쌍곡선 함수
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1. 개요[편집]
hyperbolic function ・ 雙曲線 函數
삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 연관된다는 특징이 있다. 삼각함수와 매우 유사한 성질을 띠며, 미분방정식과 함수 이론에서 쓰인다는 점에서도 비슷하다.
2. 상세[편집]
삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,
[math(\begin{cases}x=\cos t \\ y=\sin t\end{cases})]
로 매개변수화를 하면
[math(x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1)]
이 되므로 [math(xy)]평면 상 중심이 원점인 단위원이 나오게 된다.
이와 유사한 방법으로
[math(\begin{cases}x=\cosh t \\ y=\sinh t\end{cases})]
로 매개변수화를 하면
[math(x^2-y^2=\cosh^2t-\sinh^2t=1)]
이 되므로 쌍곡선의 방정식이 나온다. 바로 이 점 때문에 이 함수들을 쌍곡선 함수라 부르는 것이다.
그래프 상에서 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는 지 보고자 한다.
쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 그 위의 한 점 [math(\mathrm{P})]에 대하여 원점과 [math(\mathrm{P})]를 지나는 직선 [math(y=x\tanh{a})]와 [math(x)]축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 정적분 값이 [math(a/2)]가 될 때, 점 [math(\mathrm{P})]에 대하여 해당 점의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 각각 [math(\cosh{a})], [math(\sinh{a})]로 정의한다.
이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 모든 실수에서 주기를 갖지 않는다는 차이점이 있다.
3. 정의[편집]
3.1. 기본형[편집]
[math(\begin{aligned}
\sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\
\cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\
\tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
\end{aligned} )]
\sinh x &\equiv \dfrac{e^x-e^{-x}}2 \\
\cosh x &\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}2 \\
\tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
\end{aligned} )]
[math(\sinh)], [math(\cosh)], [math(\tanh)]의 정식 명칭은 '쌍곡선의(hyperbolic)'라는 단어를 각 삼각함수의 명칭 앞에 붙인 표현, 즉 'hyperbolic sine', 'hyperbolic cosine', 'hyperbolic tangent'이다.[1] 영어권에서는 발음이 길어지는 문제가 있어 다음과 같은 명칭이 통용되기도 한다.
- [math(\sinh)]: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/)
- [math(\cosh)]: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/)
- [math(\tanh)]: [ruby(샌,ruby=θ)](/θæn/), 탠치(/tæntʃ/)
각 함수의 그래프는 아래와 같다.
위에서 볼 수 있듯, [math(\sinh x)], [math(\tanh x)]는 기함수, [math(\cosh x)]는 우함수임을 알 수 있다. 또한, [math(\cosh x)]는 점 [math((0,\,1))]을 지남을 알 수 있고, [math(\tanh x)]는 점근선으로 [math(y = \pm 1)]을 가짐을 알 수 있다.
[math(\tanh x)]는 [math(\mathrm{erf}(x))]와 개형이 비슷하며 이러한 개형을 시그모이드라고 부른다.[비교] 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다!
[math(\cosh x)]는 현수선(catenary)의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\cosh{{\left( \frac{x}{a} \right)}}=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a}) \end{aligned} )]
이다. [math(a=1)]일 때 [math(\cosh x)]가 나온다.
3.2. 역수형[편집]
이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.
[math(\begin{aligned}
\coth x &\equiv \dfrac1{\tanh x} \\
\mathrm{sech}\,x &\equiv \dfrac1{\cosh x} \\
\mathrm{csch}\,x &\equiv \dfrac1{\sinh x}
\end{aligned} )]
[math(\coth)], [math(\mathrm{sech})], [math(\mathrm{csch})]는 각각 'hyperbolic cotangent', 'hyperbolic secant', 'hyperbolic cosecant'라 읽는다. 기본형의 함수들과 마찬가지로, 영어권에서는 발음의 편의상 다음 명칭이 통용되기도 한다.
- [math(\coth)]: 코쓰(/koʊθ/)
- [math(\mathrm{sech})]: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/)
- [math(\mathrm{csch})]: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/)
[math(\mathrm{sech})]은 따로 '오일러 수열 함수'라고 하기도 한다. 또한 정규 분포 그래프와 개형이 비슷하다.
3.3. 역함수[편집]
이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 [math(x^2-y^2=1)]과 직선 [math(y=x\tanh{a})], [math(x)]축으로 둘러싸인 도형[2]의 넓이(area)가 [math(a)]라는 특징으로부터, 이들 역함수에는 접두사 [math(\rm ar)]-을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'Area Hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 [math(\rm arc)]-를 붙인 틀린 표현[3]도 자주 볼 수 있다. TI-Nspire 시리즈나 Desmos가 이 틀린 표현을 사용해서,
artanh(x)arctanh(x)한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 [math(\rm arg)]-로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[4]
편의상 정의역은 실수라고 가정했다.
[math(\begin{aligned}
\mathrm{arsinh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \\
\mathrm{arcosh}\,x &= \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} &&\qquad (x\ge1) \\
\mathrm{artanh}\,x &= \dfrac12\ln{\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)} &&\qquad (|x|<1) \\
\mathrm{arcoth}\,x &= \dfrac12\ln{\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)} &&\qquad (|x|>1) \\
\mathrm{arsech}\,x &= \ln{\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}-1} \biggr)} &&\qquad (0<x \le 1) \\
\mathrm{arcsch}\,x &= \ln{\biggl( \dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^2}+1} \biggr)} &&\qquad (x \ne 0)
\end{aligned} )]
[2] 즉 가로, 세로의 길이가 [math(\cosh a)], [math(\sinh a)]인 직각삼각형의 넓이에서 [math(\displaystyle\int_1^{\cosh a}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm dx)]를 뺀 값의 2배[3] 역삼각함수의 접두사 [math(\rm arc)]-가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데, 단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, [math(\rm arc)]-라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.[4] 함수 표기가 길어진다는 단점이 있지만 혼동의 여지를 막는다는 점에서는 매우 효과적인 표기다. 당장 아래 예에서 [math(\rm arcosh)], [math(\rm arcoth)], [math(\rm arcsch)]만 봐도 접두사를 [math(\rm arc)]-로 잘못 읽을 여지가 있으며 특히 [math(\rm h)]가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.
표기에 관련하여, [math(\rm arsinh)], [math(\rm arcosh)], [math(\rm artanh)], [math(\rm arsech)], [math(\rm arcsch)], [math(\rm arcoth)]는 각각 [math(\rm sinh^{-1})], [math(\rm cosh^{-1})], [math(\rm tanh^{-1})], [math(\rm sech^{-1})], [math(\rm csch^{-1})], [math(\rm coth^{-1})]로 나타내기도 하나, 역삼각함수와 같이 수학계가 권장하는 표현은 아니다.
4. 관련 공식[편집]
4.1. 항등식[편집]
[math(\begin{aligned}
\cosh{x} \pm \sinh{x}&=e^{\pm x} \\ \\
\cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\
1-\tanh^2x&=\mathrm{sech}^2\,x \\
\coth^2x-1&=\mathrm{csch}^2\,x \\ \\
\sinh{(-x)} &= -\sinh x \\
\cosh{(-x)} &= \cosh x \\
\tanh{(-x)} &= -\tanh x \\
\coth{(-x)} &= -\coth x \\
\mathrm{sech}\,{(-x)} &= \mathrm{sech}\,x \\
\mathrm{csch}\,{(-x)} &= -\mathrm{csch}\,x
\end{aligned})]
\cosh{x} \pm \sinh{x}&=e^{\pm x} \\ \\
\cosh^2x-\sinh^2x&=1 \\
1-\tanh^2x&=\mathrm{sech}^2\,x \\
\coth^2x-1&=\mathrm{csch}^2\,x \\ \\
\sinh{(-x)} &= -\sinh x \\
\cosh{(-x)} &= \cosh x \\
\tanh{(-x)} &= -\tanh x \\
\coth{(-x)} &= -\coth x \\
\mathrm{sech}\,{(-x)} &= \mathrm{sech}\,x \\
\mathrm{csch}\,{(-x)} &= -\mathrm{csch}\,x
\end{aligned})]
이 외에도 삼각함수를 다룰 때 다뤘던 특수함수의 극한 또한 쌍곡선 함수에서 성립한다.
[math(\begin{aligned}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{x}&=1 \\
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tanh{x}}{x}&=1
\end{aligned})]
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{x}&=1 \\
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tanh{x}}{x}&=1
\end{aligned})]
4.2. 덧셈 정리[편집]
[math(\begin{aligned}
\sinh{(x\pm y)} &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\
\cosh{(x\pm y)} &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\
\tanh{(x\pm y)} &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}
\end{aligned})]
\sinh{(x\pm y)} &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\
\cosh{(x\pm y)} &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\
\tanh{(x\pm y)} &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}
\end{aligned})]
이상은 모두 복부호동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.
4.3. 배편각 공식[편집]
[math(\begin{aligned}
\sinh{(2x)} &= 2\sinh x\cosh x \\
\cosh{(2x)} &= \cosh^2x + \sinh^2x \\
&= 2\sinh^2x+1 \\
&= 2\cosh^2x-1 \\
\tanh{(2x)} &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}
\end{aligned})]
\sinh{(2x)} &= 2\sinh x\cosh x \\
\cosh{(2x)} &= \cosh^2x + \sinh^2x \\
&= 2\sinh^2x+1 \\
&= 2\cosh^2x-1 \\
\tanh{(2x)} &= \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}
\end{aligned})]
4.4. 반편각 공식[편집]
[math(\begin{aligned}
\sinh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\
\cosh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\
\tanh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1}
\end{aligned})]
\sinh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x-1}2 \\
\cosh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x+1}2 \\
\tanh^2{\left(\dfrac x2\right)} &= \dfrac{\cosh x-1}{\cosh x+1}
\end{aligned})]
4.5. 합을 곱으로 고치는 공식[편집]
[math(\begin{aligned}
\sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh{\left(\dfrac{x \pm y}2\right)} \cosh{\left(\dfrac{x \mp y}2\right)} \\
\cosh x+\cosh y &= 2 \cosh{\left(\dfrac{x+y}2\right)} \cosh{\left(\dfrac{x-y}2\right)} \\
\cosh x-\cosh y &= 2 \sinh{\left(\dfrac{x+y}2\right)} \sinh{\left(\dfrac{x-y}2\right)}
\end{aligned})]
\sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh{\left(\dfrac{x \pm y}2\right)} \cosh{\left(\dfrac{x \mp y}2\right)} \\
\cosh x+\cosh y &= 2 \cosh{\left(\dfrac{x+y}2\right)} \cosh{\left(\dfrac{x-y}2\right)} \\
\cosh x-\cosh y &= 2 \sinh{\left(\dfrac{x+y}2\right)} \sinh{\left(\dfrac{x-y}2\right)}
\end{aligned})]
이상은 모두 복부호동순이다.
4.6. 곱을 합으로 고치는 공식[편집]
[math(\begin{aligned}
\sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh{(x+y)}+\sinh{(x-y)}\} \\
\cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh{(x+y)}-\sinh{(x-y)}\} \\
\cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh{(x+y)}+\cosh{(x-y)}\} \\
\sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh{(x+y)}-\cosh{(x-y)}\} \\
\end{aligned})]
\sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{\sinh{(x+y)}+\sinh{(x-y)}\} \\
\cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{\sinh{(x+y)}-\sinh{(x-y)}\} \\
\cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{\cosh{(x+y)}+\cosh{(x-y)}\} \\
\sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{\cosh{(x+y)}-\cosh{(x-y)}\} \\
\end{aligned})]
4.7. 도함수[편집]
4.7.1. 쌍곡선 함수[편집]
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \sinh x )&= \cosh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \cosh x )&= \sinh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \tanh x )&= \mathrm{sech}^2\,x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{sech}\,x )&= -\mathrm{sech}\,x\tanh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{csch}\,x )&= -\mathrm{csch}\,x\coth x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \coth x )&= -\mathrm{csch}^2\,x
\end{aligned})]
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \sinh x )&= \cosh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \cosh x )&= \sinh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \tanh x )&= \mathrm{sech}^2\,x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{sech}\,x )&= -\mathrm{sech}\,x\tanh x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{csch}\,x )&= -\mathrm{csch}\,x\coth x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \coth x )&= -\mathrm{csch}^2\,x
\end{aligned})]
4.7.2. 역쌍곡선 함수[편집]
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arsinh}\,x) &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arcosh}\,x) &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{artanh}\,x) &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arsech}\,x) &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arcsch}\,x) &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0) \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arcoth}\,x) &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1)
\end{aligned})]
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arsinh}\,x) &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arcosh}\,x) &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} &&\qquad (x>1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{artanh}\,x) &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arsech}\,x) &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} &&\qquad (0<x<1)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arcsch}\,x) &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} &&\qquad (x\ne0) \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}( \mathrm{arcoth}\,x) &= \frac1{1-x^2} &&\qquad (|x|>1)
\end{aligned})]
[math(\mathrm{artanh}\,x)]와 [math(\mathrm{arcoth}\,x)]의 도함수는 형태는 같지만 [math(x)]의 범위가 다르다는 것에 주의하자.
4.8. 역도함수[편집]
4.8.1. 쌍곡선 함수[편집]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sinh x \,\mathrm dx &= \cosh x +\textsf{const.} \\
\int \cosh x \,\mathrm dx &= \sinh x +\textsf{const.} \\
\int \tanh x \,\mathrm dx &= \ln{(\cosh x)} +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{sech}\,x \,\mathrm dx &= 2\arctan{(e^x)} +\textsf{const.} \\ &= \arctan{(\sinh x)} +\textsf{const.} \\ &= \arcsin{(\tanh x)} +\textsf{const.} \\ &= 2\arctan{\left \{ \tanh{\left(\frac x2 \right)}\right\}} +\textsf{const.} \\ &= \mathrm{gd}\,x +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{csch}\,x \,\mathrm dx &= \ln{\left\{ \tanh{\left(\dfrac x2 \right)} \right\}} +\textsf{const.} \\ &= \ln|\coth x-\mathrm{csch}\,x| +\textsf{const.} \\
\int \coth x \,\mathrm dx &= \ln|\sinh x| +\textsf{const.}
\end{aligned})]
\int \sinh x \,\mathrm dx &= \cosh x +\textsf{const.} \\
\int \cosh x \,\mathrm dx &= \sinh x +\textsf{const.} \\
\int \tanh x \,\mathrm dx &= \ln{(\cosh x)} +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{sech}\,x \,\mathrm dx &= 2\arctan{(e^x)} +\textsf{const.} \\ &= \arctan{(\sinh x)} +\textsf{const.} \\ &= \arcsin{(\tanh x)} +\textsf{const.} \\ &= 2\arctan{\left \{ \tanh{\left(\frac x2 \right)}\right\}} +\textsf{const.} \\ &= \mathrm{gd}\,x +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{csch}\,x \,\mathrm dx &= \ln{\left\{ \tanh{\left(\dfrac x2 \right)} \right\}} +\textsf{const.} \\ &= \ln|\coth x-\mathrm{csch}\,x| +\textsf{const.} \\
\int \coth x \,\mathrm dx &= \ln|\sinh x| +\textsf{const.}
\end{aligned})]
위 식에서 [math({\rm gd}\,x)]는 구데르만 함수(Gudermannian function)이고, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.
4.8.2. 역쌍곡선 함수[편집]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \mathrm{arsinh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{arcosh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} +\textsf{const.} &&\qquad (x\ge1) \\
\int \mathrm{artanh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{artanh}\,x + \frac12\ln{ (1 - x^2)} +\textsf{const.} &&\qquad (|x|<1) \\
\int \mathrm{arsech}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsech}\,x + \arcsin x +\textsf{const.} &&\qquad (0<x\le1) \\
\int \mathrm{arcsch}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcsch}\,x + \mathrm{arsinh}\,x +\textsf{const.} &&\qquad (x\ne0) \\
\int \mathrm{arcoth}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcoth}\,x + \frac12\ln{ (x^2-1 )} +\textsf{const.} &&\qquad (|x|>1)
\end{aligned})]
\int \mathrm{arsinh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{arcosh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} +\textsf{const.} &&\qquad (x\ge1) \\
\int \mathrm{artanh}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{artanh}\,x + \frac12\ln{ (1 - x^2)} +\textsf{const.} &&\qquad (|x|<1) \\
\int \mathrm{arsech}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arsech}\,x + \arcsin x +\textsf{const.} &&\qquad (0<x\le1) \\
\int \mathrm{arcsch}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcsch}\,x + \mathrm{arsinh}\,x +\textsf{const.} &&\qquad (x\ne0) \\
\int \mathrm{arcoth}\,x \,\mathrm dx &= x\,\mathrm{arcoth}\,x + \frac12\ln{ (x^2-1 )} +\textsf{const.} &&\qquad (|x|>1)
\end{aligned})]
단, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.
4.8.3. 특수 적분[편집]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sinh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\cosh x-1) - 1 +\textsf{const.} \\
\int \cosh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \sinh{x} +\textsf{const.} \\
\int \tanh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{coth}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{sech}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= 2\,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{csch}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int \left|\sinh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x +\textsf{const.} \\
\int \left|\cosh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x +\textsf{const.} \\
\int \left|\tanh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \left|\mathrm{coth}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \left|\mathrm{sech}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= 2\,(\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int \left|\mathrm{csch}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln\!{(e^{-2x}+1)} +\textsf{const.} \\
\int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln\!{(-e^{-2x}+1)} +\textsf{const.} \\
\int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x &= i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} +\textsf{const.} \\
\int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)}+C \\
\int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(x) +\textsf{const.} \\
\int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(x) +\textsf{const.} \\
\int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(e^x) +\textsf{const.} \\
\int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(e^x) +\textsf{const.} \\
\int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) +\textsf{const.} \\
\int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) +\textsf{const.} \\
\int \sinh x^2\,\mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)\} +\textsf{const.} \\
\int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)\} +\textsf{const.}
\end{aligned} )]
\int \sinh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\cosh x-1) - 1 +\textsf{const.} \\
\int \cosh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \sinh{x} +\textsf{const.} \\
\int \tanh{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{coth}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{sech}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= 2\,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int \mathrm{csch}\,{|x|} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int \left|\sinh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x +\textsf{const.} \\
\int \left|\cosh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x +\textsf{const.} \\
\int \left|\tanh{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \left|\mathrm{coth}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +\textsf{const.} \\
\int \left|\mathrm{sech}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= 2\,(\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int \left|\mathrm{csch}\,{x}\right| \,\mathrm{d}x &= (\mathrm{sgn}\circ\mathrm{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr) +\textsf{const.} \\
\int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln\!{(e^{-2x}+1)} +\textsf{const.} \\
\int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln\!{(-e^{-2x}+1)} +\textsf{const.} \\
\int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x &= i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} +\textsf{const.} \\
\int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)}+C \\
\int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(x) +\textsf{const.} \\
\int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(x) +\textsf{const.} \\
\int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Shi}(e^x) +\textsf{const.} \\
\int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x &= \mathrm{Chi}(e^x) +\textsf{const.} \\
\int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) +\textsf{const.} \\
\int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x &= x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) +\textsf{const.} \\
\int \sinh x^2\,\mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)\} +\textsf{const.} \\
\int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}\{\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)\} +\textsf{const.}
\end{aligned} )]
위 식에서 [math(\mathrm{sgn}(x))]는 부호 함수, [math(\mathrm{Shi}(x))], [math(\mathrm{Chi}(x))]는 각각 쌍곡선 사인 적분, 쌍곡선 코사인 적분, [math(\mathrm{Li}_2(x))]는 폴리로그함수, [math(\mathrm{erf}(x))]는 오차함수, [math(\mathrm{erfi}(x))]는 복소오차함수, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.
5. 복소수와 쌍곡선 함수[편집]
이 문단서부터는 이제부터 정의역을 복소수 영역까지 확장할 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{x}&=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ \cos{x}&=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{aligned} )]
와 오일러 공식에 의해
[math(\displaystyle e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} )]
임을 안다.
위를 이용하면 아래를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sinh{(ix)}&=i\sin{x} \\
\cosh{(ix)}&=\cos{x} \\
\tanh{(ix)}&=i\tan{x}
\end{aligned} )]
마찬가지로,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
-i \sin{(ix)}&=\sinh{x} \\
\cos{(ix)}&=\cosh{x} \\
-i\tan{(ix)}&=\tanh{x}
\end{aligned} )]
임을 얻는다. 또한, 복소수 범위에서 쌍곡선 사인, 코사인, 시컨트, 코시컨트 함수는 [math(2\pi i)]의 주기를 갖는다. 쌍곡선 탄젠트, 코탄젠트 함수는 [math(\pi i)]의 주기를 갖는다.
5.1. 복소평면에서의 쌍곡선 함수의 그래프[편집]
6. 테일러 급수[편집]
아래는 [math(x=0)] 주위에서 전개한 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sinh{x}&=x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\cdots \\
&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\
\cosh{x}&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots \\
&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ \left( 16^n - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac 13 x^3 + \frac 2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots \\\mathrm{sech}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\&= 1 - \frac 12x^2 + \frac 5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots \\ \mathrm{csch}\, x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ \left( 2 - 4^n \right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\\ &= \frac 1x - \frac 16x + \frac 7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots \\ \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\&= \frac 1x + \frac 13x - \frac 1{45}x^3 + \frac 2{945}x^5 - \cdots \end{aligned})]
[math(B_n)]은 베르누이 수열, [math(E_n)]은 오일러 수열이다.
7. 기타[편집]
- 쌍곡선 함수 중 [math(\cosh{x})] 곡선을 현수선이라 한다.
- 물리학적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화 되기 때문에 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다.
- 특수 상대성 이론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.
- 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다.
8. 관련 문서[편집]
[각주]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-06 10:50:30에 나무위키 쌍곡선 함수 문서에서 가져왔습니다.