슐레플리 기호
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1. 개요[편집]
Schläfli 記號, Schläfli symbol
정다면체나 테셀레이션(또는 타일링)을 쉽게 표기하기 위해 개발된 기호 체계로, 19세기 기하학에 공헌한 수학자 루드비히 슐레플리(Ludwig Schläfli, 1814 ~ 1895)의 이름을 땄다.
2. 체계[편집]
슐레플리 기호는 재귀적 기호 체계로, 가장 간단한 정다각형에 해당하는 기호부터 정의하여 여기에서 파생된 다른 평면, 입체, 초입체 도형을 논리적으로 표기한다.
슐레플리 기호 체계는 가장 기본적인 정다포체 표기법과 도형을 변형시키는 몇 종류의 연산자(단항 및 이항 연산자)로 구성된다.
슐레플리 기호는 간단하지만, 도형에 대한 많은 정보를 말해준다.
- 면과 꼭짓점의 형태: 정다면체를 이루는 면과 꼭짓점의 형태를 한 눈에 알 수 있다. 다른 연산자를 적용해 변형된 다면체를 만들어도, 규칙만 알면 변형된 다면체의 면 구성을 알 수 있다.[2]
- 쌍대: {p,q}를 {q,p}와 같이, 순서를 뒤바꾸면 쌍대(dual) 도형이 된다. 때문에 어떤 도형이 어떤 도형의 쌍대인지 한 눈에 알기 편하다. 예를 들어, 정십이면체의 슐레플리 기호는 {5,3}, 그 쌍대인 정이십면체는 {3,5}다.
3. 기초[편집]
3.1. 정다포체[편집]
3.1.1. 0~1차원: 점과 선분[편집]
0차원 도형인 점과 1차원인 선분은 아래와 같이 표기한다.
3.1.2. 2차원: 정다각형(볼록 정다각형)[편집]
일반적으로 '정다각형'이라고 불리는 볼록 정다각형을 표현할 때, {3}, {5}와 같이 중괄호 안에 꼭짓점의 숫자를 적어 표기한다.
정다각형의 표기는 다른 도형들을 표현하기 위한 기본이 된다.
3.1.3. 3차원 정다면체와 테셀레이션[편집]
정다면체와 테셀레이션은 {p,q}와 같이 표기하는데, 한 꼭짓점에 q개의 {p}가 모여 만들어진 도형이라는 뜻이다.
예를 들어, {5,3}은 정오각형 3개가 한 꼭지점에 모여 만들어진 도형을 의미하며, 이것은 정십이면체를 의미한다.
- 3차원 정다면체/ 테셀레이션
3.2. 연산자[편집]
3.2.1. 아르키메데스 다면체와 테셀레이션[편집]
13가지 아르키메데스 다면체는 모두 정다면체를 변형해 만들 수 있다. 다음의 3가지 기호(단항 연산자)를 조합해 나타낸다.
- 기호
- 아르키메데스 테셀레이션
3.2.2. 각기둥, 쌍각뿔, 각뿔[편집]
아래의 3가지 기호(이항 연산자)를 이용해, 각기둥, 쌍각뿔, 각뿔도 표현할 수 있다.
몇 가지 특수한 예시를 보이면 아래와 같다.
4. 확장[편집]
슐레플리 기호의 사용은 단지 볼록한 유클리드 다면체에만 국한되지 않는다. 슐레플리 기호의 개념을 확장시켜 적용하면 더 나아가 오목 정다포체는 물론, 비유클리드 도형 등 다양한 도형도 표기할 수 있다.
4.1. 정다포체[편집]
4.1.1. 2차원: 정다각형[편집]
정다각형의 한 내각의 크기는 [math(\frac{p-2}{p}\times180\degree)]이다.
이를 이용해 {p}를 "변의 수가 p개인 정다각형"으로 정의하지 않고, 다음과 같이 정의하자.
{p}는 한 내각의 크기가 [math(\frac{p-2}{p}\times180\degree)]인 정다각형
그러면 아래와 같이 오목 정다각형 (별)과 음의 정다각형의 표기가 가능해진다.
- 오목 정다각형: {p/q}
- 음의 정다각형: {p/p-1} (음의 정p각형), {p/p-q} (음의 오목 정다각형)
4.1.1.1. 오목 정다각형 (별 정다각형)[편집]
볼록 정n각형의 꼭짓점을 m-1개 [math(\left(1 < m < n/2\right))]건너뛰어 연결하면 별 모양이 만들어진다. 이 때, 한 내각의 크기는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{n-2}{n}\times180\degree\times\frac{n-2m}{n-2} &= \frac{n-2m-2}{n}\times180\degree \\ &= \frac{\left(n/m\right)-2}{\left(n/m\right)}\times180\degree \end{aligned})]
따라서 이러한 정n각별을 {n/m}와 같이 표기할 수 있다. 분자 n은 꼭짓점의 수와 같으며, 분모 m은 (건너뛰어진 횟수+1)이다.
4.1.1.2. 음의 정다각형[편집]
한 각이 [math(-\theta)]인 음의 [math(n)]각형을 {k}로 표현해보자. (단, [math(n, k)]는 양의 유리수)
[math(\theta=\displaystyle180\degree\times\frac{n-2}{n},\quad\displaystyle180\degree\times\frac{k-2}{k}=-\theta)]
이므로,
[math(\displaystyle180\degree\times\frac{k-2}{k}=-180\degree\times\frac{n-2}{n})]
에서
[math(\displaystyle k=\frac{n}{n-1})]가 된다. (n이 정수가 아닌 유리수여도 성립한다.)
따라서 음의 정n각형은 {n/n-1}각형으로 표현할 수 있다.
정다각형을 이어 붙여 다면체를 만들 때, 일부 정다각형을 뒤로 꺾어 접어 만들 수도 있다. 이 때 음의 정다각형을 도입하면 꼭지점 형태를 매우 간단하게 표현할 수 있다.
예를 들어 위와 같은 도형(사면반육면체)에서 한 꼭지점에 정삼각형-정사각형-음의 정삼각형-정사각형 순서로 배열되어 있다고 표현하면 자연스럽게 설명이 된다.
, 한 각이 -60º인 음의 정삼각형의 경우 {3/2}가 되고, 위의 사면반육면체의 꼭지점 형태는 3.4.3/2.4로 표현할 수 있다.
슐레플리 기호가 {5/2}인 정오각별과 같이 n이 정수가 아닌 유리수일 경우, [math(\displaystyle n=\frac{p}{q})]라고 하면
[math(\displaystyle k=\frac{p/q}{p/q-1}=\frac{p}{p-q})]가 되어
음의 정오각별은 {5/3}으로 표현된다. 즉, 분모를 (분자-분모)로 바꿔주기만 하면 된다.
4.1.2. 그 이외의 정다각형[편집]
{4/5}, {2/3}, {-1/2}같은 것들이 있다. 이들은 볼록 정다각형, 오목 정다각형, 음의 정다각형 중 어디에도 속하지 않는다.
4.2. 3차원: 정다면체[편집]
4.2.1. Rank-3 오목 정다면체[편집]
기초 파트에서 볼록 정다면체와 테셀레이션에 대해 다우며 {p,q}는 "정p각형이 q개 모인 도형"이라고 정의했다. 또한 정다각형의 재정의에 따라, {5/2}는 정오각별을 의미한다.
그렇다면 {5/2,5}는 "정오각별이 한 꼭짓점에서 5개 모여 만들어지는 도형"을 의미함을 직관적으로 알 수 있다. 이에 따라 오목 정다면체 중 두 케플러 다면체는 각각 {5/2,5}(작은 별모양 십이면체), {5/2,3}(큰 별모양 십이면체)와 같이 표기된다.
그런데, 오목 정다면체의 다른 종류이자 케플러 다면체의 쌍대인 '푸앵소 다면체\'에 대해서는 이러한 정의를 쓸 수가 없다. 만약 오목 정다면체도 슐레플리 기호의 쌍대 규칙을 따른다면, 작은 별모양 십이면체의 쌍대인 큰 십이면체는 {5,5/2}와 같이 쓸 수 있을 것이다.
그런데 "꼭짓점에서 분수 번 만난다"라는 것은 직관적으로 말이 되지 않는다. 따라서 슐레플리 기호 {p,q}의 의미를 다음과 같이 재정의하도록 한다.
{p,q}는 {p}가 한 꼭짓점에서 {q}의 꼭짓점 형태(vertex figure)를 이루며 만나는 도형을 의미한다.
이렇게 재정의하면 나머지 푸앵소 다면체도 깔끔하게 표기할 수 있게 된다.
4.2.2. Rank-3 비유클리드 정규 테셀레이션[편집]
구면 또는 구면 공간으로 확장하면 이각형을 사용해 무수히 많은 호조헤드론과 이면체를 만들 수 있으며, 쌍곡면, 또는 쌍곡 공간으로 개념을 확장하면 정p각형의 한 각의 크기가 [math(\frac{p-2}{p}\times 180\degree)]보다 작아지므로 {6,4}와 같이 유클리드 평면/공간에서 불가능한 정규 테셀레이션의 개념도 만들 수 있다.
이를 표로 만들면 아래와 같다.
* {p,1}, {1,q}은 p=2, q=2를 제외하면 존재하지 않음.
* ||<bgcolor=#acf,#228> {p,q} ||구면 테셀레이션만 존재||
||<-2>p=2 일 때: 호조헤드론
||
q=2 일 때 : 이면체
[8]* ||<bgcolor=#afa,#282> {p,q} ||정다면체 (또는 구면 테셀레이션)||
* ||<bgcolor=#fea,#ca0> {p,q} ||평면 테셀레이션||
||<-2>(p,q ≠ ∞) : 컴팩트 평면 테셀레이션
{2,∞} 또는 {∞,2} : 논컴팩트 평면 테셀레이션||* ||<bgcolor=#faa,#822> {p,q} ||쌍곡 테셀레이션||
||<-2>(p,q ≠ ∞) : 컴팩트 쌍곡 테셀레이션
{p,∞} 또는 {∞,q} : 파라컴팩트 쌍곡 테셀레이션||
4.2.3. 추상적 오목 테셀레이션[편집]
m이 3 이상의 자연수일 때, {n/m,n}, {n,n/m}, {n/m,3}, {3,n/m}이나 p가 4 이상의 자연수일 때, {n/2,p}, {p,n/2}, {n/m,p}, {p,n/m} 계열은 쌍곡의 각도가 나오더라도 추상적인지라, 선을 그을 때 무한히 겹치지 않고 만들 수 없다. 그래서 {10/3,10}, {9/2,4}, {11/2,4}, {11/3,11}, {11/4,11}, {13/3,13}, {19/3,3}, {20/3,3}, {25/4,3} 등등이나 이들의 쌍대들도 역시 만들어질 수 없다. 심지어 {5/2,11}, {7/2,5}, {7/3,15}, {8/3,9}, {9/2,4}, {9/4,19}, {10/3,6} 등등과 같은 계열이나 이들의 쌍대에 해당하는 도형 처럼 한 꼭짓점에서의 이포각의 합이 360°를 초과하더라도 만들 수 없어 추상적인 쌍곡이 무수히 많이 존재한다. 물론 {5/2,5/2}, {5/2,4}, {5/2,6}, {5/2,7}, {7/2,3}, {7/2,5/2}, {7/2,7/2}, {7/2,4}, {7/3,7/3}, {7/3,7/2} {7/3,3}, {7/3,4}, {7/3,5}, {8/3,5/2}, {8/3,7/2}, {8/3,7/3}, {8/3,8/3}, {8/3,4}, {8/3,5}, {9/2,5/2}, {9/2,7/2}, {9/2,7/3}, {9/2,8/3} {9/2,3}, {9/4,5/2}, {9/4,7/2}, {9/4,7/3}, {9/4,8/3}, {9/4,9/2}, {9/4,9/4}, {9/4,4}, {9/4,5}, {9/4,6}, {10/3,5/2}, {10/3,7/2}, {10/3,7/3}, {10/3,8/3}, {10/3,9/2}, {10/3,9/4}, {10/3,3}, {10/3,4} 등등과 같은 계열이나 이들의 쌍대들 같은 경우는 모든 내각의 합이 360°보다 작아서 쌍곡 벌집을 만들 수는 없다. 그리고 {5/2,10}, {7/2,14/3}, {7/3,14}, {8/3,8}, {9/2,18/5}, {9/4,18}, {10/3,5}, {11/2,22/7}, {11/3,22/5}, {11/4,22/3}, {11/5,22}, {12/5,12} 등등의 계열 및 이들의 쌍대들과 같이 {m/n,p/q}에서 (m/n-2)ㆍ(p/q-2)=4가 되는 계열들은 오목 유클리드 벌집이 되지만, 이들은 전부 만들 수 없게 된다. 따라서 실제로 가능한 유클리드 벌집 및 파라콤팩트는 볼록한 형태만 존재한다.
4.3. 4차원 정다포체 및 3차원 벌집[11][편집]
{p,q,r}과 같이 나타내며, {p,q}는 해당 도형을 이루고 있는 정다면체를 의미하며, r은 한 모서리에 정다면체가 몇 개 모였는지를 의미한다. 동시에 {q,r}은 이 정다포체/벌집 꼭지점의 단면 형태를 나타낸다.
4차원 공간에서는 단 하나의 정규 벌집{4,3,4}만 존재하며 3차원 공간을 꽉 채운다.
6개의 볼록 정다포체와 10개의 오목 정다포체가 존재한다.
- 4차원 볼록 정다포체
- 4차원 오목 정다포체
- {5/2,3,3} (큰 거대 별모양 백이십포체, Great Grand Stellated 120-cell)
- {5/2,3,5} (큰 별모양 백이십포체, Great Stellated 120-cell)
- {5/2,5,5/2} (거대 별모양 백이십포체, Grand Stellated 120-cell)
- {5/2,5,3} (작은 별모양 백이십포체, Small Stellated 120-cell)
- {3,5/2,5} (큰 이십면체 백이십포체, Great Icosahedral 600-cell)
- {3,3,5/2} (거대 육백포체, Grand 600-cell)
- {3,5,5/2} (정이십면체 백이십포체, Icosahedral 120-cell)
- {5,5/2,3} (큰 거대 백이십포체, Great Grand 120-cell)
- {5,5/2,5} (큰 백이십포체, Great 120-cell)
- {5,3,5/2} (거대 백이십포체, Grand 120-cell)
- 4차원 정규 벌집
- {4,3,4} 정육면체 벌집
테셀레이션과 마찬가지로, 비유클리드 초공간으로 개념을 확장하면 {5,3,4}, {3,5,3}와 같이 유클리드 초공간에서 불가능한 정다포체/정규 벌집도 가능하다. 다만 {6,3,3}, {3,6,3}, {4,4,3}, {4,4,4} 등과 그것들의 쌍대인 파라콤팩트나 {5,4,3}, {4,5,3}, {3,4,5}, {3,5,4} 등과 그것들의 쌍대인 논콤팩트는 n-1차원의 도형이나 꼭짓점을 끝까지 그릴 수가 없기에 푸앵카레 원반에서도 제대로 나타낼 수 없어진다. 특히 n-1차원 도형 혹은 꼭짓점도 파라콤팩트이거나 논콤팩트인 경우 유클리드 공간에서는 아예 만들 수가 없다.
4.4. 5차원 정다포체 및 4차원 벌집[편집]
{p,q,r,s}과 같이 나타낸다.
- 5차원 공간에서는 3개의 정규 벌집{4,3,3,4}, {3,4,3,3}, {3,3,4,3}이 존재하며 4차원 공간을 꽉 채운다.[12]
- 5차원 이상에서는 오직 3가지의 정다포체만이 존재한다.
- 5차원 볼록 정다포체
- 5차원 정규 벌집
- {4,3,3,4} 정팔포체 벌집
- {3,4,3,3} 정이십사포체 벌집
- {3,3,4,3} 정십육포체 벌집
- 5차원 오목 쌍곡 벌집
- {5/2,5,3,3}
- {3,3,5,5/2}
- {5,5/2,5,3}
- {3,5,5/2,5}
4.5. 6차원 이상의 정다포체 및 하위 차원 벌집[편집]
{p,q,r,s,t,...}과 같이 나타낸다.
- n (n ≥ 6)차원 볼록 정다포체
- {3,3,...,3,3} (n-단체)[13]
- {4,3,...,3,3} (n-초입방체)
- {3,3,...,3,4} (n-정축체)
- n - 1차원 정규 벌집
- {4,3,...,3,4} n - 1 입방체 벌집