사교수

1. 개요[편집]

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社交数, 群居性數 / sociable numbers, aliquot cycle

친화수를 일반화한 개념이다. 군거성수(群居性數)라고도 한다.

서로 다른 여러 자연수 [math(n_1, n_2, n_3, ... , n_k )]가 있을 때, [math(n_1)]의 진약수들의 합이 [math(n_2)]이 되고, [math(n_2)]의 진약수들의 합이 [math(n_3)]이 되고, 이것이 계속되다가 [math(n_k)]의 진약수들의 합이 다시 [math(n_1)]이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다.

일반적으로 주기([math(k)])가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, [math(k=1)]인 경우는 완전수라고 하고, [math(k=2)]인 경우는 친화수라고 한다. 다만, 경우에 따라서는 [math(k)]가 1 이상인 모든 경우(즉, 완전수, 친화수 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다.

2. 성질[편집]

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어떤 수 n의 약수 함수(divisor function) [math(\sigma\left(n\right))]는 n의 모든 약수의 합을 나타낸다. aliquot sum이라고 부르는 함수 s(n)은 'n의 모든 진약수의 합'을 의미한다. 이를 약수 함수로 쓰면 [math(s\left(n\right) = \sigma\left(n\right) - n)]이 된다.

Aliquot sequence는 이 aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }이다.

2017년 기준으로 주기가 3이상 사교수는 총 5410개가 발견되었다.
보러가기

• 4, 5, 6, 8, 9, 28의 주기를 가지는 사교수가 확인되었다. 다른 주기가 있는지 여부는 알려지지 않았다.
• 4의 주기를 갖는 사교수는 5398개로 발견된 사교수의 99%를 차지한다. 이 중 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {1264460,1547860,1727636,1305184}이며, 이는 발견된 사교수 중 3번째로 작은 수로 시작한다.
• 5의 주기를 갖는 사교수는 {12496, 14288, 15472, 14536, 14264}가 유일하며, 이는 가장 작은 수로 시작하는 사교수이다.
• 6의 주기를 가지는 사교수는 5가지가 발견되었다. 이 중 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {21548919483, ...}이며, 이는 발견된 사교수 중 32번째로 작은 수로 시작한다.
• 8의 주기를 가지는 사교수는 4가지가 발견되었다. 이 중 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {1095447416, ...}이며, 이는 발견된 사교수 중 18번째로 작은 수로 시작한다.
• 9의 주기를 가지는 사교수는 {805984760, ...}가 유일하다.
• 28의 주기를 가지는 사교수는 {14316, ...}가 유일하며, 이는 두번째로 작은 수로 시작하는 사교수이다.
• 3의 주기를 가지는 사교수는 아직 발견된 적이 없으며, 홀수인 완전수 문제와 마찬가지로 정말로 존재하지 않는지 아닌지도 알려지지 않았다. 또한 3개의 자연수로 이루어진 사교수가 존재하지 않는다는 명제도 증명되거나 반증되지는 않았다. 그 외에도 홀수 완전수의 존재성의 문제와 비슷하게, 사교수는 무한히 많은지, n개의 자연수로 이루어진 사교수가 몇개까지 존재할 수 있는지, 아직 발견되지 않은 다른 주기의 사교수가 존재할 수 있는지와 같은 문제는 아직까지 미해결 상태로 남아 있다.

3. 준사교수[편집]

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1을 제외한 진약수들의 합(1과 자기 자신을 제외한 약수의 합, 즉 자명하지 않은 약수들의 합)을 계속 취하면 주기가 3이상인 수이다. 혼약수는 주기가 2인 경우이며 주기가 1인 경우는 준완전수이다. 준완전수는 존재하지 않는 것으로 추측된다.

• 1215571544 = 2³×11×13813313
• 1270824975 = 3²×5²×7×19×42467
• 1467511664 = 2⁴×19×599×8059
• 1530808335 = 3³×5×7×1619903
• 1579407344 = 2⁴×31²×59×1741
• 1638031815 = 3⁴×5×7×521×1109
• 1727239544 = 2³×2671×80833
• 1512587175 = 3×5²×11×1833439

주기가 8인 현재까지 유일한 준사교수 사이클은 1997년에 Mitchell Dickerman이 발견하였다.