택시 기하학

1. 개요[편집]

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기하학 중에 한가지로 유클리드 기하학에서의 거리에 대한 정의가 다르다. 보통 Taxicab geometry 라고 부르지만, 거리에 대한 내용만 다룰 경우 '맨해튼 거리(Manhattan distance)', 또는 조금 더 직관적인 이름인 'Rectilinear distance'라고 부른다. 또는 택시 노름이라고도 한다.

19세기 수학자인 헤르만 민코프스키에 의해 처음 연구되었다.

택시 기하학은 특이하게도 유클리드 기하학의 5개 공준을 모두 만족한다. 하지만, 길이(=거리)에 대한 정의가 다르다 보니 유클리드 기하학과는 사뭇 다른 특성이 나타나며, 이런 이유로 비유클리드 기하학으로 분류된다.

2. 맨해튼 거리[편집]

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미국 뉴욕의 맨해튼처럼 바둑판 격자 모양으로 도로가 나있는 상황에서, 한 지점에서 다른 위치로 이동하기 위해서 필요한 거리를 뜻한다. 도로가 바둑판 격자처럼 되어 있으니 도로를 따라 이동해야 하는데, 이때의 이동거리가 두 점 사이의 거리가 된다.



좌표계에 두점 P, Q 가 주어질때 두 점사이의 거리는 아래와 같이 정의된다.

예를 들어 이차원 평면에서 두점 <math>P(p_1,p_2)</math> 와 <math>Q(q_1, q_2)</math> 에 대해서 두 점사이의 거리는 아래와 같다.

3. 여러 도형의 형태[편집]

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여러 도형의 모습은 여기, 또는 여기서 볼 수 있다.

3.1. 원[편집]

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기하학에서 원은 한점에서 같은 거리에 있는 점의 집합으로 표현된다. 그런데, 택시 기하학에서는 거리의 정의가 다르다 보니 원의 모습도 다르게 나타난다.

예를 들어 정수 격자 좌표계에서 한 점에서 거리가 2인 점들의 집합을 나타내면 왼쪽와 같다. 그리고, 격자의 크기를 계속해서 줄여 나가서 격자의 크기가 0 인 극한(실수좌표계)을 생각해 보면 원의 모습은 오른쪽 그림처럼 된다. 즉, 흔히 말하는 마름모꼴 형태의 정사각형이 된다.



유클리드 기하학의 원의 방정식은 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} </math> 이지만, 택시 기하학에서의 원의 방정식은 원의 중심이 (a,b) 이고, 거리가 d 일때 아래와 같이 표현된다.

<math> |x - a| + |y - b| = d </math>

3.2. 타원[편집]

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타원은 두 점에서의 거리의 합이 같은 점의 집합이다.



빨간색 도형이 택시 기하학에서의 타원이다. 파란색은 유클리드 기하학의 타원. (아래의 다른 유형에서도 이와 같다.)

유클리드 기하학에서 거리의 합이 두 초점 사이의 거리와 같으면 타원이 폐곡선이 아니라 두 초점을 이은 선분으로 나타나는데, 택시기하학에서는 두 초점의 x좌표와 y좌표가 모두 다를 경우 두 초점을 잇는 최단 경로가 무한히 많으므로 두 초점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형의 테두리와 내부, 즉 면의 형태로 나타나게 된다.

3.3. 포물선[편집]

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포물선은 주어진 한점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점의 집합이 된다. 포물선은 아래 형태로 나타난다.

3.4. 쌍곡선[편집]

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쌍곡선은 아래와 같은 모습이다.

3.5. 두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합[편집]

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유클리드 기하학에서는 두점에서 같은 거리에 있는 선은 '수직이등분선'이라고 부르며 직선이 된다. 두 점의 x좌표나 y좌표가 같으면, 택시 기하학에서도 직선으로 나타나지만, 그렇지 않은 경우 직선이 아니게 된다.



단, 두 점으로 만들어지는 직선의 기울기의 절댓값이 1인 경우라면, 이 집합은 선이 아닌 면의 형태로 나타난다.

4. 특징[편집]

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택시 기하학에서는 삼각형의 합동이 성립하지 않는다.

택시 기하학에서는 수선의 발이 유일하게 결정되지 않을 수 있다. 또한, 수선의 발이 수직이 아니다.

타원, 쌍곡선, 포물선 등이 아주 특수한 상황에서는 선이 아닌 면의 형태로도 나타날 수 있다. 예)면의_형태로_나타난_타원
유한 차원에서는 택시 거리(metric)에 의해 만들어지는 위상 공간과, 유클리드 거리를 주었을 때 만들어지는 위상 공간은 위상동형이다.