브링 근호

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.




브링 근호(Bring radical) 또는 초근호(ultraradical)[1]는 특수함수의 일종으로, [math(\mathrm{BR}(x))]로 표기한다. 오차 방정식(quintic equation)

[math(x^5+x+a=0 )]
[1] 공식 역어는 아니다. 이렇게 표현한 이유는 이미 초제곱근이라고 불리는 함수([math(\sqrt{x}_s = e^{(W \circ\,\ln)(x)})],테트레이션의 역함수)가 따로 있기 때문이다. 여기서 [math(W)]는 람베르트 [math(W)] 함수이다.

의 실근을 [math(\mathrm{BR}(a))]로 표기한다. [math(\mathrm{BR}(x))]의 정의는 다음과 같다.

[math(\mathrm{BR}(x) = -x \cdot {}_4{F}_3 \!\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right))]

여기서 [math({}_4{F}_3)]은 초기하함수이다. 해당 함수의 그래프는 아래와 같다.

파일:브링근호_그래프_NeW.png

테일러 급수로 전개하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]

여기서 [math( \binom{5k}{k})]는 조합이다.

원점 대칭인 홀함수[2]로, 다음이 성립한다.

[math(\mathrm{BR}(x) = -\mathrm{BR}(-x))]
[2] 일반적인 홀함수와는 달리 [math(x > 0)]인 경우 [math(\mathrm{BR}(x) < 0)], [math(x < 0)]인 경우 [math(\mathrm{BR}(x) > 0)]이다.

주 활용처는 5차 이상의 고차방정식의 풀이로, 닐스 헨리크 아벨이 5차 방정식의 일반해를 구할 수 없다고 증명한 이래 뭇 수학자들이 여러 연구를 통해 찾아낸 것이다. 수학자 브링(Bring)은 모든 5차방정식이 [math(x^5+x+a=0)] 형태로 변환될 수 있다는 것을 보여주었다.

울프럼알파에서는 [math(\mathrm{BR})] 대신 5를 변형한 듯한 모양의 근호를 독자적으로 만들어 쓰는 듯하다.

도함수는 역함수의 미분법 또는 음함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\mathrm{BR}(x) =- \dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1})]

[증명]
---
해당 함수의 정의에 따라 [math(y^5 + y + x=0)]이다. 음함수의 미분법을 써 양변을 미분하면

[math(\begin{aligned} 5y^4 \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + 1&=0 \\ (5y^4+1)\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=-1 \end{aligned})]

따라서

[math(\begin{aligned} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm {d} x}\mathrm{BR}(x)&=-\dfrac{1}{5y^4 +1}\\&=-\dfrac{1}{5[\mathrm{BR}(x) ]^4+1} \end{aligned})]


역도함수는 역함수의 적분법을 이용한다.

[math(\displaystyle \int \operatorname{BR}(x)\,{\rm d}x = - \frac{[ \operatorname{BR}(x) ]^6 + 3 [ \operatorname{BR}(x) ]^2}{6} + x \operatorname{BR}(x) + x + {\sf const.})]

[math(\sf const.)]는 적분상수이다.


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