바이어슈트라스 타원 함수

분류

바이어슈트라스가 만든 병리적 함수에 대한 내용은 바이어슈트라스 함수 문서 참고하십시오.

특수함수
Special Functions

[ 펼치기 · 접기 ]

적분	오차함수(error function) · 베타 함수^{(불완전 베타 함수)} · 감마 함수^{(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수)} · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식	르장드르 함수^* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수	브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수	제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론	소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타	헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.

1. 개요

2. 상세

Weierstraßsche [math(\wp)]-Funktion / Weierstrass 楕圓函數

카를 바이어슈트라스가 만든 특수함수의 하나로, [math(\wp)][1]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \wp(z) \equiv z^{-2} + \sum_{\ell \in \Lambda - \{0\}} ((z-\ell)^{-2} - \ell^{-2}
))]

[1] 흘려 쓴 소문자 P. 오로지 이 함수를 위해 만든 기호인지 다른 용도로는 쓰임이 없다. 아주 드물게 멱집합의 표기로도 쓰인다. 참고로 이 기호를 출력하는 TeX 명령어는

\wp

다. ℘가 유니코드상으로도 존재하는데, U+2118에 배당되어 있다.

[math(\ell)]은 격자점, [math(\Lambda)]는 [math(\ell)]의 집합이다.

복소수 위에서 매끄러운 함수다. 즉 해석함수이면서 무한번 미분이 가능하고, 연속이다.

이를 나타낸 그래프는 다음과 같다. 그래프를 보듯 모든 복소수에서 주기성을 띤다.

파일:Weierstrass_elliptic_function_P.png

이름과는 달리 타원과는 별 상관없다. 이 함수는 타원곡선과 관련이 있는데, 복소공간에서 타원곡선 형태의 아래 식이 성립하기 때문이다.

[math([ \wp'(z) ]^2 = [ \wp(z) ]^3 + A \wp(z) + B)]

이 함수의 그래프는 원환면(일명 도넛 모양)임이 알려져 있다.[2]

&와 비슷하게 저 [math(\wp)]를 예쁘게 쓰기 어렵다. 그래서 쓸 때 귀찮으면 [math(P)]로 쓰기도 하는 모양.

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-29 12:04:23에 나무위키 바이어슈트라스 타원 함수 문서에서 가져왔습니다.

[2] 두 복소수 방향으로 주기성을 지니고 있기에 위상수학적으로 원환면과 동일한 위상이 된다.