멩거 스펀지

1. 개요[편집]

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Menger sponge[1]

미국의 수학자인 카를 멩거[2](1902~1985)가 고안한 프랙털 도형이다.

2. 상세[편집]

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하나의 정육면체의 각 변을 3등분하면 27개의 작은 정육면체로 쪼개진다. 거기서 각 면의 가운데 정육면체 6개와 정중앙의 정육면체 1개를 빼면 모든 면에서 가운데가 뚫린 정육면체가 완성된다. 그리고 남은 20개의 정육면체를 처음처럼 각각 3등분하여 더 작은 정육면체로 만든 후 가운데를 빼내고 다시 더 작은 400개의 정육면체를 3등분하여 더 더 작은 8천 개의 정육면체로 만들어 가운데를 빼내는 등의 작업을 무한히 많이 진행시켜 만들어진다.

간단히 말해 정사각형의 가운데 9분의 1을 제거해 만드는 시에르핀스키 사각형을 3차원으로 확장한 것이라고 할 수 있다. 즉 멩거 스펀지의 한 면이 시에르핀스키 카펫의 모양을 하고 있다는 뜻.



각 과정에서 물체의 부피는 전 단계의 27분의 20이 된다. 이런 식으로 계속 만들어 가면 다른 모든 프랙털 도형들이 그렇듯이 표면적은 무한히 넓어지고 부피는 0으로 수렴하는 물체가 완성된다.

이를 수식으로 표현하자면 원래 표면적이 [math(\displaystyle a)], 원래 부피가 [math(\displaystyle v)]일 때 [math(\displaystyle n)]단계를 수행한 직후 표면적은 [math(\displaystyle a\times(\frac{4}{3})^n)], 부피는 [math(\displaystyle v\times(\frac{20}{27})^n)]이 된다. 또 그 결과물을 만드는 데 필요한 정육면체의 개수는 [math(\displaystyle 20^n)]이다.

멩거 스펀지의 하우스도르프 차원은 [math(\displaystyle \log_{3}20)]=대략 2.726833차원이다.

2018학년도 수능특강 독서에서 프랙털 모형의 예시 중 하나로 서술되었다. 다만 그림에 약간의 오류가 있다. 이후 홈페이지에 업로드된 파일을 통해 정정한 듯 하다.

조선일보에서 출판한 교양과학 만화에서는 정육면체 모양의 치즈를 파내서 멩거 스펀지 모양으로 만든 뒤, 깎아낸 조각들을 모아다 뭉쳐서 원래의 정육면체로 환원시키는 장면이 나온다. 멩거 스펀지의 부피가 0인 만큼, 수학적으로는 이게 맞다. 하지만, 현실의 치즈는 여러 화학물질의 혼합물이라서 세부적으로 분리해서 나누면, 이미 치즈가 아닌 여러 분자들의 집합이 되는 다른 물질이 되며, 이 분자를 나누면 원자, 원자를 나누면 양성자와 중성자, 전자, 여기서 더 나누면 쿼크가 되는 식이니, 저렇게는 못 깎아낸다. 이런 문제를 싹 무시해도 무한대의 과정을 거쳐서 깎아내는 것도 가능하지가 않으니, 어디까지나 수학 이론에 대해 이해하기 위한 장면으로 보는게 낫다.

3. 관련 문서[편집]

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• 프랙털 이론
• 시에르핀스키 사각형
• 죠죠의 기묘한 모험 - D4C : D4C에 의해 다른 차원의 자신과 접촉하면 그 접촉한 부분이 서로 멩거 스펀지화되며 파괴된다. 물론 발렌타인 대통령 자신은 제외.