푸앵카레 원반

1. 개요[편집]

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Poincaré disk model

앙리 푸앵카레가 쌍곡 공간을 설명하기 위해 도입한 모델.

2. 설명[편집]

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반지름이 1인 원판 위에서 다음의 설정을 주어 만드는 공간이다.

• 점: 열린 원판 위의 점 (경계는 포함하지 않는다.)
• 직선: (1) 원판의 중심을 지나는 직선 또는 (2) 원판과 직교하는 원[1]
  직교원(orthogonal circles)이란 두 원의 교점에서 접선을 그었을 때 직각으로 만나는 두 원을 말한다.
  중 원판의 내부에 속해있는 원호
• 선분: 위에서 정의한 직선의 일부분
• 각: 두 곡선에서 그은 (통상적) 접선이 이루는 각

이 이상한 설정의 정당성은 다음과 같이 비직관적인 '거리'의 세팅에서 온다.

• 거리: 원점에서 멀어질수록 거리의 배율이 무한히 높아진다. 정확히 말하면 원점에서부터 거리가 [math(r = \sqrt{x^2+y^2})]인 곳에서 거리의 배율은 [math(\displaystyle \frac{1}{1-r^2})]이 된다. 리만 기하학 관점에서 엄밀하게 서술한다면 리만 계량(Riemannian metric)이 [math(\displaystyle ds^2 = \frac{dx^2+dy^2}{(1-r^2)^2})]로 주어진다고 얘기할 수 있다.

대충 이야기하자면 원판의 원점에서 출발해서 0.01만큼 갔을 때 원판상에서도 대략 0.01만큼[2] 움직인 것처럼 보이지만, 만약 절반 정도까지 왔으면 3/4배의 배율이 적용되어 0.01만큼 이동했다고 해도 원판상에서는 0.0075밖에 못 간 것이다. 만약 원판의 중심에서 0.99만큼 떨어져 있다면 원판 안에서의 거리 배율 차이는 약 50배가 되어, 원반 안에서 0.01을 갔다고 생각해도 밖에서는 그 1/50밖에 간 걸로 안 보인다. 이 배율은 원반 끝으로 갈수록 증가하므로, 아무리 걸어나가도 원반 안에서는 결코 끝에 도달할 수 없다. 즉 푸앵카레 원반 안의 세계는 무한히 뻗어나가 있으며 그 넓이도 무한하다.

사실 푸앵카레 원반에서의 선분 개념도 위 거리 개념을 적용했을 때의 최단 거리[3]으로 유도되어 나오는 것이다. 물론 엄밀히 이걸 증명하려면 미분기하학을 알아야 한다. (사실 구면에서 대원이 최단거리라는 것을 증명하는 것도 마냥 쉽지만은 않다.) 또한 평행선 공리를 제외하고는 모든 공리를 만족시킨다는 것을 보일 수 있다. 따라서 평행공리와 연관된 부분만을 제외한다면 의외로 친숙하게 느낄 수 있는 공간이다.

푸앵카레 원반에는 아래와 같이 다양한 성질들이 있다.

• 푸앵카레 원반도 의외로 균일한(homogeneous) 공간이다. 길이가 같은 선분 AB와 CD가 있을 때, AB를 CD로 겹쳐 놓는 합동변환이 존재한다. 이건 공리에도 있는 거지만, 처음 볼때는 원반의 중심과 경계에 가까운 점 위에서의 상황이 동일하다는 것이 어색할 수도 있다.
• 대신에 닮음변환의 개념이 없다. 정확히 말하면 닮음이 존재하는 세계에서는 평행선 공리가 증명되어 버린다.
• 평행공리를 부정하기 위한 기하학답게 원반 내의 직선은 무한히 많은 평행선이 존재한다.
• 구면삼각법과 비슷하게 쌍곡선함수를 사용한 사인 법칙과 코사인 법칙이 존재한다. 다만 지구라는 현실적인 쓰임새가 있어 고대 그리스 때부터 연구되어 온 구면삼각법과는 달리 딱히 큰 의미는 없는 것 같다.
• 삼각형의 넓이에 대해서는 다음 공식이 있다. (원판의 반지름이 달라지면 여기에 반지름의 제곱을 곱한다.)

• 즉 특별히 삼각형의 내각의 합은 180도보다 작다. 세 내각의 조합은 0보다 크며 합이 180보다 작은 조건 하에선 얼마든지 바뀔 수 있지만, 세 내각이 정해지면 변의 길이도 자동적으로 정해진다. 즉 AAA 합동조건을 생각할 수 있다. 이건 구면도 마찬가지.
• 미분기하학을 배웠다면 모든 점 위에서 곡률이 -1이라는 사실을 증명할 수 있다.

수학자들에게 추앙받는 예술가 에셔의 다양한 작품들(특히 Circle Limit 계열)이 푸앵카레 원반을 사용한 것으로, 삼각형으로 푸앵카레 원반을 테셀레이션한 모양을 띄고 있다. 겉으로 보면 전혀 그렇게 안 보이지만, 원반 안의 삼각형들은 모든 각의 크기가 같고 변의 길이도 같은 합동이다. 물론 각의 크기가 같다고 정해질 필요는 없다. 각이 얼마든지 작아질 수 있으므로 한 점 주변에 똑같은 삼각형을 몇 개든지 붙일 수 있는 것이다.

• 파라콤팩트인 {∞,n}, {n,∞}, {∞,∞}의 경우 다각형이 원반의 끝에 닿게 된다.

푸앵카레 원반을 3차원으로 확장시킨 푸앵카레 공(Poincaré ball)[5]도 존재한다. 콤팩트인 {3,5,3}, {5,3,4}, {4,3,5}, {5,3,5}를 나타낼 수 있으며 파라콤팩트의 경우 경계선에 속하게 된다. 논콤팩트의 경우는 푸앵카레 공 안에서도 구멍이 뚫린 형태로 나타내진다.
4차원 이상의 푸앵카레 초공도 존재하며 {5,3,3,3}, {3,3,3,5}, {5,3,3 4}, {4,3,3,5}, {5,3,3,5}를 여기에 나타낼 수 있다. n=2 이상의 자연수일때 푸앵카레 5차원 공의 경우 전부 파라콤팩트 이상이 되며 7차원 이상은 모두 논콤팩트라 구멍이 뚫리게 된다.

허수 차원으로 넓히자면 2차원에서 iπ/λ각형이라 할때 푸앵카레 선에서 하이퍼볼릭 다각형이며 3차원에서도 iπ/λ각형을 사용할 경우 구멍이 뚫린 형태가 나타난다.