가측함수

Measurable Function/可測函數

1. 개요[편집]

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가측함수는 역상이 가측성을 보존하는 함수로, 르베그 적분의 대상이 된다. 가측함수는 두 가측공간(잴 수 있는 공간, measurable space) 사이에서 위상공간의 연속함수와 유사한 방식으로 정의된다.

2. 정의[편집]

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2.1. 가측함수[편집]

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두 가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))]과 [math((Y,\ \mathcal{N}))]에 대하여 함수 [math(f:X\to Y)]가 임의의 [math(E\in\mathcal{N})]에 대하여 [math(f^{-1}(E)\in\mathcal{M})]을 만족시키면 [math(f)]를 [math((\mathcal{M,\ N}))]-가측함수라고 한다. [math(Y)]가 보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어진 실수 또는 복소수 집합인 경우 [math(f)]를 [math(\mathcal{M})]-가측함수라고 한다. 특히 [math((X,\ \mathcal{M})=(\mathbb{R},\ \mathcal{L}))]이고 [math((Y,\ \mathcal{N})=(\mathbb{R},\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}))]일 때, [math(f)]를 르베그 가측함수라고 한다. 가측함수는 [math(X)]의 부분집합으로 축소할 수 있다. [math(E\subset X)]에 대하여 모든 보렐 집합 [math(B)]가 [math(f^{-1}(B)\cap E \in \mathcal{M})]이면 [math(f)]는 [math(E)]에서 가측이라고 한다. 이는 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{M}_E=\{E\cap F\ |\ F\in \mathcal{M}\})]가 주어진 부분집합 [math(E)]에 대한 [math(f)]의 제한 사상 [math(f|_E)]가 가측임과 동치이다.

공역에 주어진 [math(\sigma)]-대수가 생성 집합족을 갖는 경우, 함수의 가측성의 판단은 생성 집합족의 원소로 한정할 수 있다. 즉, [math(\mathcal{N})]이 [math(\mathcal{E})]로 생성되는 [math(\sigma)]-대수일 때, 함수 [math(f:X\to Y)]가 [math((\mathcal{M,\ N}))]-가측함수일 필요충분조건은 모든 [math(E\in\mathcal{E})]에 대하여 [math(f^{-1}(E)\in\mathcal{M})]인 것이다. 이로부터 몇 가지 주요한 성질을 얻을 수 있다. 첫째, 보렐 [math(\sigma)]-대수는 열린집합족으로 생성되므로 두 거리(위상)공간 [math(X)], [math(Y)]에 모두 보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어졌을 때, 연속함수 [math(f:X\to Y)]는 [math((\mathcal{B}_X,\ \mathcal{B}_Y))]-가측함수이다. 둘째, 실수의 보렐 [math(\sigma)]-대수는 [math(\{(a,\ \infty)\ |\ a\in\mathbb{R}\})]로 생성되므로 [math(\mathcal{M})]-가측함수 [math(f:X\to\mathbb{R})]를 임의의 [math(a\in\mathbb{R})]에 대하여 [math(f^{-1}((a,\ \infty))\in\mathcal{M})]를 만족시키는 함수 [math(f)]로 정의할 수 있다.

2.2. 단순함수[편집]

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집합 판별 함수(특성함수)의 유한 선형 결합인 단순함수(simple function)는 르베그 적분에서 중요한 역할을 한다. 리만 적분은 정의역의 적분 구간을 분할하여 리만합을 구하고 리만합에 극한을 취해 적분값을 계산한다. 반면 르베그 적분은 가측함수의 치역을 분할하여 각 분할 값과 그 역상의 측도의 곱의 합을 구하고 극한을 취해 적분값을 계산한다. 이때, 가측함수의 치역을 분할하여 얻은 함수가 단순함수이다. 단순함수 [math(f:X\to\mathbb{R})]의 치역을 [math(\{a_1,\ \ldots\ ,\ a_n\})]이라 할 때, 다음을 [math(f)]의 표준형이라고 한다.


양의 실숫값을 갖는 임의의 가측함수는 단순함수열로 근사할 수 있다.
이러한 단순함수열은 각 자연수 [math(n)]과 [math(0\leq k \leq 2^{2n}-1)]인 자연수 [math(k)]에 대하여 공역을 구간 [math(I_n^k=(k2^{-n},\ (k+1)2^{-n}])] 과 [math(J_n=(2^n,\ \infty])]로 분할하여 [math(E_n^k=f^{-1}(I_n^k))], [math(F_n=f^{-1}(F_n))]를 얻어 다음과 같이 구성한다.


이 때, 각 구간 [math(I_n^k)]와 [math(J_n)]이 보렐 집합이고 함수 [math(f)]가 가측함수이므로 각 [math(E_n^k)]와 [math(F_n)]는 가측집합이다. 따라서 가측집합에 대한 특성함수의 유한 선형 결합인 단순함수 [math(\phi_n)] 또한 가측함수이다.

2.3. 측도수렴[편집]

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측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]의 가측복소함수열 [math(\{f_n\})]이 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(m,\ n\to\infty)]일 때


이면 [math(\{f_n\})]를 측도 코시열이라고 한다. [math(\{f_n\})]가 함수 [math(f)]에 대하여 [math(n\to\infty)]일 때


이면 [math(\{f_n\})]는 [math(f)]로 측도수렴한다고 한다.

[math(f_n)]과 [math(g_n)]이 각각 [math(f)]와 [math(g)]로 측도수렴할 때, [math(f_n+g_n)]은 [math(f+g)]로 측도수렴한다. [math(\mu(X)<\infty)]이면 [math(f_ng_n)]은 [math(fg)]로 측도수렴한다. 측도 코시 함수열 [math(\{f_n\})]은 가측함수 [math(f)]로 측도수렴한다. 또한 [math(f_n)]이 [math(f)]와 [math(g)]로 측도수렴하면 거의 어디에서나 [math(f=g)]이다.

함수열 [math(\{f_n\})]가 [math(f)]로 거의 어디서나 수렴하면 [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 측도수렴한다. 따라서 다음 함의관계가 성립한다.


그러나 그 역은 성립하지 않는다. [math(n=2^i+j\ (0\leq j<2^i))] 에 대하여 [math(I_n=\left[\dfrac{j}{2^i},\ \dfrac{j+1}{2^i}\right])]라 하자. [math(f_n=\chi_{I_n})]이라 하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(2^{-M}<\epsilon)]인 자연수 [math(M)]를 택한다. [math(n=2^i+j>2^{M})]일 때, [math(\{x:f_n(x)\geq\epsilon\}=I_n)]이고 [math(\mu(I_n)=2^{-i})]이므로 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(\mu(\{x:f_n(x)\geq\epsilon\})\to0)]이다. 즉, [math(\{f_n\})]은 [math(0)]으로 측도수렴한다. 그러나 임의의 [math(x\in[0,\ 1])]에 대하여 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(f_n(x))]는 함숫값으로 [math(0)]과 [math(1)]을 무수히 많이 가지므로 [math(\{f_n\})]은 발산한다.

측도수렴성은 거의 어디에서나 수렴성을 보장하지 못하지만 부분적인 거의 어디에서나 수렴성을 갖는다. 즉, [math(\{f_n\})]이 [math(f)]로 측도수렴하면 [math(f)]로 거의 어디에서나 수렴하는 부분수열 [math(\{f_{n_k}\})]가 존재한다.

3. 성질[편집]

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[math(\mathcal{M})]-가측함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

1. [math(f,\ g:X\to\overline{\mathbb{R}})]가 [math(\mathcal{M})]-가측이면 [math(f+g,\ fg)]도 [math(\mathcal{M})]-가측이다.
2. 각 [math(n)]에 대하여 함수 [math(f_nn:(X,\ \mathcal{M})\to\overline{\mathbb{R}})]가 가측함수일 때, 다음 함수는 모두 가측이다.
   • [math(\sup\limits_{n\in\mathbb{N}}f_n(x))]
   • [math(\inf\limits_{n\in\mathbb{N}}f_n(x))]
   • [math(\limsup\limits_{n\to\infty}f_n(x))]
   • [math(\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x))]

성질 b.를 활용하여 다양한 결과를 얻을 수 있다.

• 가측함수열 [math(\{f_n\})]가 함수 [math(f)]로 점별수렴할 때, [math(f)]는 [math(\mathcal{M})]-가측함수이다.
• 집합 [math(\{x\in X\ |\ f_n(x)\text{ converges}\})]는 [math(\mathcal{M})]의 가측집합이다.
• 두 함수 [math(f,\ g:X\to\overline{\mathbb{R}})]가 [math(\mathcal{M})]-가측이면 [math(\max(f,\ g))]와 [math(\min(f,\ g))]도 [math(\mathcal{M})]-가측함수이다.
  • 함수 [math(f:X\to\overline{\mathbb{R}})]가 [math(\mathcal{M})]-가측이면 [math(f)]의 양수 부분 [math(f^+(x)=\max(f(x),\ 0))]과 음수 부분 [math(f^-(x)=\max(-f(x),\ 0))]도 [math(\mathcal{M})]-가측이다.

가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))]에 완비측도 [math(\mu)]가 주어졌을 때, 다음 성질이 성립한다.

• 가측함수 [math(f)]에 대하여 [math(f=g\ \mu\text{-a.e. })]이면 [math(g)]는 가측함수이다.
• 가측함수열 [math(\{f_n\})]이 함수 [math(f)]로 [math(\text{a.e.-})]수렴할 때, [math(f)]는 [math(\mathcal{M})]-가측함수이다.

가측함수는 연속성과 균등수렴성을 거의 어디에서나 갖는다. 구체적으로 다음이 성립한다.

3.1. 루진 정리[편집]

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3.2. 예고로프 정리[편집]

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4. 둘러보기 틀[편집]

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[각주]