아이젠슈타인 정수

1. 개요[편집]

---

Eisenstein-Zahl / Eisenstein 整數

가우스 정수와 비슷하며, 두 정수 a, b 에 대해서 [math( a + b\omega )] 로 표현되는 수이다.
여기서 [math(\omega)] 는 [math(\omega^3 = 1)] 또는 [math({\omega}^2 + \omega + 1 = 0)]의 허근 중 한 값이며, 정확하게는 [math(\displaystyle \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2}i = e^{i\cdot{2\pi}/{3}})] 이다.

수학자 고트홀트 아이젠슈타인이 연구하여 이 사람의 이름이 붙었다.

2. 상세[편집]

---

아이젠슈타인 정수 전체의 집합은 기호로 보통 [math(\mathbb{Z}[\omega])]로 나타낸다.

이 집합은 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 [math(1)]을 가지는 가환환을 이룬다. 또한, 유클리드 정역(Euclidean domain, ED)이고, 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, principal ideal domain, PID)이며, 유일 인수분해 정역(unique factorization domain, UFD)이다.

가우스 정수와 특성이 유사하다.

복소평면상에서는 삼각형 격자를 그린다.

정수계수 다항식환을 [math(\mathbb Z[x])]라고 하면 몫환 [math(\mathbb Z[x]/(1+x+x^2))]과 동형이다.

3. 아이젠슈타인 소수[편집]

---

아이젠슈타인 정수는 유일 인수분해 정역(UFD)이며, 다시 말해 아이젠슈타인 소수로 유일하게 소인수 분해가 가능하다.

가우스 정수와 마찬가지로 자연수에서는 소수이지만 아이젠슈타인 소수는 아닌 경우가 나오는데, 예를 들어 자연수에서는 7은 소수이지만, 한편으로는 [math(7 = (3 + ω)(2 − ω))]으로 분해가 가능하기에 아이젠슈타인 소수는 아니다.

어떤 아이젠슈타인 정수 [math(\pi=a+b\omega)]가 아이젠슈타인 소수라는 것은 다음 조건을 만족하는 것과 동치이다.
(단, [math(p)]는 아이젠슈타인 정수가 아닌 정수론에서의 소수를 의미한다.)

• [math(\pi=p(\equiv 2 \pmod{3}))]
• [math(a^2-ab+b^2=p \equiv 1 \pmod{3})]을 만족하는 [math(a+b\omega)][1]
  [math(a^2-ab+b^2)]은 [math(a+b\omega)]의 절댓값이다.
  • 위의 두 조건을 만족하는 수 [math(\pi=a+b\omega)]에 단원 [math(\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2)]을 곱해 만들어진 아이젠슈타인 정수

• 위의 두 조건을 만족하는 수 [math(\pi=a+b\omega)]에 켤레를 취해 만들어진 아이젠슈타인 정수 [math(\pi'=a+b\bar{\omega})]
• [math(1-\omega)] (및 이에 단원을 곱해 만들어진 수)

4. 페르마의 마지막 정리와의 연관성[편집]

---

이 아이젠슈타인 정수는 뜬금 없이 페르마의 마지막 정리와도 연결이 된다.

n = 3 인 경우에 대한 식 [math(x^3 + y^3 = z^3)] 에 대해서

이 식은 3차 단위근 [math( \omega = e^{2 \pi i / 3})] 을 동원해 다음과 같이 인수분해된다.

[math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)]

그러므로, 아이젠슈타인 정수에 대해서 파고 들면 FLT 의 n=3 인 경우에 대해서 해결이 가능하다.

좀더 자세한 내용은 대수적 정수론 문서 참조.