야코비 타원 함수
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1. 개요[편집]
Jacobi elliptic function
타원 적분에 관련된 함수의 일종으로, 카를 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi; 1804 ~ 1851)가 1829년 자신의 저서 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum에서 소개한 함수이다.
2. 정의[편집]
sine의 역함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \phi \equiv \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}} }\,\mathrm{d}t=\sin^{-1}{\xi} )]
이와 비슷하게, 제1종 타원 적분을 통해 다음과 같은 정의를 할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} u& \equiv F \left( \xi; k \right) \\ &= \int_{0}^{\xi} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,\mathrm{d}t \\&\equiv \mathrm{sn}^{-1}\,{\xi} \end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \mathrm{sn}\,u =\xi=\sin{\phi} )]
임을 알 수 있고, [math(\mathrm{sn}\,u)]를 야코비 타원 함수(Jacobi elliptic function)라 한다.("에스엔"이라 읽는다.) 보통은 [math(k)]를 밝혀 다음과 같이 표기한다.
[math(\displaystyle \xi=\mathrm{sn}(u;k) )]
또한, 다른 야코비 타원 함수는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{cn}(u;k) &\equiv \cos{\phi} \\ &=\sqrt{1-\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1- \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-\xi^{2}} \\ \\ \mathrm{dn}(u;k) &\equiv \frac{1}{(\mathrm{d}u/\mathrm{d}\phi)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\, \mathrm{sn}^{2}\,(u;k)} \\ &=\sqrt{1-k^{2}\xi^{2}} \end{aligned} )]
로 정의된다. 위와 마찬가지로 각각 '씨엔', '디엔'으로 읽는다.
위의 야코비 타원 함수들은 주기성을 가지며, 실수 영역에서, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;k)&=\mathrm{sn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{cn}(u;k)&=\mathrm{cn}\,(u+4K(k);k) \\ \mathrm{dn}(u;k)&=\mathrm{dn}\,(u+2K(k);k) \end{aligned} )]
[math(K(k))]는 위에서 봤던 완전 제1종 타원 적분이다.
아래는 [math(k^{2}=0.5)]일 때의 야코비 타원 함수의 그래프이다.
3. 타원과의 관계[편집]
삼각함수 자체가 원과 관련되어, 반지름 [math(r)]인 원에 대하여 그 원 위의 점 [math((x,\,y))]은
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \end{aligned} )]
의 관계를 가지고 있듯, 야코비 타원 함수 또한 유사하게 [math(y)]축 위에 긴 반지름이 있고, 꼭짓점 한 좌표값 [math(a=1)]인 타원[1]에서 유사한 관계를 생각해볼 수 있다.
야코비 타원 함수에서는 변수로 [math(u)]를 쓰며 타원
[math(\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \qquad (b \geq 1) )]
[1] [math(x)]축 위에 긴 반지름이 있는 타원에서도 생각할 수 있으나 [math(y)]축 위에 긴 반지름이 있는 경우가 훨씬 직관적으로 이해할 수 있기 때문에 이것을 사용했다.
에서 정의되고, 극좌표계로 변환하여 해당 타원 위의 점 [math((x,\,y))]에 대하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\phi} \\ y&=r\sin{\phi} \\ r&=\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\phi} }} \qquad \biggl( k \equiv \sqrt{1-\frac{1}{b^{2} }} \biggr) \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(k)]는 해당 타원의 이심률이고, [math(0 \leq k \leq 1)]을 만족시킨다. 그런데
[math(\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\ &=\int_{0}^{\phi} r\, \mathrm{d}\theta \end{aligned} )]
으로 곧 [math(u)]는 각 [math(\phi)]에 대응되는 타원의 각 지점의 미소 호의 길이의 합을 [math(0 \leq \theta \leq \phi)] 범위 내에서 모두 더한 것을 의미한다.
[math(u)]의 역함수로써 amplitude라는 함수를 정의하기도 하는데 다음과 같이 쓴다.
[math(\displaystyle \phi \equiv \mathrm{am}(u;k) )]
본격적으로 야코비 타원 함수를 분석하기 전에 한 가지 정의를 하고자 한다. 점 [math((x',\,y'))]은 단위원 위의 점이며, [math((x,\,y))]는 (야코비 타원 함수를 정의하는) 타원 위의 점이다. 또한 [math(r)]은 해당 타원을 극좌표계로 변환했을 때의 반지름을 말한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} u&=\int_{0}^{y'} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}t^{2}}\sqrt{1-t^{2} }}\,\mathrm{d}t \\ &=\mathrm{sn}^{-1}\,y' \end{aligned} )]
로 쓸 수 있고, 여기서 [math(y'=\sin{\phi})]이다. 즉, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle y'=\mathrm{sn}\,u )]
계속해서 위에서 정의했던 [math(\mathrm{cn}\,u)], [math(\mathrm{dn}\,u)]에 대해서도 결과적으로 아래와 같은 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y'&=\mathrm{sn}\,u =\sin{\phi} \\ x'&=\mathrm{cn}\,u =\cos{\phi} \\ r^{-1}&=\mathrm{dn}\,u \end{aligned} )]
이 결과를 시각화하면 다음과 같다.
직각삼각형의 닮음을 이용하면 결국 타원에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r\,\mathrm{cn}\,u \\y&=r\,\mathrm{sn}\,u \\ r&=\frac{1}{\mathrm{dn}\,u} \end{aligned} )]
4. 관련 공식[편집]
[1] [math(\boldsymbol{k \to 0})]일 때, 야코비 타원 함수
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;0)&=\sin{u} \\ \mathrm{cn}(u;0)&=\cos{u} \\ \mathrm{dn}(u;0)&=1 \end{aligned} )]
즉, 이 경우는 야코비 타원 함수는 삼각함수와 같은 것을 알 수 있다.
[2] [math(\boldsymbol{k \to 1})]일 때, 야코비 타원 함수
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}(u;1)&=\tanh{u} \\ \mathrm{cn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \\ \mathrm{dn}(u;1)&=\mathrm{sech}\,{u} \end{aligned} )]
[3] 야코비 타원 함수에 대한 항등식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \\ k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u+\mathrm{dn}^{2}\,u&=1 \\ \mathrm{dn}^{2}\,u-k^{2}\,\mathrm{cn}^{2}\,u&=1 \end{aligned} )]
(매개변수 [math(k)]는 표기에서 생략했다.)
[4] 야코비 타원 함수의 덧셈 공식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sn}\,(u_{1}+u_{2})&=\dfrac{\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}+\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\
\mathrm{cn}\,(u_{1}+u_{2})&=\dfrac{\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{2}-\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{dn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\
\mathrm{dn}\,(u_{1}+u_{2})&=\dfrac{\mathrm{dn}\,u_{1}\,\mathrm{dn}\,u_{1}-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u_{1}\,\mathrm{cn}\,u_{1}\,\mathrm{sn}\,u_{2}\,\mathrm{cn}\,u_{2}}{1-k^{2}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{1}\,\mathrm{sn}^{2}\,u_{2}} \\ \end{aligned} )]
(매개변수 [math(k)]는 표기에서 생략했다.)
[5] 야코비 타원 함수의 미분
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{sn}\,u)&=\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{cn}\,u)&=-\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{dn}\,u \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\mathrm{dn}\,u)&=-k^{2}\,\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,u \end{aligned} )]
(매개변수 [math(k)]는 표기에서 생략했다.)
[6] 야코비 타원 함수의 보조 함수
세 야코비 타원 함수 [math(\mathrm{sn}\,u)], [math(\mathrm{cn}\,u)], [math(\mathrm{dn}\,u)]의 비로 정의되는 보조 함수들이 존재하며, 각 정의는 아래와 같다.
5. 기타[편집]
- 야코비 타원 함수는 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다를 수 있다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기를 어떻게 하는지를 주의깊게 살펴본 후 써야 한다.
- 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 [math(k^{2} \equiv m)]을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색 엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.
- 슈바르츠실트 블랙홀 주위를 공전하는 입자에 대한 궤도방정식을 풀면 반지름 성분이 야코비 타원함수에 대한 식으로 나온다.
6. 관련 문서[편집]
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