정사각형

1. 정의[편집]

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네 변의 길이와 네 각의 크기가 모두 같은 사각형

2. 성질[편집]

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• 볼록다각형
• 두 쌍의 대변이 각각 평행
• 두 대각선이 중점에서 교차
• 두 대각선의 길이가 같음
• 두 대각선이 서로를 이등분
• 두 대각선이 수직
• 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동인 직각삼각형
• 두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 합동인 직각삼각형
• 한 대각선에 대하여 대칭이면서 동시에 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선에 대해서도 대칭[1]
  정사각형이 아닌 직사각형의 경우 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선에 대하여 대칭이지만, 한 대각선에 대해서는 대칭이 아니고, 정사각형이 아닌 마름모의 경우는 한 대각선에 대하여 대칭이지만, 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 진선에 대하여 대칭이 아니다. 직사각형이나 마름모가 둘 다 아닌 평행사변형은 둘 다 대칭이 아니며, 도형 내부를 지나는 어떠한 직선에 대해서도 대칭이 아니다.
  [2]
  참고로 이 성질을 띠는 도형을 정축체(Orthoplex)라고 한다. 정사각형 외에도 정팔면체, 정십육포체도 해당 성질을 띤다.
• 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
• 내접원과 외접원이 모두 존재
  • 두 원의 중심은 모두 정사각형의 두 대각선의 교점
• 모든 정사각형은 서로 닮음
• 자기쌍대인 도형
• 초입방체이자 정축체인 가장 고차원 도형[3]
  3차원으로 올라가기만 해도 초입방체는 정육면체, 정축체는 정팔면체로 갈라진다.

3. 다른 도형과의 관계[편집]

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3.1. 사각형[편집]

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정사각형은 네 각이 모두 같으므로 직사각형이다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사다리꼴이며, 평행사변형이다. 또한 대각선의 길이까지 같으므로 등변 사다리꼴이며, 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이다. 정사각형만이 직사각형인 동시에 마름모, 즉 직사각형과 마름모의 교집합이다.

3.2. 정팔각형[편집]

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정사각형의 네 꼭짓점으로부터 직각삼각형을 적당히 깎아내면 정팔각형을 만들 수 있다.

4. 공식[편집]

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• [math(\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2)]
• [math(\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times 4)]
• 모든 각이 직각이므로 피타고라스 정리에 의하여 [math(\textsf{\footnotesize{(대각선)}}=\sqrt{\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2\times 2}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times\sqrt 2)]

5. 복소평면[편집]

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1의 네제곱근인 1, -1, [math(i)], [math(-i)]를 선으로 이으면 한 변의 길이가 [math(\sqrt2)]인 정사각형이 된다.

6. 행렬[편집]

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행의 개수와 열의 개수가 같아서 정사각형 모양으로 나타나는 행렬을 정사각행렬 또는 정방행렬이라고 한다.

7. 프랙털 이론[편집]

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시어핀스키 사각형은 정사각형에서 출발하는 프랙털 도형이다.

8. 언어별 명칭[편집]

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• 한국어: 정사각형(正四角形), 정방형(正方形), 바른네모(꼴)
• 중국어: 正四边形[zhèngsìbiānxíng], 正方形[zhèngfāngxíng]
• 일본어: 正四角形(せいしかくけい), 正方形(せいほうけい)
• 영어: square, 2-cube, 2-orthoplex

한자문화권에서는 '정방형(正方形)'이라는 단어가 공통적으로 나타난다. 차이점은 한국어와 일본어에서는 '정사각형(正四角形)'이라고 하지만 중국어에서는 '정사변형(正四邊形/正四边形)이라고 한다는 것이다. 한국어에서는 '정방형'보다 '정사각형'을 쓰는 것이 일반적인데, 정사각형 모양의 행렬을 '정사각행렬'뿐만 아니라 '정방행렬'로도 일컫는 데에서 비교적 널리 쓰이는 예시를 찾을 수 있다. 또한, '바른네모', '바른네모꼴'이라는 순우리말도 있으나 '정사각형'을 사용하는 세력이 압도적으로 세어 거의 쓰이지 않는다.

영어에서는 그저 square라고 한다. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이라는 점에서, square에는 '제곱', '제곱하다'라는 뜻도 있다.

2-cube와 2-orthoplex는 2차원상의 초입방체, 정축체임을 일컫는다.