역삼각함수

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역삼각함수 관련 틀

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1. 개요

2. 상세

3. 표기법

4. 항등식

5. 그래프

6. 도함수

7. 역도함수

7.1. 특수 적분

8. 무한급수

9. 기타 논의

9.1. 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이

9.2. 역삼각함수를 이용한 각 찾기

9.3. 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수

9.4. 이변수함수 꼴

10. 복소수 관련

10.1. 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기

10.2. 복소평면상 역삼각함수의 그래프

11. 기타

12. 관련 문서

1 . 개요[편집]

inverse trigonometric function · 逆三角函數

삼각함수는 각 [1]을 입력받아 그 각에 대한 삼각비의 값을 출력하는 함수이다. 그것에 대한 역함수, 곧 삼각함수의 값을 입력받아 그 값에 해당하는 각을 출력하는 함수를 생각할 수 있고, 그것을 역삼각함수라 한다.

호도법에서는 단위원을 기준으로 각의 크기가 호의 길이가 되기 때문에 호를 의미하는 접두사 [math(\text{arc-})]가 본래 함수의 명칭 앞에 붙는다.

2 . 상세[편집]

삼각함수는 주기함수이기 때문에 일대일대응이 아니어서 역함수를 정의할 수 없다. 하지만 정의역을 제한하여 일대일 대응으로 만들면 역함수를 정의할 수 있게 된다.

이 문제를 쉽게 생각하기 위해 [math(\sin{\theta}=a)] (단, [math(|a| \leq 1)])의 방정식을 고려해보자. 이 삼각방정식의 해가 무한히 존재하는 것은 일반해의 개념을 논의하면서 보았다. 이 뜻은 한 [math(a)]의 값에 대하여 [math(\theta)] 값이 여러개 존재한다는 의미가 되는데 역삼각함수는 [math(a)]의 값에 대하여 [math(\theta)]의 값을 출력하는 함수임을 고려해보면 하나의 정의역의 원소에 대응되는 값이 여러개 존재한다는 의미가 되어 일정 조건을 걸지 않으면 역삼각함수는 함수가 될 수 없다.

하지만 일종의 제약 즉, [math(\theta)] 값을 가질 수 있는 영역을 제한한다면 일대일대응이 되어 함수가 될 수 있다. 이 제한한 영역을 주욧값(principal value)이라 한다.

각 역삼각함수의 정의역과 치역(주욧값)을 나열해보면 아래와 같다.

역삼각함수	정의역	치역
[math(\boldsymbol{y=\arcsin{x}})]	[math(-1 \leq x \leq 1 )]	[math(\|y\| \leq \dfrac{\pi}{2})]
[math(\boldsymbol{y=\arccos{x}})]	[math(-1 \leq x \leq 1 )]	[math(0 \leq y \leq \pi)]
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arcsec}\,{x}})]	[math(x \geq 1)] 또는 [math(x \leq -1)]	[math(0 \leq y <\dfrac{\pi}{2})] 또는 [math(\dfrac{\pi}{2} < y \leq \pi)][2] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 [math(0 \leq y <\pi/2)] 또는 [math(\pi < y \leq 3\pi/2)]로 하기도 한다.
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arccsc}\,{x}})]	[math(x \geq 1)] 또는 [math(x \leq -1)]	[math(-\dfrac{\pi}{2} \leq y <0)] 또는 [math(0 < y \leq \dfrac{\pi}{2})][3] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 [math(-\pi \leq y <-\pi/2)] 또는 [math(0 < y \leq \pi/2)]로 하기도 한다.
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arctan}\,{x}})]	실수 전체	[math(\|y\| <\dfrac{\pi}{2})]
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arccot}\,{x}})]	실수 전체	[math(0<y<\pi)]

아크 사인, 아크 탄젠트, 아크 코시컨트, 아크 코탄젠트는 원점 대칭인 홀함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} \arcsin x &= -\arcsin \left(-x\right) \\ \arctan x &= -\arctan \left(-x\right) \\ \mathrm{arccsc}\,x &= -\mathrm{arccsc} \left(-x\right) \\ \mathrm{arccot}\,x &= -\mathrm{arccot} \left(-x\right) \end{aligned})]

[1] 일반적으로 호도법으로 나타낸 각을 받는다.[2] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 [math(0 \leq y <\pi/2)] 또는 [math(\pi < y \leq 3\pi/2)]로 하기도 한다.[3] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 [math(-\pi \leq y <-\pi/2)] 또는 [math(0 < y \leq \pi/2)]로 하기도 한다.

반면에 아크 코사인, 아크 시컨트는 원래 함수가 짝함수인 관계로 음함수가 되는 것을 회피하기 위해 [math(x)]축 아래를 버렸으므로 홀함수도 짝함수도 아니며, 다음이 성립한다.

[math( \begin{aligned} \arccos{(-x)}&=\pi-\arccos{x} \\ \operatorname{arcsec}{(-x)}&=\pi-\operatorname{arcsec}{x} \end{aligned} )]

3 . 표기법[편집]

학자, 교재, 프로그래밍 언어마다 그 표기법이 달라 주의를 요한다. 예를 들어 아크 사인의 경우 [math(\operatorname{asin}{x})], [math(\operatorname{arcsin}{x})], [math(\sin^{-1}{x})] 등의 방법으로 표기한다. 다만 수학계가 권장하는 것은 접두사 [math(\text{arc-})]를 붙인 형태이며, -1을 첨자로 올린 방식은 제곱 표기와 혼동될 수 있어 그다지 권장하지 않는다. 따라서 해당문서에서는 수학계가 권장하는 방식인 접두사 [math(\text{arc-})]를 붙인 형태만 서술한다.

4 . 항등식[편집]

[math(\arcsin{x}+\arccos{x}=\dfrac{\pi}{2})]
[math(\operatorname{arcsec}{x}+\operatorname{arccsc}{x}=\dfrac{\pi}{2})]
[math(\arctan{x}+\operatorname{arccot}{x}=\dfrac{\pi}{2})]

[math(\arccos{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\operatorname{arcsec}{x})]
[math(\arcsin{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\operatorname{arccsc}{x})]
[math(\operatorname{arcsec}{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\arccos{x})]
[math(\operatorname{arccsc}{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\arcsin{x})]
[math(\arctan{\biggl( \dfrac{1}{x}\biggr)}=\begin{cases}\operatorname{arccot}{x} \quad & (x>0)\\ \operatorname{arccot}{x}-\pi \quad & (x<0) \end{cases})]
[math(\operatorname{arccot}{\biggl( \dfrac{1}{x}\biggr)}=\begin{cases}\arctan{x} \quad & (x>0)\\ \arctan{x}+\pi \quad & (x<0) \end{cases})]

[math(\sin{(\arccos{x})}=\sqrt{1-x^{2}})]
[math(\cos{(\arcsin{x})}=\sqrt{1-x^{2}})]
[math(\sec{(\arctan{x})}=\sqrt{1+x^{2}})]
[math(\tan{(\operatorname{arcsec}{x})}=\sqrt{x^{2}-1})]
[math(\tan{(\operatorname{arcsin}{x})}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}})]
[math(\cos{(\operatorname{arctan}{x})}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})]

[math(\arcsin{x} \pm \arcsin{y}=\arcsin{(x \sqrt{1-y^{2}} \pm y \sqrt{1-x^{2}})})]
[math(\arccos{x} \pm \arccos{y}=\arccos{(xy \mp \sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}})})]
[math(\arctan{x} \pm \arctan{y}=\arctan{\biggl( \dfrac{x \pm y}{1 \mp xy} \biggr )})]

5 . 그래프[편집]

본래의 삼각함수와 역함수 관계에 있기 때문에 해당 그래프들을 [math(y=x)]에 대하여 대칭하면 삼각함수의 그래프와 일치하게 된다. 상술했듯 정의역의 범위를 제한했으므로, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트를 제외하면 실수의 진부분집합에 대해서만 그래프가 나타난다.

한편, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다.

6 . 도함수[편집]

[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\arcsin x) = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\arccos x) = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\arctan x) = \dfrac1{1+x^2})]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arcsec}\,x) = \dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arccsc}\,x) = -\dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arccot}\,x) = -\dfrac1{1+x^2})]

미분 형태에서 볼 수 있듯 제곱근 함수의 역수꼴이어서 삼각치환에서 자주 볼 수 있다.

부호는 삼각함수의 도함수와 같다.

[도함수 유도하기]

--
[1] 아크 사인

[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\arcsin{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=\sin{y} \end{aligned} )]

이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} 1=\cos{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\cos{y}} \end{aligned} )]

한편, [math(\cos{y}=\sqrt{1-\sin^{2}{y}})]인데, 부호를 양으로만 선택한 것은 아크 사인의 치역 [math(-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)]때문이다. 그런데, [math(x=\sin{y})]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arcsin{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} }} \end{aligned} )]

[2] 아크 코사인
아크 사인 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arccos{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} }} \end{aligned} )]

[3] 아크 탄젠트

[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\arctan{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=\tan{y} \end{aligned} )]

이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} 1=\sec^{2}{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sec^{2}{y}} \end{aligned} )]

한편, [math(\sec^{2}{y}=1+\tan^{2}{y})]이고, [math(x=\tan{y})]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arctan{x})=\frac{1}{1+x^{2}} \end{aligned} )]

[4] 아크 시컨트

[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\operatorname{arcsec}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=\sec{y} \end{aligned} )]

이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} 1=\sec{y}\tan{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sec{y}\tan{y}} \end{aligned} )]

한편, 치역에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{y}= \begin{cases} \sqrt{\sec^{2}{y}-1} \quad & \left( 0<y \leq \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \\ -\sqrt{\sec^{2}{y}-1} \quad & \left( \dfrac{\pi}{2}<y \leq \pi \right) \end{cases} \end{aligned} )]

이고, [math(x=\sec{y})]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{y}= \begin{cases} \sqrt{x^{2}-1} \quad & ( x \geq 0 ) \\ \\ -\sqrt{x^{2}-1} \quad & (x<0) \end{cases} \end{aligned} )]

이상에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}{x})= \begin{cases} \dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} \quad & ( x \geq 0 ) \\ \\ \dfrac{1}{-x\sqrt{x^{2}-1}} \quad & (x<0) \end{cases} \end{aligned} )]

한편 이것을 한 번에 쓰기 위해서 절댓값의 특성을 고려하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}{x})= \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} \end{aligned} )]

을 얻는다.

[5] 아크 코시컨트
아크 시컨트와 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arccsc}{x})= - \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} \end{aligned} )]

[6] 아크 코탄젠트
아크 탄젠트와 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arccot}{x})= -\frac{1}{1+x^{2}} \end{aligned} )]

7 . 역도함수[편집]

[math(\displaystyle \int \arcsin x\,{\mathrm{d}x} = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \arccos x\,{\mathrm{d}x} = x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \arctan x\,{\mathrm{d}x} = x \arctan x - \frac12\ln\,(x^2+1)+{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arcsec}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arcsec}\,x - \mathrm{sgn}\,x \ln\,(x+\sqrt{x^2-1})+{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arccsc}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arccsc}\,x + \mathrm{sgn}\,x \ln\,(x+\sqrt{x^2-1})+{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \mathrm{arccot}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arccot}\,x + \frac12\ln\,(x^2+1)+{\textsf{const.}})]

부분적분을 활용하여 증명할 수 있다.

여기서 [math(\mathrm{sgn}\,x)]는 부호 함수이고, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.

7.1 . 특수 적분[편집]

[math(\displaystyle \int \frac{\arcsin x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2} [2 \ln{(-e^{2i \arcsin x} + 1 )} - i \arcsin x] - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i \arcsin x}) +{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \frac{\arccos x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2} [2 \ln{(e^{2i \arccos x} + 1 )} - i \arccos x ] - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i \arccos x} ) +{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} [ \mathrm{Li}_2 ( -ix ) - \mathrm{Li}_2 (ix ) ] +{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{arcsec}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \mathrm{arcsec}\,x (2i \ln{(e^{2i\, \mathrm{arcsec}\,x} + 1 )} + \mathrm{arcsec}\,x ) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (-e^{2i \,\mathrm{arcsec}\,x} ) +{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{arccsc}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \mathrm{arccsc}\,x (2i \ln{(-e^{2i\, \mathrm{arccsc}\,x} + 1 )} + \mathrm{arccsc}\,x ) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i\, \mathrm{arccsc}\,x} ) +{\textsf{const.}})]
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{arccot}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{i}{2} \left[ \mathrm{Li}_2 \biggl( -\frac{i}{x} \biggr) - \mathrm{Li}_2 \biggl(\frac{i}{x} \biggr) \right] +{\textsf{const.}})]

여기서 [math(\mathrm{Li}_2)]는 폴리로그함수이고, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.

8 . 무한급수[편집]

아크 사인 생성함수

[math(\displaystyle \arcsin{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \quad (|z| \leq 1))]

[math(x!!)]는 이중계승이다.

아크 탄젠트 생성함수 또는 그레고리 급수(Gregory Series)

[math(\displaystyle \arctan{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{2n+1}z^{2n+1} \quad (|z| \leq 1) )]

9 . 기타 논의[편집]

9.1 . 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이[편집]

삼각함수 문서에서 삼각방정식의 한 특수해를 [math(\xi)], [math(a)], [math(b)]는 상수, [math(|a| \leq 1)], [math(n)]을 임의의 정수라 할 때 각 방정식의 일반해는 다음과 같음을 논의했다.

방정식	일반해
[math(\boldsymbol{\sin{x}=a})]	[math(x=n\pi+(-1)^{n}\xi)]
[math(\boldsymbol{\cos{x}=a})]	[math(x=2n\pi \pm \xi)]
[math(\boldsymbol{\tan{x}=b})]	[math(x=n\pi+\xi)]

이 성립함을 보였다. 그런데 역삼각함수의 정의를 생각하면, 한 특수해를 역삼각함수로 사용해도 된다는 것을 알 수 있다. 따라서

방정식	일반해
[math(\boldsymbol{\sin{x}=a})]	[math(x=n\pi+(-1)^{n}\arcsin{a})]
[math(\boldsymbol{\cos{x}=a})]	[math(x=2n\pi \pm \arccos{a})]
[math(\boldsymbol{\tan{x}=b})]	[math(x=n\pi+\arctan{b})]

주의해야 할 것은 특정 구간에 대한 특수해를 구할 때인데, 역삼각함수는 치역이 정해져있어 구하는 구간이 치역과 동일한 경우를 제외하곤 방정식 [math(\sin{x}=a)], [math(\cos{x}=a)], [math(\tan{x}=b)]의 해를 [math(x=\arcsin{a})], [math(x=\arccos{a})], [math(x=\arctan{b})]로 단정해선 안된다. 이 경우 일반해에서 적당한 정수를 대입해 해당 구간 내에 해가 존재하도록 맞춰줘야 한다.

9.2 . 역삼각함수를 이용한 각 찾기[편집]

윗 문단에서도 논의했지만 역삼각함수는 치역이 제한되어 있어, 어떤 삼각함수의 값을 대입한다고 해서 원하는 각이 얻어지는 것은 아니다. 따라서 윗 문단과 같이 일반해를 이용하여 조건에 맞는 각을 찾아야 한다.

오일러 공식을 이용해서 다시 쓴 역삼각함수를 이용해도 되지만, 환원 불능(casus irreducibilis)[4]이 될 수 있으므로 주의하는 것이 좋다.

9.3 . 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수[편집]

이 문단에서는 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수 [math(\arcsin{(\sin{x})})]같은 꼴을 분석해본다.

[1] [math(\boldsymbol{\arcsin{(\sin{x})}})]
얼핏 생각하기엔 역함수와 본 함수를 합성한 것이어서 [math(\arcsin{(\sin{x})}=x)]라고 생각할 수 있다. 하지만 이것이 성립하는 것은 닫힌 구간 [math([-\pi/2,\,\pi/2])]에서만 성립한다. 그 이유는 아크 사인 함수의 치역 때문으로, 해당 구간을 넘어서면 역삼각함수의 치역에서 벗어나기 때문이다.

일단 가장 쉬운 단서를 파악해보자. 합성함수여도 역삼각함수의 일종이기에 [math(-\pi/2 \leq \arcsin{(\sin{x})} \leq \pi/2)]를 만족할 것이다. 또, 치역 내의 값이 함숫값으로 나오는 [math(x)]값의 구간에 대해선 [math(\arcsin{(\sin{x})}=x)]로 쓸 수 있을 것이다. 그렇기 때문에 구간을

[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{\pi}{2}+n \pi \leq x \leq \frac{\pi}{2}+n \pi \quad \cdots \,(\ast) \end{aligned} )]

으로 나누어보자. 그런데 삼각함수는 각 변수의 변형이 가능하다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{x}=\sin{ \{(-1)^{n}(x-n \pi) \} } \end{aligned} )]

이므로 해당 구간에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \arcsin{(\sin{x})}=\arcsin{[\sin{ \{(-1)^{n}(x-n \pi) \} }]}\end{aligned} )]

이때 [math((\ast))]식을 약간 변형하면,

[math(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq (-1)^{n}(x+n \pi) \leq \dfrac{\pi}{2} )]

이므로 바뀐 변수에 대해선 아크 사인 함수의 치역을 만족시키므로

[math(\displaystyle \arcsin{(\sin{x})}=(-1)^{n}(x-n \pi) \quad \left(-\frac{\pi}{2}+n \pi \leq x < \frac{\pi}{2}+n \pi \right) )]

[2] [math(\boldsymbol{\arccos{(\cos{x})}})]
[1]과 비슷한 방법으로 구간을

[math(\displaystyle \begin{aligned} 0+2n \pi & \leq x \leq \pi+2n \pi \end{aligned} )]

로 잡아보자. 코사인 또한 각 변수의 변형이 가능하다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)} \end{aligned} )]

변형된 각 변수는

[math(\displaystyle 0 \leq x-2n \pi \leq \pi )]

으로 아크 코사인 함수의 치역을 만족시킨다. 따라서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \arccos{(\cos{x})}=x-2n \pi \quad (2n \pi \leq x \leq (2n+1)\pi ) \end{aligned} )]

하지만 이것은 반만 구한 것으로 이번엔 구간

[math(\displaystyle \begin{aligned} (2n-1)\pi \leq x \leq 2n\pi \end{aligned} )]

으로 잡고, 각 변수 변환

[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)} \end{aligned} )]

을 이용하면 변환된 각변수는

[math(\displaystyle -\pi \leq x-2n \pi \leq 0 )]

여기서 한 번 더 각 변수를 변형하는데,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)}=\cos{(2n \pi-x)} \end{aligned} )]

을 이용하면 변환된 각변수는

[math(\displaystyle 0 \leq 2n \pi-x \leq \pi )]

로 아크 코사인 함수의 치역을 만족시키게 된다. 따라서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \arccos{(\cos{x})}=2n \pi -x \quad ((2n-1) \pi \leq x \leq 2n\pi ) \end{aligned} )]

한 번에 그 결과를 나타내면,

[math(\displaystyle \arccos{(\cos{x})}=\begin{cases}2n \pi -x & \quad ((2n-1)\pi \leq x < 2n\pi) \\ x-2n\pi & \quad (2n\pi \leq x < (2n+1) \pi ) \end{cases} )]

[3] [math(\boldsymbol{\arctan{(\tan{x})}})]
[1]과 비슷한 방법을 적용한다. 구간을

[math(\displaystyle \begin{aligned} -\dfrac{\pi}{2} -n \pi \leq x \leq \dfrac{\pi}{2} -n \pi \end{aligned} )]

으로 나누고,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{x}=\tan{(x+n\pi)} \end{aligned} )]

으로 각 변수를 치환하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} -\dfrac{\pi}{2} \leq x+n\pi \leq \dfrac{\pi}{2} \end{aligned} )]

로 아크 탄젠트 함수의 치역을 만족하므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \arctan{(\tan{x})}=x+n \pi \quad \left( -\dfrac{\pi}{2} -n \pi < x < \dfrac{\pi}{2} -n \pi \right) \end{aligned} )]

이다.

[4] 그래프
위에서 논의한 함수들의 그래프는 다음과 같다.

파일:namu_삼각함수_역삼각함수_합성.svg

각 함수는 역삼각함수의 치역 내에서 진동하는 형태를 띄며, 아크 사인과 아크 코사인 함수는 삼각파 형태를, 아크 탄젠트 함수는 톱니파 형태를 띈다.

9.4 . 이변수함수 꼴[편집]

역삼각함수 중에서 이변수함수로 정의되는 함수도 있다.

[math(\displaystyle \operatorname{atan2}{(x,\, y)} = \begin{cases}
\arctan\left(\dfrac y x\right) & \quad (x > 0) \\ \\
\arctan\left(\dfrac y x\right) + \pi & \quad (y \ge 0,\; x < 0) \\ \\
\arctan\left(\dfrac y x\right) - \pi & \quad (y < 0,\; x < 0) \\ \\
\dfrac{\pi}{2} & \quad (y > 0,\; x = 0) \\ \\
-\dfrac{\pi}{2} & \quad (y < 0,\; x = 0) \\ \\
\textsf{undefined} & \quad (y = 0,\; x = 0)
\end{cases} )]

이 함수의 결과값으로 복소수 [math(x+iy)]의 편각을 알 수 있다.

10 . 복소수 관련[편집]

10.1 . 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기[편집]

일반적인 삼각함수는 오일러의 공식을 이용해서 복소평면상에서 정의할 수 있고, 이렇게 확장하면 역함수를 정의하기가 용이하다.

[math(\arcsin z = -i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}))]
[math(\arccos z = -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}))]
[math(\arctan z = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+z}{i-z}\right)})]
[math( \mathrm{arcsec}\,z = -i\ln{\biggl(\dfrac1z+\sqrt{\dfrac1{z^2}-1}\biggr)})]
[math(\mathrm{arccsc}\,z = -i\ln{\biggl(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\biggr)})]
[math(\mathrm{arccot}\,z = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)})]

[유도하기]

--
오일러의 공식 [math(e^{ix}=\cos x+i\sin x)]를 이용한다.

[math(\begin{aligned}\cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 = \dfrac{e^{2ix}+1}{2e^{ix}} \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \dfrac{e^{2ix}-1}{2ie^{ix}}\end{aligned})]

각 식은 [math(e^{ix})]에 대한 2차 방정식과 같으므로 다음과 같이 변형한 뒤 근의 공식을 적용하고 자연로그를 취하면 [math(x)]를 [math(\cos x)], [math(\sin x)]로 나타낼 수 있게 된다.

[math(\begin{aligned} (e^{ix})^2 &- 2\cos xe^{ix} + 1=0 \\ e^{ix} &= \cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1} \\ x &= -i\ln\,(\cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1}) \\ \\ (e^{ix})^2 &- 2i\sin xe^{ix} -1 = 0 \\ e^{ix} &= i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x} \\ x &= -i\ln\,(i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x}) \end{aligned})]

[math(\cos x = z)]라 놓으면 [math(x = \arccos z)]이며, 마찬가지로 [math(\sin x = z)]라 놓으면 [math(x = \arcsin z)]이므로

[math(\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\,(z \pm \sqrt{z^2-1}) \\ \arcsin z &= -i\ln\,(iz \pm \sqrt{1-z^2}) \end{aligned})]

각 식에서 부호가 2개씩 얻어지는데, 미분했을 때 우리가 알고 있는 도함수의 꼴이 나오는 쪽을 취한다.

[math( \begin{aligned} \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\arccos z) &= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\{-i\ln\,(z \pm \sqrt{z^2-1})\} \\&= -i\dfrac{1\pm\dfrac z{\sqrt{z^2-1} }}{z\pm\sqrt{z^2-1}} \\&= -i\dfrac{\dfrac{\sqrt{z^2-1}\pm z}{\sqrt{z^2-1} }}{z\pm\sqrt{z^2-1}} \\&= \mp i\dfrac1{\sqrt{z^2-1}} \\ &= \mp i\dfrac1{i\sqrt{1-z^2}} \\&= \mp\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \\ \\ \therefore \arccos z &= -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}) \end{aligned})]

또한

[math(\begin{aligned} \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\arcsin z) &= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\{-i\ln\,(iz \pm \sqrt{1-z^2})\} \\&= -i\dfrac{i\mp\dfrac z{\sqrt{1-z^2} }}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} \\&= -i\dfrac{\dfrac{i\sqrt{1-z^2}\mp z}{\sqrt{1-z^2} }}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} \\& = -i\dfrac{\pm i}{\sqrt{1-z^2}}\\&=\pm\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \end{aligned})]

따라서

[math( \arcsin z = -i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}))]

또한 복소수 [math(z = re^{i\theta})]에서 편각 [math(\arg z = \theta)]의 범위를 구간 [math((-\pi,~\pi])]로 잡으면 [math(\ln i = \ln e^{i\pi/2 } = i\pi/2)]이므로

[math(\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}) \\& = -i\ln\,\{i(-iz+\sqrt{1-z^2})\} \\& = -i\{\ln i + \ln\,(-iz+\sqrt{1-z^2})\} \\ &= -i\ln i - i\ln\,(-iz+\sqrt{1-z^2}) \\& = -i^2\frac\pi2 + i\ln\frac1{-iz+\sqrt{1-z^2}} \\& = \frac\pi2 + i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}) \\ &= \frac\pi2 - \arcsin z \end{aligned})]

가 되어 실수 범위의 함수에서 성립하던 성질도 여전히 유효함을 알 수 있다.

[math(\arctan x)]의 경우 도함수를 적분함으로써 유도할 수 있다.

[math(\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x &= \dfrac1{1+x^2} \\&= \dfrac1{(x+i)(x-i)} \\&= \dfrac1{2i}\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i} \end{aligned})]

이므로

[math(\displaystyle \arctan x = \int \frac1{2i}\biggl(\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i}\biggr)\mathrm{d}x = \frac1{2i}\ln\,\biggl|\frac{x-i}{x+i}\biggr| + {\textsf{const.}})]

여기서 치역이 주욧값의 범위를 취한다고 하면, [math(\arctan 0 = 0)]이므로 절댓값을 벗겨서

[math(\begin{aligned}\arctan x &= \dfrac1{2i}\ln{\left(\dfrac{i-x}{i+x}\right)} \\ &= -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-x}{i+x} \right)} \\ &= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+x}{i-x} \right)}\end{aligned})]

[math(\sec z = x)]라 놓으면 [math(\cos z = x^{-1})]이므로 [math(z = \mathrm{arcsec}\,x = \arccos{x^{-1}})], 즉

[math(\mathrm{arcsec}\,z = \arccos{z^{-1}} = -\ln\,(z^{-1}+\sqrt{z^{-2}-1}))]

같은 방식으로

[math(\begin{aligned} \mathrm{arccsc}\,z &= \arcsin\dfrac1z \\&= -i\ln\,\biggl(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\biggr) \\ \\ \mathrm{arccot}\,z &= \arctan\dfrac1z = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+\dfrac1z}{i-\dfrac1z} \right)} \\&= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{zi+1}{zi-1}\right)} \\&= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)}\end{aligned})]

을 얻는다.

이 식은 삼각함수를 복소평면으로 확장해도 성립한다. 주의해야할 점은 [math(\arctan z)]와 [math(\mathrm{arccot}\,z)]인데

[math(\begin{aligned} \dfrac\pi2 - \arctan z &= \dfrac\pi2 - \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+z}{i-z}\right)} \\& = \dfrac\pi2 + \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\right)} \\ &= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z} - \pi i \right)} \\&= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}e^{-\pi i} \right)}\\& = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\cdot -1\right)} \\ &= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)} \end{aligned})]

이렇게 실수 함수에서 성립했던 성질을 유도하려면 편각 [math(\arg z)]의 범위를 [math((-\pi,~\pi])]에서 [math([-\pi,~\pi))]로 재조정해야한다는 문제점이 있다. 즉 편각의 주욧값 [math((-\pi,~\pi])] 범위로는 저 관계가 유도가 안 된다. 그냥 [math(\arctan z + \mathrm{arccot}\,z)]를 계산만 해줘도 알 수 있는데 결과값 [math( i\ln\,(-1)/2)]에서 주욧값 범위로는 [math(\ln\,(-1) = \pi i)]이므로 식의 결과가 [math(\pi/2)]가 아닌 [math(-\pi/2)]가 나온다는 것을 알 수 있다.

의외의 사실로 저 정의를 통해 유리수 삼각비 [1]에 대응하는 각도를 구할 수 있다.

10.2 . 복소평면상 역삼각함수의 그래프[편집]


[math(\arcsin z)]	[math(\arccos z)]	[math(\arctan z)]

[math(\operatorname{arcsec} z)]	[math(\operatorname{arccsc} z)]	[math(\operatorname{arccot} z)]

11 . 기타[편집]

위에서 구구절절 설명이 길었지만, 사실 개념 자체는 삼각비를 배울 때부터 함께 따라다녔다고 봐도 과언이 아니다. 가장 단적인 예가 삼각방정식인데, 직각삼각형의 변 길이가 모두 주어졌을 때 각도[5]
교과과정상 [math(30\degree)], [math(45\degree)], [math( 60\degree)]만 다루기는 하지만은.
를 구하는 과정에서 (구체적으로는 무엇인지 아직 모르는 상태이지만) 역삼각함수를 생각하고 있다고 볼 수 있다.
원주율의 근본에 밀접한 함수이기 때문에 원주율 계산에 사용되기도 한다.
나무위키 상에서 [math(\TeX)]을 이용하여 [math(\operatorname{arcsec}{x})], [math(\operatorname{arccsc}{x})], [math(\operatorname{arccot}{x})]를 입력하려면 각각
```
\operatorname{arcsec}{x
```
},
```
\operatorname{arccsc}{x
```
},
```
\operatorname{arccot}{x
```
}로 입력한다. 이 외에도
```
\(연산자 명)
```
이 지원되지 않는 함수들은
```
\operatorname{(연산자 명)
```
}을 이용한다.[6]
\mathrm{(연산자 명)} 방법을 사용할 수 있으나 이 경우엔 변수와 연산자 명 사이가 자동으로 띄워지지 않으므로 \operatorname{(연산자 명)}을 사용하는게 맞다.
경사도는 밑변 분의 높이 비율을 분율(%, ‰)로 표기하는데, 이를 각도로 나타내기 위해 역삼각함수를 사용할 수 있다.

12 . 관련 문서[편집]

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-09 13:43:29에 나무위키 역삼각함수 문서에서 가져왔습니다.

[4] 어떤 실수가 허수단위가 포함되게 표현되는 것.[5] 교과과정상 [math(30\degree)], [math(45\degree)], [math( 60\degree)]만 다루기는 하지만은.[6]

\mathrm{(연산자 명)

} 방법을 사용할 수 있으나 이 경우엔 변수와 연산자 명 사이가 자동으로 띄워지지 않으므로

\operatorname{(연산자 명)

}을 사용하는게 맞다.

역삼각함수

분류

1. 개요[편집]

2. 상세[편집]

3. 표기법[편집]

4. 항등식[편집]

5. 그래프[편집]

6. 도함수[편집]

7. 역도함수[편집]

7.1. 특수 적분[편집]

8. 무한급수[편집]

9. 기타 논의[편집]

9.1. 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이[편집]

9.2. 역삼각함수를 이용한 각 찾기[편집]

9.3. 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수[편집]

9.4. 이변수함수 꼴[편집]

10. 복소수 관련[편집]

10.1. 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기[편집]

10.2. 복소평면상 역삼각함수의 그래프[편집]

11. 기타[편집]

12. 관련 문서[편집]

관련 문서

1 . 개요[편집]

2 . 상세[편집]

3 . 표기법[편집]

4 . 항등식[편집]

5 . 그래프[편집]

6 . 도함수[편집]

7 . 역도함수[편집]

7.1 . 특수 적분[편집]

8 . 무한급수[편집]

9 . 기타 논의[편집]

9.1 . 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이[편집]

9.2 . 역삼각함수를 이용한 각 찾기[편집]

9.3 . 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수[편집]

9.4 . 이변수함수 꼴[편집]

10 . 복소수 관련[편집]

10.1 . 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기[편집]

10.2 . 복소평면상 역삼각함수의 그래프[편집]

11 . 기타[편집]

12 . 관련 문서[편집]