드 무아브르 공식
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1. 개요[편집]
de Moivre’s formula[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta)] [가]
[math([ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx))][1]
오일러 공식에서 유도되는, 절대값이 1인 복소수의 실수지수 거듭제곱을 단순화시켜주는 공식이다.[2]
또한 이 공식에 따라 허수지수함수는 반쌍형성[3]을 띤다.
2. 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명[편집]
증명 과정은 먼저 수학적 귀납법으로 자연수 지수에 대해서 증명한 뒤, 이를 바탕으로 정수 지수, 유리수 지수에 대해서 증명하고 마지막으로 실수의 완비성을 이용해 실수 지수에 대해서 증명한다.
이 전제를 토대로, 수학적 귀납법을 통해 증명한다.전제
정수론에서, 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]은 다음과 같이 정의된다.
①. 자연수 집합 [math(\mathbb{N}:=\{n|n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z^{+}})]
※자연수 집합은 페아노 공리계를 만족하는 최소의 집합으로 정의된다. 자세한 내용은 자연수 항목 참조.
②. 음의 정수 집합 [math(\mathbb{Z^{-}}:=\{-n|n\in\mathbb{N}\})]
※음의 정수는 덧셈에 대한 역원이 자연수 집합에 속해있는 모든 수의 집합으로 정의된다.
③. 덧셈의 항등원 집합인 [math(\{0\})]
→ 정수의 집합 [math(\mathbb{Z}:=\mathbb{Z^{+}}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z^{-}})]
2.1. 정수[편집]
2.1.1. 자연수(양의 정수)[편집]
2.1.2. 0[편집]
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right))]에서, [math(n=0)]일 때
좌변은 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{0}=1)]이며
우변은 [math(\cos \left(0\theta\right)+i\sin \left(0\theta\right)=1+0i=1)]이므로 자명하다.
2.1.3. 음의 정수[편집]
<math>a^{-b}=\displaystyle{\frac{1}{a^{b}}}</math>라는 것과 [math(\cos(\theta)-\sin(\theta)=\cos(-\theta)+\sin(-\theta))]라는 것을 기억하자.
이제, 음의 정수 [math(k)]에 대해서, [math(k=-t)]가 되는 양의 정수 [math(t)]를 생각하면, 자연수 지수에서의 드 무아부르 정리에 의해
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{-t}=\displaystyle{\frac{1}{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{t}}}=\displaystyle{\frac{1}{\cos \left( t\theta \right) +i\sin \left( t\theta \right) }})]가 된다.
이제 이 식을 실수화 시키기 위해 분자와 분모에 [math(\cos \left ( t\theta \right)-i\sin \left(t\theta \right) )]를 곱하자. 이는 [math(\cos \left( t\theta\right)+i\sin \left(t\theta \right))]의 켤레 복소수이다.
[math(\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\left(\cos \left(t\theta\right)+i\sin \left(t\theta\right)\right)\cdot\left(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)\right)}}=\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\cos^{2} \left(t\theta\right)+\sin^{2} \left(t\theta\right)}}=\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right))]가 된다.[4]
이 때, [math(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)=\cos\left ( -t\theta \right )+i\sin\left ( -t\theta \right )=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 되어, 음의 정수 지수에서도 성립함을 증명했다.
이로써 자연수(=양의 정수), 0, 음의 정수 지수에서 모두 성립하므로, 정수 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.
2.2. 실수[편집]
2.2.1. 유리수[편집]
2.2.2. 무리수[편집]
전제1. 실수의 완비성
수직선상에 위치한 어떤 수라도, 그 수를 향해 수렴하는 단조 증가, 혹은 단조 감소 유리수열을 만들 수 있다.
※예시
[math(\sqrt{2}=1.414213\cdots)]라는 무리수가 존재한다면, 이런 수열을 만들 수 있다.
[math(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \cdots)]
[math(\displaystyle{\frac{a}{b}})]라는 유리수가 존재한다면 이런 수열을 만들 수 있다.
[math(a_{n}=\displaystyle{\frac{a}{b}-10^{-n}})]
전제2. 지수함수의 무리수지수 정의
[math(a^{b})]라는 수가 주어졌을 시, [math(b)]가 무리수라면, 이 [math(b)]를 향해 수렴하는 단조증가/단조감소 수열 [math(u_{n}, l_{n})]을 만들 수 있다.
그렇다면, [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{u_{n}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{l_{n}}})]로 극한값은 하나의 값으로 수렴하여, 이 수렴되는 극한값이 바로 [math(a^{b})]라고 정의된다.
이로써 유리수, 무리수 지수에서 모두 성립하므로, 실수 지수에서 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.
즉, 실수의 완비성에 의하여 모든 실수 지수에서 성립하게 되는 것이다.
3. 복소근[편집]
드 무아브르 공식은 1의 n제곱근(nth root of unity)에서 나타나는 복소수인 복소근을 보여주는 성질을 갖고있다.
이러한 성질은 n차방정식의 n개의 근을 갖는다는 대수학의 기본 정리를 잘 보여준다.
3.1. 방정식 예[편집]
[math( x^3 =1 )]
[math(x^3-1=0)]의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면
[math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)]
이차방정식 [math(x^2+x+1=0)]을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.
[math( x=1\;\textsf{또는}\;x=\dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \text{와} \;x=\dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} )]
[math(x^3=1)](또는 [math(x^2+x+1=0)])의 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 [math(\overline \omega)]로 표기함으로써 켤레복소수임을 나타낼수있다.
3.2. 삼각함수 예[편집]
예 1의 3제곱근 [math( x^3 =1 )]에서 보면 드무아브르 공식은 다음과 같다.
[math( x^n =a (\cos\theta + i\sin\theta) \textrm{ 이때 } a= \omega^n (n\text{th root of unity}))]
[math( x^3 = \left(a(\cos\theta + i\sin\theta) \right)^3 = 1(\cos\theta + i\sin\theta) )]
[math( a^3(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = 1(\cos360\degree + i\sin360\degree) )]
[math( a^3(\cos3\theta + i\sin3\theta) = 1(\cos360\degree + i\sin360\degree) )]
[math( a^3= 1 \, \textrm{그리고 }3\theta = 360\degree k + 360\degree k )]
[math( \theta = \dfrac{360\degree}{3}k + \dfrac{360\degree}{3}k \quad)]
[math( \theta = 120\degree k + 120\degree k )]이고
[math( k=\{n-1,n-2,...,n-n\}= \{2,1,0\} )]이므로
따라서
[math( \theta= 120\degree,240\degree,0\degree)]
따라서
[math( x = \cos 120\degree + i\sin 120\degree \, , \cos 240\degree + i\sin 240\degree \, , \cos 0\degree + i\sin 0\degree \, )]
따라서 이렇게
[math( \;x=\dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \; , \;x=\dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} \;, x=1\;)]
3.3. 컨텍스트[편집]
결론적으로 드무아브르 공식은 1의 3제곱근에서 보면
[math( \omega^1 = \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} )]이고
[math( \omega^2 = \omega \cdot \omega = \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) = \dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2})] 이고
[math( \omega^3 = \omega \cdot \omega^2 = \left( \dfrac{-1 + \sqrt 3i}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{-1 - \sqrt 3i}{2} \right) = 1 )] 이다.
그리고
[math( \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega^1 = \omega^1 )] 이다.
이러한 맥락(context)에서 1의 3제곱근 드무아브르 공식은
[math( \omega)]의 지수를 순서수로 다루어 본다면
[math( \omega^1)]을 자기 자신으로 하는 [math(1,2,3,1,2,3,...)]의 순환 순열군인 순환군의 맥락(context)을 보여준다는 점에서 주요하다고 할수있다.
한편 드무아브르 공식은 1의 n제곱근에서
[math( \omega^n =1)]임을 조사할수있다.
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