산술·기하 평균 부등식
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1. 개요[편집]
산술·기하 평균 부등식(算術·幾何 平均不等式, arithmetic mean-geometric mean inequality) 또는 AM-GM 부등식은 절대부등식의 하나로, 관찰값들의 산술 평균이 항상 기하 평균보다 크거나 같음을 의미한다. 산술 평균과 기하 평균이 같은 경우는 모든 실수항인 관찰값이 동일한 경우이다.
코시-슈바르츠 부등식과 함께 고등학교 교육과정에 포함되어 있다. 까다로운 최대/최솟값 문제를 풀 때 심심치 않게 쓴다.
2. 산술 평균과 기하 평균의 특성[편집]
2.1. 산술 평균[편집]
자세한 내용은 평균 문서를 참고하십시오.
Arithmetic Mean
+1 {{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \textrm{AM}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i=\frac{1}{n}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right))]}}}
가장 일반적으로 사람들이 생각하는 평균으로 다 합쳐서 개수만큼 나눠서 얻을 수 있다. 각각의 관찰값 a들의 총합을 n으로 나눈 값이라고 말하기도 한다. 어찌 보면 당연한 사실이겠지만 모든 관찰값들에 동일하게 임의의 x값을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눈 뒤 다시 평균을 내면 평균에도 동일한 값이 계산된 결과가 나온다.
2.2. 기하 평균[편집]
자세한 내용은 평균 문서를 참고하십시오.
Geometric Mean
+1 {{{#!wiki style="text-align:center"
[math(\displaystyle \textrm{GM}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n})]}}}
수들을 모두 곱해서 n 제곱근을 취해서 얻는 평균.
기하 평균은 예를 들어 연간 경제성장률, 물가인상율, 연간 이자율, 감쇠/증폭율, 백분비, 크기 확대 비율 같이 표본들이 비율이나 배수이고 각 표본값이 연속성/연계성이 있어서 표본들을 곱한 값이 의미가 있는 경우에 주로 쓰인다. 예를 들어 한국의 2000년 부터 2010년까지 평균경제성장률 등.
3. 산술·기하 평균 부등식[편집]
[math(\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geqq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n})]}}}가 성립한다. 단, 등호는 [math(a_1=a_2=\cdots=a_n)]일 때만 성립.산술·기하 평균 부등식
[math(n)]개의 수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]가 모두 음 아닌 수라고 하자.[1]
그러면,{{{#!wiki style="margin:10px 0;text-align:center"
고등수준에서 알기 쉽게 설명한 영상
3.1. 증명[편집]
3.1.1. 수학적 귀납법을 이용한 증명[편집]
워낙 유명한 절대부등식이기 때문에 매우 많은 증명이 존재하는데 보통 수학적 귀납법을 사용한다. 아래의 증명은 오귀스탱루이 코시가 1821년에 쓴 Cours d'Analyse에 나오는 증명으로 흔히 아는 'n=1에서 성립하고, n에서 성립하면 n+1에서 성립한다' 보다 조금 더 복잡하다. 물론 그냥 귀납법으로 증명하는 것도 가능하다. 위키백과만 뒤져봐도 4가지 서로 다른 증명이 나온다.
3.1.2. 자연로그의 밑을 이용한 증명[편집]
자연로그의 밑 [math(e)]를 이용한 증명도 존재한다. [math(e^{x-1}\ge x)]를 이용하는데, 이는 [math(f(x)=e^{x-1}-x)]로 놓고 [math(f'(x))]를 통하여 증명 가능하다.
[1] 즉 모든 변량이 음 아닌 실수 전제하에
4. 주의사항[편집]
이 부등식을 이용하여 최댓값 혹은 최솟값을 구하는 경우는, 다음과 같은 경우이다.
- 두 수의 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구한다.
- 두 수의 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구한다.
5. 기타[편집]
역사가 오랜 부등식이며, 형태도 간단한 만큼 아주 다양한 형태의 확장이 나왔다. 멱평균부등식/가중치 산술·평균부등식 등이 잘 알려져 있으며 그 하나하나가 올림피아드와 같은 경시대회에서는 반드시 알게 되어 있는 것들이다.
대수적 정수론 분야에서 이름높은 수학자 Kiran Kedlaya는 졸업 논문으로 다음과 같은 재미있고 기괴한 절대부등식의 증명을 내놓았다.
[math(\dfrac{a_1+\left(a_1a_2\right)^{1/2}+\cdots+\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}}{n}\leq\left(a_1\times\dfrac{a_1+a_2}{2}\times\cdots\times\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)^\frac1n)]
양변에 산술평균과 기하평균이 혼합되어 있다. 증명이 궁금한 사람은 여기로.
6. 관련 문서[편집]
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