페르마의 두 제곱수 정리
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1. 개요[편집]
Théorème des deux carrés de Fermat · Fermat의 두 제곱數 定理(素數 定理)
프랑스의 수학자 피에르 드 페르마가 남기고 간 문제. 페르마가 죽은 지 거의 100년 만에 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 7년 간의 연구를 거쳐 1749년에 결국 증명에 성공했다.
페르마의 소수 정리라고도 하며, 아드리앵마리 르장드르가 제시한 소수 정리와는 다른 정리이다.[1]
비슷한 정리로는 라그랑주의 네 제곱수 정리가 있는데, 이쪽은 어떤 양의 정수든 4개의 정수쌍의 제곱의 합으로 표현이 가능하다는 정리다.
2. 상세[편집]
2를 제외한 모든 소수(素數)는 홀수이므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(4n+1)] 또는 [math(4n-1)]의 꼴로 나타낼 수 있는데, 전자는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있지만 후자는 그럴 수 없다는 내용이다. 예를 들어 [math(13)]은 [math(4·3+1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, [math(3^2+2^2)]로도 나타낼 수 있다. 그러나 [math(19)]는 [math(4·5-1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다.
이 정리의 역은 성립한다. 즉,[math(4n+1)]꼴인 모든 소수는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.
3. 증명[편집]
증명 방법은 여럿이 있는데, 오일러가 증명한 방식은 첫 증명이기도 하고 무한강하법을 이용한 방식이라 증명이 상당히 길고 복잡하다. 대략적인 방식을 소개하자면 두 제곱수 항등식인 [math(\left(u^2+v^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ux+vy\right)^2+\left(vx-uy\right)^2)]을 이용하는데, [math(\left(x^2+y^2\right)=Mp)]를 만족하면서 [math(u\equiv x\pmod{M}, v\equiv y\pmod{M})]가 되는 [math(u,v)]를 찾고, 이를 통해서 [math(u^2+v^2=Mr)]이 되도록 만들어서, 두 제곱수 항등식을 적용, [math(\displaystyle \left(\frac{ux+vy}{M}\right)^2+\left(\frac{vx-uy}{M}\right)^2=rp)]를 만든 뒤, 이런 식으로 계속 반복 적용하면 어느 순간 [math(p)]의 계수인 [math(M, r\cdots)]은 1로 수렴하게 되어[2] [math(p)]를 두 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명할 수 있게 되는 방식.
투에 보조정리(Thue's lemma)를 사용하는 방법이 있는데, 이건 비둘기 집의 원리의 수론적 재해석으로 나오는 보조정리를 이용한 방식이다.
리하르트 데데킨트는 1877년에 가우스 정수 [math(\mathbb{Z}[i])]를 바탕으로 하는 두 가지 증명법을 발표한다.[3] 현대대수학 과목의 환론과 체론에 대한 고급 이론에서 가우스 정수에 대해 배우면서 데데킨트의 증명을 소개하기도 한다. 그 중에서 2차 잉여를 이용한 증명법을 다음에 소개한다.
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[1] 덧붙이자면 르장드르가 제시한 것은 해석적 정수론 계열임에 반해, 본문에서 설명하고 있는 것은 대수적 정수론에 가깝다.[2] [math(M, r\cdots)]은 각 항마다 절반 이하로 줄어든다는 것을 쉽게 보일 수 있기에 상당히 빠르게 수렴하게 된다.[3] 가우스 정수에서 [math(a^2+b^2)] 꼴로 표현이 가능한 정수는 [math(a^{2}+b^{2}=-i\left(a+bi\right)\left(b+ai\right))]의 꼴로 인수분해가 되기 때문에 정수체에서는 소수더라도 가우스 정수체에서는 소수가 아닌데, [math(p=4n+3)] 꼴의 소수는 그대로 가우스 소수로 옮겨진다. 즉, 두 제곱수 정리는 가우스 정수에서는 가우스 소수가 될 수 있는 소수와 그렇지 못한 일반 소수의 차이의 성질로 드러나는 것.[4] 이해가 힘들다면 정수로 생각해보자. [math(\gcd(a,b)=1)]인 두 정수 [math(a, b \neq 1)]가 있다고 하자. 이 때, [math(a^2)]과 [math(b^2)]을 [math(ab)]가 나누지 못하지만, [math(a^2 b^2)]은 [math(ab)]로 나누어진다. 그러면 자명하게도 [math(ab)]는 합성수일 수 밖에 없다.