구데르만 함수

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.



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구데르만 함수(Gudermannian function)는 특수함수의 일종으로, 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{gd}(x)&\equiv \int_{0}^{x} \mathrm{sech} \, t \,\mathrm{d}t \\ \mathrm{igd}(x) &\equiv \int_{0}^{x} \sec t \,\mathrm{d}t \end{aligned})]

형태에서 보듯 특정 삼각함수, 쌍곡선 함수의 정적분으로 정의된다. 이 두 함수는 서로 역함수 관계이며 원점 대칭함수(기함수)이다.

그래프는 다음과 같으며, [math(\rm(a))]와 [math(\rm(b))]는 각각 [math(y=\mathrm{gd}(x))], [math(y=\mathrm{igd}(x))]의 그래프이다.

파일:Plotting_Gudermannian function.png
[math(y=\mathrm{gd}(x))]와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다.

극한은 다음과 같다.(단, 복부호 동순)

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \pm \infty} \mathrm{gd}(x) &= \pm \frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to \pm {\pi}/{2}} \mathrm{igd}(x) &= \pm \infty \end{aligned})]

이 두 함수는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{gd}(x) &= (\arcsin \circ \tanh)(x) \\& = (\arctan \circ \sinh)(x)\\& = (\mathrm{arccsc} \circ \coth)(x)\\& = \mathrm{sgn}(x)(\arccos \circ\, \mathrm{sech})(x)\\& = \mathrm{sgn}(x)(\mathrm{arcsec} \circ \cosh)(x) \\&= 2 (\arctan \circ \tanh)\left(\dfrac{x}{2}\right) \\&= 2 \arctan(e^x) - \dfrac{\pi}{2} \\ \\ \mathrm{igd}(x) &= \ln |\sec x (1 + \sin x)| \\&= \ln \left|\sec x + \tan x\right| \\&= \ln \left| \tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2} \right) \right| \\&= (\mathrm{artanh} \circ \sin)(x) \\&= (\mathrm{arsinh} \circ \tan)(x) \\&= 2 (\mathrm{artanh} \circ \tan)\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{aligned} )]

위에서 [math(\mathrm{sgn}(x))]는 부호 함수이다.


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