평행사변형

일반적으로 교과서 등지에서 나오는 평행사변형의 모양

1. 정의[편집]

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parallelogram ・ 平行四邊形

두 쌍의 대변이 평행한 사각형. 볼록다각형이다.

초등학교 4학년 2학기 때 마름모, 사다리꼴과 같이 배우며 중학교 2학년 2학기가 되면 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴과 같이 엮여져 나온다. 이등변삼각형, 외심, 내심과 같이 섞어서 문제로도 많이 나온다.

2. 개념[편집]

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평행사변형에서 평행한 두 변을 밑변, 두 밑변 사이의 거리를 높이라고 한다.

3. 성질[편집]

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• 두 쌍의 대변이 각각 평행
• 두 쌍의 대변이 각각 같음
• 두 쌍의 대각이 각각 같음
• 이웃한 두 각의 합이 [math(180\degree)]
• 두 대각선이 서로를 이등분
• 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동인 삼각형
• 마름모도 직사각형도 아닌 평행사변형의 경우 두 대각선이 수직이 아니고, 두 대각선의 길이도 다르며, 내접원과 외접원이 모두 존재하지 않음 [1]
  정사각형의 경우 두 대각선이 수직이고, 두 대각선의 길이도 같으며, 내접원과 외접원이 모두 존재한다.
• 두 대각선의 교점에 대하여 대칭
• 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
• 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신

4. 평행사변형이 되기 위한 조건[편집]

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• 두 쌍의 대변이 각각 평행
• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 동일
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 동일
• 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
• 한 쌍의 대변이 평행&길이 동일 (자주 나오는 유형)

이 조건들은 대부분 엇각의 크기가 같으면 두 변은 평행하다는 것과 삼각형의 합동으로 증명이 가능하다.

5. 다른 사각형과의 관계[편집]

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평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사다리꼴이다. 직사각형만이 평행사변형인 동시에 등변 사다리꼴이다. 그러나 평행사변형은 네 변의 길이가 모두 같지 않으므로 마름모나 정사각형은 아니다.

임의의 사각형에서 각 변에 중점을 찍고 이웃한 변의 중점끼리 연결해서 사각형을 그려 보면 원래의 사각형이 어떤 사각형이었든 평행사변형의 조건을 만족하는 사각형이 그려진다. 사다리꼴도 연꼴도 아닌 이름 없는 사각형의 각 변의 중점을 연결해도 평행사변형이 그려지며 심지어는 오목사각형의 각 변의 중점을 연결해도 평행사변형이 그려진다. 사각형의 각 변의 중점을 연결하면 그려지는 사각형들은 다음과 같다. (원래의 사각형 → 각 변의 중점을 연결하면 그려지는 사각형)

• 등변 사다리꼴(직사각형, 정사각형 포함) → 마름모, 정사각형

• 연꼴(마름모, 정사각형 포함) → 직사각형, 정사각형

• 위의 두 사각형에 해당하지 않는 사각형 → 평행사변형

6. 공식[편집]

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• [math(\begin{aligned}\textsf{\footnotesize{(넓이)}}&=\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\times\textsf{\footnotesize{(높이)}}\\&=\textsf{\footnotesize{(한 대각선)}}\times\textsf{\footnotesize{(다른 대각선)}}\times{\rm sin}\textsf{\footnotesize{(사잇각)}}\end{aligned})]
• [math(\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\textsf{\footnotesize{(평행하지 않은 두 변의 길이의 합)}}\times 2)]

7. 기타[편집]

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• 네 변으로 둘러싸인 다각형은 보통 사변형으로 부르지 않고 사각형으로 부르는데, 특이하게도 '평행사각형'보다 '평행사변형'이라는 말을 훨씬 많이 쓴다. 초ㆍ중ㆍ고 교육과정에서도 '평행사변형'이라는 명칭을 채택하고 있다. 그 이유는 평행한 것이 각이 아니라 변이기 때문이라고 한다.
• 두 평면벡터의 합은 좌표평면상에서 두 벡터가 이루는 평행사변형의 꼭짓점으로 표현된다.