접선
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접고 펴는 부채 摺扇에 대한 내용은 접부채 문서 참고하십시오.1. 개요[편집]
接線 / tangent line[1]
곡선 위의 한 점에서 곡선에 접하는 직선을 이르는 말로, 수학에서는 접선을 아래와 같이 정의한다.[2]
즉, 할선의 극한으로 접선을 정의하는 것이다.
벡터도 당연히 접선을 구할 수 있는데, 이를 접다발(tangent bundle)이라고 한다.
2. 속력과의 관계[편집]
접선의 기울기가 가지는 대표적인 의미는 속력이다. 달리는 차에서 속도계를 보면 바늘이 계속 움직이는데 차의 속력이 일종의 시간에 따른 함수라는 것을 알 수 있다. 문제는 접선에서와 마찬가지로 일정한 거리를 갔을 때의 속력은 거리/시간으로 정의할 수 있지만 순간 속력이라는 것은 쉽게 정의할 수 없다는 데에 있다. 감이 딱 오겠지만 접선과 마찬가지 방법으로 해결하면 된다. 어느 한 순간 [math(t)]에서의 속력을 구하고 싶다면 [math(t)]로부터 1초 후까지의 평균 속력, 0.1초 후까지의 평균 속력, 0.01초 후까지의 평균 속력[math(\cdots)]를 쭉 보면서 어느 한 값에 가까워진다 싶으면 그 속도를 순간 속력으로 정의하는 것이다. 이런 걸 수학적으로는 이렇게 표현한다.
[math( v(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{(t+h)-t} )]
[math(v)]는 속력, [math(x)]는 거리, [math(h)]는 몇 초 후까지의 평균 속력이냐라는 의미이다. [math(h)]가 양의 값이면서 [math(t)]에 가까워질 때와 음의 값이면서 [math(t)]에 가까워질 때 둘 다 같은 값으로 수렴한다면 그 값이 바로 속력. 이런 형태는 결국 일반화되어 미분이라는 개념으로 발전하게 된다.
3. 접선의 방정식[편집]
3.1. 역사[편집]
수학자들은 오랜 세월 동안 모든 곡선에 적용되는 접선의 방정식 구하는 법을 알아내고자 하였다. 만약 접선이 곡선에 접하는 점의 좌표가 확실하다면, 접선의 기울기만 알아내면 접선의 방정식을 특정할 수 있기에 결국 접선의 기울기를 구하는 것이 최대 숙제였다. 포물선과 같이 특수하고 한정적인 경우에만 적용되는 방법은 피에르 드 페르마 등 여러 수학자들이 나름대로 고안해 냈지만, 그야말로 모든 접선의 기울기를 구하는 보편적인 방법은 발견하지 못하고 있었다. 1665년 아이작 뉴턴이 유율법이라는 모든 곡선에 적용되는 방법을 세계 최초로 고안하면서 이 문제가 해결되었다. 이후 오귀스탱루이 코시가 엡실론-델타 논법을 고안하여 유율법의 허점을 보완하였다.
3.2. 구하는 법[편집]
함수의 그래프에서, 함수의 식과 접점의 좌표를 안다면 접선의 방정식을 구할 수 있다. 실함수 [math(f)]에 대하여 곡선 [math(y=f(x))] 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선은 기울기가 [math(f'(t))]이고 점 [math((t,\,f(t)))]를 지나므로 이 점에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
[math(y=f'(t)(x-t)+f(t))]
이는 곡선이 양함수로 표현될 때 가능한 방식이고, 원과 같이 본래는 함수가 아닌 것들은 음함수의 미분으로 접선의 기울기를 구해야 한다.
한편, 여러 특수한 경우에서는 다른 방법으로도 접선의 방정식을 구할 수 있다.
- 상수함수나 일차함수의 그래프는 기울기가 일정한 직선이기 때문에 그래프 위의 모든 점에서의 접선이 함수 자신의 그래프와 일치한다.
- 이차함수의 그래프의 접선은 이차함수의 그래프와 교점이 하나만 발생하므로 판별식이 0임을 이용하여 구할 수도 있다. 이차함수 문서를 참고하라. 이차함수뿐 아니라 타원 등의 이차곡선 역시 판별식을 이용하여 접선을 구할 수 있다. 다만 원의 경우 판별식을 이용할 수도 있지만, 후술된 방법을 이용하는 것이 더 간편하다.
- 원의 접선은 음함수의 미분을 하지 않고 원의 성질을 이용하여 구할 수도 있다. 주로 원의 중심에서 원의 접선에 내린 수선의 발은 접점이라는 점, 즉 원의 중심에서 접선까지의 거리는 반지름과 같다는 점을 이용한다. 접선을 한 꼭짓점으로 하고 원에 내접하는 삼각형이 있을 때, 삼각형에서 접선과 닿지 않은 한 내각의 크기는 그 각에 마주보이는 현과 접선이 이루는 각과 같다.
4. 오개념[편집]
접선은 곡선을 스치고 지나가야 하며, 곡선을 가로질러서는 안 된다는 오개념에 빠지는 학생들이 많다. 이 때문에 곡선을 가로지르는 직선이나 직선에 접하는 선은 접선이 아니라고 생각하곤 한다. 이러한 오개념은 크게 두 가지 원인으로 인해 발생한다. 첫째로 '접선'이라는 용어를 중학교 때 원의 접선을 배우며 처음 공부하기 때문이다. 원의 접선에 한해서는 '가로지르지 않는다', '한 점에서 만난다' 등이 사실이기 때문에 일반적인 곡선의 접선을 배울 때 혼동이 생기는 것이다. 둘째로 접선의 개념을 수학적으로 엄밀히 익히지 못하고, 자연 언어로 표현되는 모호한 생김새에 대한 은유로 익힐 경우 오개념이 생길 수 있다.
5. 활용[편집]
- 무차별곡선의 접선의 기울기는 한계대체율을, 등량곡선의 접선의 기울기는 기술적 한계대체율을 뜻한다. 전자는 소비자이론, 후자는 생산자이론의 내용으로, 둘은 논리의 전개가 매우 유사하다.
6. 관련 문서[편집]
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