활꼴

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1. 개요
2. 둘레
3. 넓이
4. 교육과정
5. 관련 문서



1. 개요[편집]

segment of a circle · 弓形[1]

원주 위의 서로 다른 두 점이 만드는 호(弧)와 현(弦)으로 둘러싸인 도형. 활처럼 생겨서 붙은 이름이다.[2] 특별히 현이 원주에 딸린 지름과 같은 도형은 반원이라고 한다. 일상생활에서는 흔히 '반달 모양'이라고 한다.

파일:Euclid-elements-III-35-segments.svg
호의 높이 [math( \overline{EB} )], 호의 (밑변)길이(또는 현) [math( \overline{CD} )] , 호(둘레길이) [math(\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{CD} = \overset{\huge\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{CBD} )]

2. 둘레[편집]

반지름의 길이를 [math(r)], 현의 길이를 [math(c\,(0\le c\le 2r))][3]라고 하면 활꼴의 둘레 길이 [math(l)]은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} l &= c + r\,{\rm acrd}\,\dfrac cr \\ &= c + 2r\arcsin\dfrac c{2r}\end{aligned})]
[math({\rm acrd})]는 역할선 함수, [math({\arcsin})]은 역사인 함수이다.

현의 길이를 모르고 중심각 [math(\theta)]를 알 경우, 둘레 공식은 아래처럼 바뀐다.
[math(\begin{aligned} l &= r( \operatorname{crd} \theta + \theta) \\ &= r \left( 2 \sin \dfrac{\theta}{2} + \theta \right) \end{aligned})]
[math({\rm crd})]는 현 함수이다.

3. 넓이[편집]

활꼴의 넓이는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼서 구한다. 활꼴의 호의 길이에 따라 부채꼴의 중심각 [math(\theta)]와 넓이가 결정된다. 원의 반지름을 [math(r)], 중심각을 [math(\theta)](단위는 라디안)이라고 하면 부채꼴의 넓이는 [math(\dfrac12r^2\theta)], 삼각형의 넓이는 [math(\dfrac12r^2 \sin{\theta})]이므로 활꼴의 넓이는 다음과 같다.

[math(\dfrac12r^2(\theta-\sin\theta))]

4. 교육과정[편집]

대한민국에서는 중1 때 배운다.


5. 관련 문서[편집]

파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-27 00:47:05에 나무위키 활꼴 문서에서 가져왔습니다.

[1] 활꼴을 한자어로 궁형(弓形)이라고 하나 거의 쓰지 않으며, 우리나라 교육과정에서도 '활꼴'이라는 명칭만을 사용한다.[2] 호가 활 몸체, 현이 활시위에 대응한다.[3] 현의 길이는 지름을 넘을 수 없지만, 현 함수인 [math(\rm crd)] 함수가 [math({\rm crd}\,\theta = 2\sin\dfrac\theta2)], 즉 사실상 삼각함수의 특별한 케이스이기 때문에 해석적 확장을 통해 [math(\theta)]가 복소수라고 하면 [math(c>2r)]인 경우의 해도 충분히 구할 수 있기는 하다. 이를 테면 [math(c=7,\,r=1)]이라고 할 때 이 문서의 예제처럼 풀면 정수를 [math(n)]이라 할 때 [math(l=7+\pi+4n\pi-2i\log\dfrac{7\pm3\sqrt5}2)]가 된다. [math(c < 0)]의 경우 [math(\arcsin)] 함수가 홀함수이므로 [math(c > 0)]에서의 값 앞에 음수 기호가 붙는 정도이다. 그러나 [math(l)]이 '활꼴의 둘레'로 정의된 물리량( [math(l \in (\{0\} \cup {\mathbb R}^+))])이기 때문에 복소수나 음수가 등장하는 [math(c>2r)] 또는 [math(c<0)] 조건에서는 그냥 해가 없다고 결론짓는 게 맞는다.

관련 문서