혹 함수

분류

특수함수
Special Functions

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.

bump function

이름 그대로 그래프의 개형이 혹과 유사하며, 디랙 델타 함수를 정의하기 위한 시험 함수(test function)의 일종이다. 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \Psi(x) = {\bold 1}_{(-1,\,1)} \exp{\biggl( -\frac{1}{1-x^2} \biggr)})]

이때, [math(\bold 1)]은 집합 판별 함수이다. 그래프는 아래와 같다.

파일:namu_범프함수_그래프.png

모든 실수에서 연속이고 매끄러우나, [math(x=\pm 1)]을 기점으로 매클로린 급수가 다른 병리적인 성질을 띤다.[1]

[1] 참고로 정의식에서 [math({\bold 1}_{(-1,\,1)})]을 뺀 형태는 이런 모양이다.

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