기약잉여계
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旣約剩餘界 / reduced residue system
1. 정의[편집]
4를 예시로 들어보면, [math(\left\{0,1,2,3\right\})]은 완전잉여계, 그리고 4와 서로소가 아닌 0[2] , 2를 제외한 [math(\left\{1,3\right\})]는 기약잉여계가 된다. 따라서 어떤 수 [math(a)]에 대한 기약 잉여계는 1부터 [math(a)]중 [math(a)]와 서로소인 수들의 집합인 것이다.
기약잉여계가 중요한 이유는, 이들에게는 곱셈 역원이 있다는 점 때문이다. 예컨대, [math(6)]에 대한 완전잉여계 [math(\left\{0,1,2,3,4,5\right\})]와 그것의 기약잉여계 [math(\left\{1,5\right\})]를 생각하자. [math(\left\{1,5\right\})]의 원소는 모두 곱셈 역원을 갖는다. 그러나, 다른 완전잉여계의 원소는 그렇지 않다. 이는, [math(m)]과 [math(a)]가 서로소일 때, 정수 [math(x,\,y)]가 존재하여 [math(ax+my=1)] 즉, [math(ax\equiv 1\left(m\right))]이기 때문이다.
2. 추상적인 버전[편집]
정수환의 몫환의 단위원의 모임인 [math(\left(Z/mZ\right)^{\times})]이 [math(m)]을 법으로 한 기약잉여계와 같다. 동치류들의 모임인 [math(\left(Z/mZ\right)^{\times})]의 동치류에서 대표원을 하나씩 선택하여 구성한 것이 기약잉여계라는 것을 쉽게 알 수 있다.
3. 관련 문서[편집]
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