등적변형
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1. 개요[편집]
等積變形 / equiareal transform
도형의 넓이를 바꾸지 않으면서, 다른 도형으로 바꾸는 것을 등적변형이라 한다.
다각형의 등적변형에서는, 주로 평행선을 이용하여 다른 도형으로 바꾸는 경우가 많으며, 이외에도 잘라서 붙이는 등의 방법으로 등적변형을 할 수 있다.
2. 예시[편집]
2.1. 삼각형의 등적변형[편집]
그림에서 두 직선이 서로 평행할 때, 붉은 삼각형과 푸른 삼각형의 넓이가 같다. 두 삼각형의 밑변과 높이가 동일하기 때문이다.
삼각형에서의 등적변형을 일부 초등·중학교 문제집에서는 높이가 같은 삼각형이라고 부르기도 한다.
삼각형의 등적변형은 유클리드 기하학 원론 제1권의 주요한 핵심중 하나이다.
2.2. 사각형의 등적변형[편집]
그림과 같은 사각형 ABCD(붉은 사각형)가 있다. 이 사각형과 넓이가 같은 삼각형을 찾으려 한다. 그러기 위해서 다음 과정을 거친다.
- 대각선 AC를 긋는다.
- 1에서 그은 직선과 평행하면서 점 D를 지나는 직선DE를 긋는다.
- 2에서 그은 직선과 직선 BC의 연장선에서 교점을 E라 한다.
- 삼각형 ABE(푸른 삼각형)를 그린다.
그렇다면 왜 두 도형의 넓이가 같은지 알아보자. 사각형 ABCD는 삼각형 ABC와 삼각형 ACD로 나뉘며, 삼각형 ABE는 삼각형 ABC와 삼각형 ACE로 나뉜다. 그런데 직선 AC와 DE가 평행하므로, 삼각형의 등적변형에 의해 두 삼각형 ACD와 ACE의 넓이가 같다. 따라서 사각형 ABCD와 삼각형 ABE의 넓이가 같다.
3. 기하학 원론[편집]
삼각형 및 사각형의 등적변형은 유클리드 기하학 원론 제1권 및 제2권의 주요한 핵심이다. 제1권 법칙33,34,37 제2권 법칙10,11,14 등은 이러한 등적변형의 좋은 예를 보여주고 있다. 특수한 경우로는 노몬(gnomon)이 있다.[1]
4. 기타[편집]
- 유클리드의 방법으로 피타고라스 정리를 증명할 때, 삼각형의 등적변형을 이용한다.#
- 2018년 11월 고1 전국연합학력평가 17번 문항에 삼각형의 등적변형을 이용하는 문항이 출제되었으나, 등적변형을 이용하지 않더라도 계산이 조금 돌아갈 뿐 풀 수 있었다.
- 3대 작도 불능 문제 중 하나가 원을 정사각형으로 등적변형하는 문제다.
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5. 관련항목[편집]
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