모티브(대수기하학)

덤프버전 :

[[대수학|대수학

Algebra
]]

틀 색상에 대한 토론이 진행중입니다. #
[ 펼치기 · 접기 ]
이론
기본 대상
연산 · 항등식(가비의 이 · 곱셈 공식(통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식(절대부등식) · 방정식(풀이 · (무연근 · 허근 · 비에트의 정리(근과 계수의 관계) · 제곱근(이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술(시계 산술)
수 체계
자연수(소수) · 정수(음수) · 유리수 · 실수(무리수(초월수) · 초실수) · 복소수(허수) · 사원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
군(group)
대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
환(ring)
아이디얼
체(field)
갈루아 이론 · 분해체
대수
가환대수 · 리 대수 · 불 대수(크로네커 델타)
마그마·반군·모노이드
자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학
벡터 · 행렬 · 텐서(텐서곱) · 벡터 공간(선형사상) · 가군(Module) · 내적 공간(그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
관련 하위 분야
범주론
함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 층 이론(층들) · 토포스 이론 · 타입 이론
대수기하학
대수다양체 · 스킴 · 사슬 복합체(에탈 코호몰로지) · 모티브
대수적 정수론
타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학
스펙트럼 정리
표현론
실베스터 행렬
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재




1. 비전공자를 위한 소개
2. 역사
3. 개요


1. 비전공자를 위한 소개[편집]


모티브를 간단히 말하면 복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소 해석을 생각해보자는 것이다. 복소 해석 하면 그 영역에 대한 극좌표 변환과 같은 중요한 정리로 코시의 적분 정리가 있다. 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, 미분 형식들과 폐곡선 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 '드람 코호몰로지'라고 부른다. '호몰로지'란 적분에 의해서 잘 변하는 폐곡선의 모임, '코호몰로지'는 적분에 의해서 잘 변하는 미분 형식들의 모임으로 부를 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로 호지 이론. 그리고 이것을 더 일반화시킨 것이 '모티브'다.


2. 역사[편집]


1960년대 에탈 코호몰로지[1]가 만들어졌다. 에탈 코호몰로지는 베유 추측 이라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 에탈 코호몰로지로 베유 추측은 풀리게 된다. 하지만 알렉산더 그로텐디크는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, 베유 추측를 풀 수 있는 적당한 코호몰로지를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 코모홀로지와 성질이 거의 같은 코모홀로지를 유한체 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문이었다. 그렇게 해서 에탈 코모홀로지같은 코모홀로지를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 알렉산더 그로텐디크의 생각이었고, 그렇게 해서 모티브라는 것을 생각하게 되었다.


3. 개요[편집]


그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. [math(k\subseteq \Bbb{C})]를 field라고 하고 [math( \mathrm{Var}_{k})]를 [math(k)] 위의 모든 smooth projective (not assumed connected) variety라고 해보자. 그리고 [math( E)]를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 [math(\mathrm{Gr}_{E})]를 [math(E)] 위의 category of finite dimensional graded [math(E)]-vector space라고 하자. 그렇다면 [math( \mathrm{Gr}_{E})]엔 tensor product를 정의할 수 있는데,
[math( (V \otimes W)_n=\bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_j)]
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor [math( H^*:\mathrm{Var}_{k}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gr}_{E})]를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
[math( K_{X,Y}:H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y))]
를 생각할 수 있다.
Nomalization. [math( <math>H^2(\Bbb{P}^1))]은 [math(\mathrm{Gr}_{E})]에서 invertible이다. 이제 [math(V\in \mathrm{Gr}_{E})]라면
[math(V(r)=V\otimes H^2(\Bbb{P}^1)^{-\otimes r})]
라고 정의하자.

Trace axiom. [math( <math>X)]가 equidimension [math(d)]를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism
[math(\mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)\to E)]
가 있어서 다음 둘을 만족한다.
(a) [math(K_{X,Y})]에 의해서 [math(\mathrm{Tr}_{X\times Y}=\mathrm{Tr}_{X}\circ \mathrm{Tr}_{Y})]다. 그러니까 [math(d_X)]가 [math(X)]의 dimension이라면
[math(H^{2d}(X\times Y)(d_X+d_Y)\overset{K_{X,Y}}{\longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)\otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)\overset{\mathrm{id}\otimes \mathrm{Tr}_{Y}}{\longrightarrow} E\otimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)\longrightarrow E)]
와 그냥 [math(\mathrm{Tr}_{X\times Y})]로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다.
(b) 다음 morphism을 생각하자.
[math(H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{K_{X,X}}{\longrightarrow}H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{\Delta^*}{\longrightarrow}H^*(X))]
여기에서 [math( \Delta)]는 [math(x)]를 [math((x,x))]로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면
[math( H^{i}(X)\times H^{2d-i}(X)(d)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E)]
라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다.

cycle class map. [math( <math>Z^r(X))]를 codimension [math(r)]인 integral closed scheme [math(Z\hookrightarrow X)]들을 basis로 하는 [math(\Bbb{Q})]라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다.
\gamma^r_{X}:Z^r(X)\longrightarrow H^{2r}(X)(r)
그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다.
(a) [math(\gamma^r_{X})]는 Chow group을 만든다. Chow group은 [math(Z^r(X))]을 rational equivalence로 나눈 것.
(b) [math(\gamma^r_{X})]는 contravariant다. 그러니까
[math( f^*\gamma^r_{Y}(Z)=\gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z]))]
가 된다. 여기에서 [math(f)]는 flat이어야 하는데, 그 이유는 [math([f^{-1}Z])]를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨져서 정의를 못 한다.
(c) [math(\alpha\in Z^r(X),\beta\in Z^s(Y))]라면
[math( \gamma^r_{X}(\alpha)\times \gamma^s_Y(\beta)=\gamma^{r+s}(\alpha\times \beta))]
가 된다. 이 때에도 [math(\alpha\times \beta)]가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다.
(d)
[math( Z^d(X)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E)]
는 [math([P_i])]를 [math([k(P_i):k])]로 보낸다.


파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-28 07:25:49에 나무위키 모티브(대수기하학) 문서에서 가져왔습니다.

[1] 간단히 말해서 실수가 아닌 일반적인 field 위의 코호몰로지이다. 코호몰로지는 사슬 복합체의 호몰로지와 다르다! 헷갈리지 말자.