질에 의해 [math(\ln a^b = b \ln a)]가 성립하므로, 소인수 멱수 계량 함수를 나누어서 상쇄시킬 수 있다.

[math(\dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n)})]

여기까지 봐서는 큰 문제가 없는 듯하지만, [math(\Omega(n)=0)]을 만족하는 자연수가 존재한다. 다름아닌 1로, 위 식에 1을 대입하면

[math(\dfrac{\ln1 \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1)} = \dfrac00)]

의 부정형이 되어 잘 정의된 함수가 아니다.[1]
여기에 로피탈의 정리를 갖다 붙이려는 사람이 있을 수 있는데, 정의에 사용한 [math({\bf1}_{\{1\}}(n), \omega(n), \Omega(n))] 모두 도함수가 없기 때문에 로피탈의 정리를 쓸 수가 없다.

그런데 부정형을 만드는 자연수는 1뿐이므로, 분모에 위에서 정의한 판별 함수를 더해주면 1에서도 잘 정의됨을 알 수 있다.

[math(\dfrac{\ln1 \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1) +{\bf1}_{\{1\}}(1)} = \dfrac01 = 0)]

최종적으로 폰 망골트 함수의 정의는 이렇게 유도된다.

[math(\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \cdot \,({\bf1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) +{\bf1}_{\{1\}}(n)})]

위에서 [math(\omega)], [math(\Omega)]는 소인수 계량 함수, [math({\bf1}_{\{1\}})]는 소인수가 하나인 수만을 취하기 위한 1만을 원소로 갖는 집합의 판별 함수이다. 분모의 [math({\bf1}_{\{1\}}(n))]은 [math(\Omega(n)=0)][1]인 상황에서도 잘 정의하기 위한 것이다.

정의에 따라 소수이거나 소수의 거듭제곱으로 정의된 수인 경우 해당 소인수의 자연로그값을 띠며[2], 나머지 경우에는 [math(0)]이다.

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-24 02:32:14에 나무위키 폰 망골트 함수 문서에서 가져왔습니다.

[1] [math(\Omega(n)=0)]를 만족하는 자연수는 딱 하나 있다. 다름 아닌 [math(1)].[2] 예컨대 [math(\Lambda(2)=\Lambda(4)=\Lambda(8)=\cdots=\Lambda(2^n)=\ln 2)]가 성립한다.

폰 망골트 함수

분류

관련 문서