균등수렴

1. 개요[편집]

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Gleichmäßige Konvergenz / 均等收斂

카를 바이어슈트라스가 고안한 개념으로, 고른 수렴 또는 평등 수렴이라고도 한다.

2. 점별 수렴[편집]

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집합 [math(X)]와 거리공간 [math(\left(Y, d\right))]가 있을 때, [math(X)]에서 [math(Y)]로 가는 함수들의 열 [math(\left\{ f_n \right\})]을 생각해보자. 이 때, 일반적인 수열과 마찬가지로 [math(\left\{ f_n \right\})]이 "수렴"하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다.

수렴한다면 무엇에 수렴할까? 함수들의 수열이니 어떤 함수에 수렴하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다. 그렇다면, 함수에 수렴하는 것이 도대체 무엇일까?

[math(f_n(x))]는 [math(x)]를 고정시켜서 보면 [math({ f_n(x) })]이 [math({ n })]에 따라 변하는 "값"의 수열이 된다. 그렇다면 실수에서 정의된 수열과 마찬가지로 각각의 수열이 수렴하는 경우를 생각해볼 수 있다. 따라서 [math(x)]에 대응되는 수렴값이 존재하고, 우리는 그것을 [math({ g(x) })]라고 부를 수 있을 것이다. 즉, [math(f_n(x) \overset{n\to \infty}{\longmapsto} {g(x)})]이다. 그렇다면, [math(X)]에 속하는 모든 [math(x)]에 대해서 수열 [math(\left\{ f_n(x) \right\}_{n=1}^{\infty})]가 수렴할 때, [math(f_n \mapsto g)]라고 쓸 수 있을 것이다. 이렇게 생각해보면 함수의 수열 [math(\left\{ f_n \right\})]은 [math({ g })]에 수렴하는 것이다. 이런 방식으로 함수가 수렴하는 것은 각각의 점 [math({x})]마다 수열 [math(\left\{ f_n(x) \right\})]가 수렴하는 것이기 때문에 점마다 수렴 또는 점별 수렴(Pointwise Convergence)라고 한다.

이렇게 하면 함수의 수열이 수렴하는 것이 정의된다. 그런데 점별 수렴할 때는 [math(\left\{ f_n \right\})]의 중요한 성질이 [math({g})]에 보존되지 않는다는 심각한 문제점이 발견되었다.

예를 들어보자. [math(f_n(x) = \cos^{2n}(\pi x))][1]라고 할 때, [math(f(x) = 1 \left(x \in \mathbb{Z} \right),\ f(x) = 0 \left(x \notin \mathbb{Z} \right))][2]이다. 즉, [math({f_n(x)})]는 모두 연속 함수인데 [math(g(x))]는 [math(x \in \mathbb{Z})]에서 불연속이다! 그 외에도 미분 가능성, 적분 가능성 등등이 전혀 보존되지 않기도 하며, 설령 가능하다 하더라도 그 미분계수 및 적분값이 일치하지 않을 수 있다는 사실이 밝혀졌다.[3]인 함수 [math(\displaystyle f_{n}(x)=\begin{cases} n-n^2x & x \in (0, \frac{1}{n}] \\ 0 & x \in (\frac{1}{n}, 1]\end{cases})]를 정의한 뒤, 이 함수의 수렴을 확인해보면, 이 함수는 [math(g=0)]으로 점별수렴한다. 하지만, [math(\displaystyle\int_{0}^{1}{\lim_{n\to 0}{f_{n}(x)dx}}=\int_{0}^{1}{g(x)dx}=0\ne\frac{1}{2}=\lim_{n\to 0}{\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}})]임은 쉽게 알 수 있다.] 따라서 더 강력한 조건이 필요한데... 이때 나타난 것이 바로 카를 바이어슈트라스가 제안한 균등 수렴의 개념이다.

3. 균등 수렴[편집]

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균등 수렴의 개념을 생각하기에 앞서 점별 수렴의 개념을 다시 생각해보자. 점별 수렴은 원래 수열을 정의역의 각각의 점에 대한 수열로 나눠서 각 수열이 수렴하면 원래 수열이 수렴값의 함수에 수렴한다고 생각하는 개념이다. 너무나도 우회하는 개념이 아닌가? 우리가 원하는 것은 각각의 수열의 수렴이 아니라 함수 자체의 수렴이었다. 실수열이 수렴하는 것의 정의는 무엇인가? [math(\left\{a_n\right\})]이 있을 때, 임의의 양수 [math(\epsilon)]이 주어지면 충분히 큰 자연수 [math(N)]이 있어서 [math(n\ge N)]일 때 [math(\left\vert {a_n}-\alpha \right\vert < \epsilon)]이라는 것이었다. 균등 수렴도 이와 비슷한 방식으로 정의한다. 즉, 임의의 [math(\epsilon >0)]을 잡을 때, 자연수 [math(N)]이 있어서 [math(n\ge N)]이면 정의역 [math(X)]에 속하는 모든 [math(x)]에 대해 [math(d\left(f_n(x), g(x) \right) < \epsilon)]이 성립하는 것을 [math(\left\{f_n\right\})]이 [math(g)]에 균등 수렴한다고 정의한다. 이를 다시 쓰면,
이라는 것이다. 이는 곧
이라는 말과 같다. 따라서 함수열 [math(\left\{f_n\right\})]이 [math(g)]로 균등수렴한다는 것은 실수열 [math(\displaystyle \left(\sup_{x\in X} d\left(f_n(x), g(x) \right) \right)_{n\in \mathbb{N}})]이 0으로 수렴한다는 말이 된다.

그리고 이를 기호로는 [math(f_n \rightrightarrows g)]와 같이 나타낸다.

놀랍게도, 균등 수렴하는 함수열은 각 항이 연속 함수일 때 극한 함수도 연속 함수이며, 각 항이 적분 가능하면 극한 함수도 적분 가능하고, 심지어 이 경우에는 각 항의 적분의 극한이 극한 함수의 적분이라는 것까지도 알려져 있다! 다만, 미분가능성의 경우에는 좀 상황이 다르게 돌아가는데, 다른 성질과 비슷하게 조건을 줘도 극한 함수가 미분 가능하지 않을 경우가 생긴다. [4]

4. 예고로프 정리[편집]

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유한 측도를 갖는 집합에서 분해 가능 거리공간[5]으로 가는 함수열이 거의 모든 점에서 점별수렴하면, '거의' 균등수렴한다. 즉, 측도공간 [math((X,\Sigma,\mu))]과 분해 가능 거리공간 [math((Y,d))]가 주어졌다고 하자. 이 때, [math(X)]의 유한측도를 갖는 부분집합 위에서 정의된 함수열 [math(f_{n}:E\to Y)]가 [math(f)]로 거의 모든 점에서 점별수렴하면, 임의의 양수 [math(\epsilon)]에 대하여, 적당한 가측집합 [math(F\subset E)]가 존재하여, [math(f_{n})]이 [math(F)] 위에서 [math(f)]로 균등수렴하고, [math(\mu (E-F)<\epsilon)]을 만족한다.

5. 기타[편집]

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여담이지만 균등수렴은 그 정의상 거리공간일 때만 정의될 수 있지만, 균등수렴이라는 성질이 지니는 편리성을 포기하지 못한 위상수학자들에 의해서 거리공간과 일반적인 위상공간의 관계 사이에 위치한 제3의 공간인 균등공간이라는 위상공간이 고안되게 된다. 이 균등공간은 거리위상이 주어지지 않아서 거리를 측정할 수는 없으나, 두 점이 서로 근접한지 아닌지를 구분할 수 있는 정도의 성질은 부여된다. 즉, 다음과 같은 관계도가 성립한다.

• 거리공간 [math(\subset)] 균등공간 [math(\subset)] 위상공간

균등공간은 위상공간의 하위분류인 만큼 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 반대로 거리공간은 균등공간의 하위분류이므로 균등공간의 구조가 그대로 부여되게 된다.

또한 거리공간이 아닌 균등공간의 경우도 고려할 수 있는데, 대표적으로 콤팩트화된 [math(T_2)] 공간이 있다.