완비성

1. 개요[편집]

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수학에서 완비성은 어떤 공간이 '빈 틈 없이 메워져 있음'을 의미한다. 완비성을 갖는 공간 안에서는 극한을 다룰 수 있어 공간 및 공간에서 정의된 함수를 분석하는 데에 해석적 도구를 활용할 수 있다.

2. 정의[편집]

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2.1. 실수집합[편집]

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실수열 [math(\{a_n\})]이 [math(m, n\to\infty)]에 따라 [math(|a_m-a_n|\to0)]을 만족시키면 수열 [math(\{a_n\})]을 코시 수열(cauchy sequence)라고 한다. 즉, 코시 수열 [math(\{a_n\})]은 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여
을 만족시키는 자연수 [math(N)]이 존재하는 수열이다. 이는 항 사이의 거리가 임의의 크기보다 가까워짐을 의미한다.

실수의 완비성은 임의의 코시열 [math(\{a_n\})]의 극한 [math(\alpha\in\mathbb{R})]가 존재함을 의미한다. 실수의 완비성은 몇 가지 동치 명제를 갖는다.

1. 코시 실수열은 수렴한다.
2. 위로(아래로) 유계인 집합은 상한(하한)을 갖는다.
3. (아르키메데스 성질) 임의의 양수 [math(a)]와 실수 [math(b)]에 대하여 [math(na>b)]를 만족시키는 자연수 [math(n)]이 존재한다.

2.2. 거리공간[편집]

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거리함수 [math(d:X\times X\to[0,\infty)]가 주어진 거리공간 [math((X, d))]에 대하여 점렬 [math(\{a_n\})]이 [math(m, n\to\infty)]에 따라 [math(d(x_m,x_n)\to 0)]을 만족시키면 점렬 [math(\{a_n\})]을 거리공간 [math(X)]의 코시열이라고 한다. 즉, 코시열 [math(\{a_n\})]은 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여
을 만족시키는 자연수 [math(N)]이 존재하는 점렬이다.

3. 예시[편집]

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• 유리수 집합 [math(\mathbb{Q})]는 완비성을 갖지 않는다. 집합 [math(S=\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\})]는 임의의 [math(x\in S)]에 대하여 [math(x<2)]이므로 위로 유계인 집합이지만 [math(\sup S=\sqrt{2}\notin S)]이다.
• 복소수 집합 [math(\mathbb{C})]는 완비성을 갖는다. 복소수 [math(z=x+iy(x,y\in\mathbb{R}))]에 대하여 복소수의 크기 [math(|z|=\sqrt{x^2+y^2})]는 거리 [math(|z-w|)]를 유도한다. 코시 복소수열 [math(\{z_n\})]에 대하여 [math(z_n=x_n+iy_n)]이라 하면 [math(m, n\to\infty)]에 따라 [math(\sqrt{(x_m-x_n)^2+(y_m-y_n)^2}\to0)]이므로 [math(|x_m-x_n|, |y_m-y_n|\to0)]이다. 실수의 완비성에 의해 두 실수열 [math(\{x_n\}, \{y_n\})]은 각각 극한 [math(x, y)]를 갖고, [math(z_n \to z=x+iy)]이다.
• 닫힌 구간 [math([0, 1])] 위에서 리만 적분 가능한 함수 중 차의 리만 적분이 [math(0)]인 두 함수를 같은 함수로 다루는 공간 [math(R[0,1])]은 거리

• 닫힌 구간 [math([0, 1])] 위에 르베그 측도 [math(m)]이 부여되었을 때, [math(L^1([0,1],m))]은 완비 거리 공간이다.

4. 성질[편집]

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4.1. 완비화[편집]

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거리 공간 [math((X, d))]의 코시열의 집합을 [math(\mathcal{X})]라 할 때, 삼각부등식과 실수의 완비성에 의해 [math(\overline{d}(x_n, y_n)=\lim_{n\to\infty}d(x_n, y_n))]로 정의된 함수 [math(\overline{d}:\mathcal{X\times X}\to [0,\infty))]는 [math(\mathcal{X})]의 유사 거리함수이다. 유사 거리 공간 [math(\left(\mathcal{X}, \overline{d}\right))]에 동치 관계 [math(\{a_n\}\sim\{b_n\}\Leftrightarrow \overline{d}\left(\{a_n\},\{b_n\}\right)=0)]를 부여할 때, 동치류 [math(\overline{X}=\mathcal{X}/\sim)]는 [math(X)]를 조밀한 부분집합으로 갖는 완비 거리 공간이다.