실베스터-갈라이 정리

1. 개요[편집]

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dot conjecture, Sylvester–Gallai theorem · 三點線 推論, Sylvester-Gallai 定理

모든 점이 한 직선 위에 있지는 않은 점들의 유한집합 S에 대해, S의 원소 중 2개 이상을 포함한 모든 직선들이 3개 이상의 점을 지날 수는 없다는 명제이다. 증명 전의 명칭인 '3점선 추론'으로도 불린다.

2. 상세[편집]

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문제를 이해하기도 쉽고, 당장 그림을 몇 개 그려보면 3점선 추론이 옳다는 감을 잡을 수 있다. 그러나 수학자들은 40년간 이를 증명하지 못하다 결국 제임스 실베스터와 갈라이 티보르가 증명했다.

3. 증명[편집]

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귀류법으로 시작하자. 이 때, 모든 점이 한 직선 위에 있지는 않다는 조건에 의해, S의 두 점 이상을 포함하는 임의의 직선 l과 거리가 양수인 점의 쌍을 모은 집합의 원소가 존재하고, 유한하다. 그러므로, 이 집합의 각 원소에 거리값을 부여하고, 이 값이 최소인 쌍을 잡으면 최소성에 모순임을 자명히 알 수 있다.

4. 여담[편집]

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다만 이 추론은 평행선 공준이 참일 때에만 성립한다. 평행선 공준이 거짓일 때, 그 중 타원 공간에서는 모든 선이 3개 이상의 점을 지날 수 있다.