체비쇼프 함수
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1. 정의[편집]
체비쇼프 함수(Chebyshëv function)는 소수와 관련된 두 가지 특수함수로, 제1종 체비쇼프 함수 [math(\vartheta(x))]와 제2종 체비쇼프 함수 [math(\psi(x))]가 있으며 정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \vartheta(x) &\equiv \sum_{p ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n)\ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \Lambda(n) \end{aligned} \qquad )]
위에서 [math(p)]는 소수, [math(\bold{1}_{\mathbb{P}}(n))]은 소수 판별 함수, [math(\Lambda(n))]은 폰 망골트 함수, [math(\lfloor x \rfloor)]는 바닥함수이다.
정의대로 제1종 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그값을 합하며, 제2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수 제곱수의 소인수 자연로그값을 합한 값을 띤다.[1]
함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 세타 함수[2]와 디감마 함수와 겹치기 때문에 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.
2. 소수 계승[편집]
소수 계승(primorial[3][4])은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math(n\#=e^{\vartheta(n)}=\displaystyle\prod_{p\leq n, \ \ p\,\in\,{\mathbb P}}p)]
즉, 소수 계승 [math(n\#)]은 자연수 [math(n)] 이하의 모든 소수를 곱한 값이다.
소수 정리에 의해, 체비쇼프 함수는 [math(\lim\limits_{n \to \infty} \vartheta(n)/n=1)]을 만족시킨다. 따라서 양변에 [math(\rm{exp})] 함수[5]를 취하면 소수 계승은 [math(\lim\limits_{n \to \infty}(n\#)^{1/n}=e)]를 만족시킨다.
2.1. 리만 제타 함수와의 관계[편집]
[math(p_n)]을 [math(n)]번째 소수라고 하자. 소수 계승은 [math(s=2, 3, ...)]일 때 다음과 같은 리만 제타 함수와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.
[math(\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)}, \ \ \ \ \cdots(1))]
[math(J_s(n)=n^s\displaystyle\prod_{p|n}(1-\dfrac{1}{p^s}))]
[5] [math(e)]의 거듭제곱 함수
여기서 [math(J_s)]는 Jordan's totient function이라고 부른다. [math(s=1)]일 때 [math(J_s)]는 오일러 파이 함수와 같아진다.
[math(s=1)]이면 좌변 [math(\zeta(s))]는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. [math(s=1)]일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.
[math(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}\cdot \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ \geq\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n})]
따라서, 소수의 역수의 합은 발산하므로 비교판정법에 의해 발산한다.
또한 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 [math(s)]에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
[math(\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s \zeta_n(s)}{(p_n\#)^s}, \ \ \ \ \cdots(2))]
[math(\zeta_n(s)=\displaystyle\prod_{i=1}^n \dfrac{1}{1-p_i^s})]
여기서 [math(\zeta_n)]은 리만 제타 함수의 처음 [math(n)]개 항의 부분합이다.
두 식의 출처. 여기에서 [math((2))]번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.
[math((1))]번 식은 [math((2))]번 식에 비해 [math(s)]의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 [math(s)]값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 [math(s)]에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 Mathematica 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[6]
직접 계산해보면 [math((1))]번 식이 [math((2))]번 식보다 수렴 속도가 훨씬 빠른 것처럼 보이며, 이것은 [math((1))]번 식의 큰 장점이 될 수 있다.
[math((1))]번 식을 증명한 논문[7]이 사라져 있다. 해당 저널을 들어가 보면 다른 논문이 있고, 저자 사이트의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. 위키피디아와 위 출처에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느순간 내려간 듯한데 이 부분에 대한 자세한 확인이 필요하다.
2.2. 목록[편집]
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