문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 가측함수 (문단 편집) === 측도수렴 === 측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]의 가측복소함수열 [math(\{f_n\})]이 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(m,\ n\to\infty)]일 때 {{{#!wiki style="text-align:center;" [math(\mu(\{x\in X:|f_n(x)-f_m(x)|\geq \epsilon \})\to0)] }}} 이면 [math(\{f_n\})]를 '''측도 코시'''열이라고 한다. [math(\{f_n\})]가 함수 [math(f)]에 대하여 [math(n\to\infty)]일 때 {{{#!wiki style="text-align:center;" [math(\mu(\{x\in X:|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\})\to0)] }}} 이면 [math(\{f_n\})]는 [math(f)]로 '''측도수렴'''한다고 한다. [math(f_n)]과 [math(g_n)]이 각각 [math(f)]와 [math(g)]로 측도수렴할 때, [math(f_n+g_n)]은 [math(f+g)]로 측도수렴한다. [math(\mu(X)<\infty)]이면 [math(f_ng_n)]은 [math(fg)]로 측도수렴한다. 측도 코시 함수열 [math(\{f_n\})]은 가측함수 [math(f)]로 측도수렴한다. 또한 [math(f_n)]이 [math(f)]와 [math(g)]로 측도수렴하면 거의 어디에서나 [math(f=g)]이다. 함수열 [math(\{f_n\})]가 [math(f)]로 거의 어디서나 수렴하면 [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 측도수렴한다. 따라서 다음 함의관계가 성립한다. {{{#!wiki style="text-align:center;" [[균등수렴]] [math(\Rightarrow)] 점별수렴 [math(\Rightarrow)] 거의 어디에서나 수렴 [math(\Rightarrow)] 측도수렴 }}} 그러나 그 역은 성립하지 않는다. [math(n=2^i+j\ (0\leq j<2^i))] 에 대하여 [math(I_n=\left[\dfrac{j}{2^i},\ \dfrac{j+1}{2^i}\right])]라 하자. [math(f_n=\chi_{I_n})]이라 하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(2^{-M}<\epsilon)]인 자연수 [math(M)]를 택한다. [math(n=2^i+j>2^{M})]일 때, [math(\{x:f_n(x)\geq\epsilon\}=I_n)]이고 [math(\mu(I_n)=2^{-i})]이므로 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(\mu(\{x:f_n(x)\geq\epsilon\})\to0)]이다. 즉, [math(\{f_n\})]은 [math(0)]으로 측도수렴한다. 그러나 임의의 [math(x\in[0,\ 1])]에 대하여 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(f_n(x))]는 함숫값으로 [math(0)]과 [math(1)]을 무수히 많이 가지므로 [math(\{f_n\})]은 발산한다. 측도수렴성은 거의 어디에서나 수렴성을 보장하지 못하지만 부분적인 거의 어디에서나 수렴성을 갖는다. 즉, [math(\{f_n\})]이 [math(f)]로 측도수렴하면 [math(f)]로 거의 어디에서나 수렴하는 부분수열 [math(\{f_{n_k}\})]가 존재한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기