곡면
덤프버전 :
분류
1. 개요[편집]
曲面 / surface
기본적으로는 2차원으로 표현이 가능한 굽어있는 기하학적 형상을 의미하며, 이를 보다 일반화시킨 정의로는 다차원 공간 상에서의 2차원 다양체를 의미한다.
2. 관련 용어[편집]
- 접평면(tangent plane)
곡선에서의 접선의 개념을 보다 고차원으로 확장시킨 것. 거의 모든 점에서 연속적인 곡면상의 임의의 점에서 해당 점에 접하는 평면이라는 형태로 정의된다.
- 부드러움(smooth)
곡면 [math(S)]가 해당 영역 내의 모든 점에서의 편미분이 연속된 값을 가지는 경우, 해당 영역에서 이 곡면은 매끄럽다고 표현한다. 다만 정확하게 정의하자면 곡면 [math(S)]를 매개변수 [math(u, v)]에 대해 매개화한 좌표함수 [math(r(u,v))]를 정의한 뒤, [math(r_u\times r_v\neq 0)]. 즉 정의된 모든 점에서 법선벡터의 크기가 0이 아닌 곡면을 말한다.
- 단순곡면(simple surface)
[math(u, v)]로 구성된 2차원 좌표를 지닌 유클리드 공간의 부분집합 [math(U \subset \mathbb{R}^2)]가 개집합이라 할 때, [math(k \in \mathbb{N})]에 대한 [math(C^{k})]-단사함수 [math(\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^3)]가 모든 [math(p \in U)]에 대하여
[math(\displaystyle \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}(p)\times \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}(p)\neq 0)]를 만족하는 곡면
[math(\displaystyle \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}(p)\times \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}(p)\neq 0)]를 만족하는 곡면
- 고유조각사상(proper patch)
단순곡면 [math(\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^3)]의 역함수 [math(\mathbf{x}^{-1}:\mathbf{x}(U)\to U)]가 정의역 [math(\mathbf{x}(U))]의 모든 점에서 연속인 사상.
3. 기본계수와 기본형식(fundamental coefficients / form)[편집]
여기서는 3차원 공간의 2차원 곡면에 대해서만 정의한다. 그 이상이 되면 대학원 수준에 이르는 미분기하학 지식이 필요하기 때문.
- 제1기본계수(1st fundamental coefficients)
곡면 [math(M, p \in M)]에 대하여
가 [math(p)] 근방의 고유조각사상일 때, 다음의 3가지를 점 [math(p)]에서의 곡면 [math(M)]의 제1기본계수라고 한다.
- [math(E:=\left\langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_u\right\rangle)]
- [math(F:=\left\langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\right\rangle)]
- [math(G:=\left\langle \mathbf{x}_v, \mathbf{x}_v\right\rangle)]
- 제2기본계수(2nd fundamental coefficients)
- [math(L:=\left\langle \mathbf{x}_{uu}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_u, U_u\right\rangle)]
- [math(M:=\left\langle \mathbf{x}_{uv}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_u, U_v\right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_v, U_u\right\rangle)]
- [math(N:=\left\langle \mathbf{x}_{vv}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_v, U_v\right\rangle)]
- 제1기본형식과 제2기본형식(1st/2nd fundamental form)
원래는 헤세 행렬 개념이 포함되는 내용이지만, 미분기하학에서 쓰이는 수준으로 간략하게 표현하면 다음과 같다.
- 제1기본형식
[math(T_pM=\{a\mathbf{x}_u+b\mathbf{x}_v|a, b\in \mathbb{R}\})]이라는 접평면을 가정하자. 즉, 이 접평면 위의 모든 점은 접평면의 기저의 2차원 좌표로 표현할 수 있다. 이 때, A 항목을 만족하는 사상을 제1기본형식, B 항목을 만족하는 사상을 제2기본형식이라고 한다.
(단, [math(\mathbf{w}\in T_pM)])
([math(\alpha:\left(-\epsilon, \epsilon\right)\to M)]는 정칙곡선이다. 즉 [math(\displaystyle \alpha(0)=p, \alpha'(0)=\biggl. \frac{du}{dt} \mathbf{x}_u+\frac{dv}{dt} \mathbf{x}_v \biggl|_{t=0})]
(단, [math(\mathbf{w}\in T_pM)])
([math(\alpha:\left(-\epsilon, \epsilon\right)\to M)]는 정칙곡선이다. 즉 [math(\displaystyle \alpha(0)=p, \alpha'(0)=\biggl. \frac{du}{dt} \mathbf{x}_u+\frac{dv}{dt} \mathbf{x}_v \biggl|_{t=0})]
- 제1기본형식
[math(\textrm{Ⅰ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}\textrm{Ⅰ}_p(\mathbf{w}):&=\left\langle\mathbf{w},\mathbf{w}\right\rangle\\&=\lVert w\rVert^2\\&=\left\langle\alpha'(0), \alpha'(0)\right\rangle\\&=\biggl.E\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2F\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]
B. 제2기본형식[1]
[math(\textrm{Ⅱ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}\textrm{Ⅱ}_p(w):&=-\left\langle dU_p(\mathbf{w}), \mathbf{w}\right\rangle\\&=\biggl.L\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2M\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+N\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]
엄밀하게는 리만 다양체와 아핀접속 등의 고급 위상수학적 개념을 끌고 와야 하므로 학부 미분기하학 수준에서 멈춘다.
[math(\displaystyle\begin{aligned}\textrm{Ⅰ}_p(\mathbf{w}):&=\left\langle\mathbf{w},\mathbf{w}\right\rangle\\&=\lVert w\rVert^2\\&=\left\langle\alpha'(0), \alpha'(0)\right\rangle\\&=\biggl.E\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2F\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]
B. 제2기본형식[1]
[math(\textrm{Ⅱ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}\textrm{Ⅱ}_p(w):&=-\left\langle dU_p(\mathbf{w}), \mathbf{w}\right\rangle\\&=\biggl.L\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2M\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+N\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]
엄밀하게는 리만 다양체와 아핀접속 등의 고급 위상수학적 개념을 끌고 와야 하므로 학부 미분기하학 수준에서 멈춘다.
이 제1기본계수와 제2기본계수를 이용하면 평균곡률([math(H)])과 가우스 곡률([math(K)])을 다음 관계식에 의해 구할 수 있다.
[math(\displaystyle H=\frac{EN+GL-2FM}{2\left(EG-F^2\right)})]
[math(\displaystyle K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2})]
[math(\displaystyle K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2})]
그런데 주곡률이 [math(\kappa_1, \kappa_2)]인 곡면에서 평균곡률과 가우스 곡률은 각각 [math(\displaystyle H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}, K=\kappa_1\kappa_2)]의 형태로 주어지므로, 근과 계수의 관계에 따라서 주곡률을 구할 수 있게 된다.
즉, 주곡률은 다음 이차방정식 [math(\kappa_1, \kappa_2:x^2-2Hx+K=0)]의 두 근이 되는 것.
이에 대한 증명은 바이가르텐 사상(Weingarten Map)에 의해서 증명이 가능하다. 다만 바이가르텐 사상 자체가 학부 수준에서는 넘어가는 케이스가 많아서 증명에 대한 언급은 생략. 다만 바이가르텐 사상 [math(W)]에서 가우스 곡률 [math(K)]는 [math(\det\left(W\right))]로, 평균곡률 [math(H)]는 [math(\frac{1}{2}trace\left(W\right))]가 된다는 점은 쉽게 보일 수 있다.
3.1. 특수한 경우의 제1, 제2기본계수[편집]
고유조각사상이 [math(\mathbf{x}(u,v)=((R+r\cos u)\cos v, (R+r\cos u)\sin v, r\sin u))]인 곡면은 원환면이다.
이 때, 원환면에서의 제1, 제2기본계수는 다음과 같다.
고유조각사상이 [math(\mathbf{x}(u,v)=(r\cos u\cos v, r\sin u\cos v, r\sin v))](단 [math(r>0)])인 곡면은 구면이다.
이 때, 구면에서의 제1, 제2기본계수는 다음과 같다.
※법곡률이 부호가 고정되지 않은 이유는, 고유조각사상을 냈을 때, 법곡면의 법선벡터가 원의 중심을 향하는 사상을 택하느냐, 원의 외부를 향하는 사상을 택하느냐에 따라 부호가 달라지기 때문이다.
평면의 경우는 이미 알려져 있다시피 주곡률이 0이므로 [math(H=K=0)]으로 정리된다.
실제로 평면의 경우 [math(\mathbf{x}(u, v)=(x_0+x_1u+x_2v, y_0+y_1u+y_2v, z_0+z_1u+z_2v))](단, [math(\left\vert(x_1, y_1, z_1)\times(x_2, y_2, z_2)\right\vert\neq 0)])라고 매개변수화 할 수 있는데, 이 경우 제1, 제2기본계수는 다음과 같다.
4. 기본계수와 곡면의 성질[편집]
4.1. 제2기본계수[편집]
곡면 [math(M)]상의 한 점 [math(p)]에 대해서, 다음 행렬은 해당 점의 국소적인 기하학적 성질을 결정한다.
[math(\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix})]
이 행렬의 행렬식을 [math(D)]라고 하면, 다음이 성립한다.
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-09 02:28:33에 나무위키 곡면 문서에서 가져왔습니다.[1] 헤세 행렬은 여기서 적용되며, 접곡면의 편차에 대하여 테일러 급수를 취한 2차항의 계수의 2배가 헤세 행렬이 된다. 여기서 편차를 매개변수에 대한 2차 미분에 대한 스칼라곱으로 바꾼게 바로 제2기본형식이 된다.