무연근

1. 개요[편집]

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無緣根 / extraneous root

방정식 중 분수방정식이나 무리방정식, 로그방정식 등을 풀기 위하여 정방정식의 꼴로 고친 후 구한 근 중에서, 원래 풀고자 했던 방정식의 근이 아닌 것. 한자를 그대로 해석하면 인연(緣)이 없는(無) 근(根)이라는 뜻이다. 곧, 원래 풀고자 하는 방정식과는 인연이 없는 근이라는 뜻, 그 방정식의 진짜 근이 아니라는 뜻이다.

방정식의 근을 구했을 때 검산하면 무연근을 피할 수 있다.

2. 무연근이 생기는 이유[편집]

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2.1. 대수학적 규명[편집]

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본래 등식의 성질에 따르면, 어떤 등식의 양변에 값이 같은 수나 식을 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠도[1] 여전히 등식이다. 다시 말하면 이렇게 등식을 조작해도 그 등식의 본질은 변하지 않는다. 그래서 방정식을 풀 때 이러한 등식의 성질을 이용한다. 그러나 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 문제가 발생한다. 다음 분수방정식의 풀이를 보자.


분명히 [math(x=-1)]과 [math(x=8)]은 방정식 [math((x+1)(x-8)=0)]의 근이지만, 이중에서 [math(x=-1)]은 분수방정식 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]의 근이 아니다. [math(x=-1)]이면 분모가 0이 되고 0으로 나누는 것은 금지되어 있기 때문이다.[2]

이번에는 다음 무리방정식의 풀이를 보자.


분명히 [math(x=-1)]과 [math(x=4)]는 방정식 [math((x+1)(x-4)=0)]의 근이지만, 이중에서 [math(x=-1)]은 무리방정식 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]의 근이 아니다. [math(x=-1)]이면 [math(x-1)]의 값이 음수가 되는데, 보통 어떤 수나 식의 제곱근의 값은 음수를 취하지 않기 때문이다.[3][4]

한마디로, 무연근이 생기는 이유는 '분모는 0이 될 수 없다', '어떤 수나 식의 제곱근은 0 또는 양수만을 취한다\'라는 약속 때문이다. 사실 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]를 [math(3x+3=(x-5)(x+1))]로 고친다거나 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]을 [math(x+5=(x-1)^2)]으로 고치는 것은 이러한 약속을 은근슬쩍 무시해 버리는 것이다. 요컨대, 수학의 약속에 따라 본래의 분수방정식 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]에는 [math(\boldsymbol{x\neq-1})], 본래의 무리방정식 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]에는 [math(\boldsymbol{x\geq1})]라는 제약이 원천적으로 내포되어 있다. 그러나 각각을 정방정식의 꼴로 고친 [math(3x+3=(x-5)(x+1))]이나 [math(x+5=(x-1)^2)]은 그 자체로 [math(x)]의 범위를 정해놓을 근거가 없다. 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 이 점을 주의하면서, 방정식의 풀이의 처음부터 끝까지 미지수의 범위를 확실하게 준수해야 무연근을 진짜 근으로 오해하지 않을 수 있다. 다만 0으로 나눌 수 없음이 당연한 유리방정식과는 달리, 무리방정식은 해 집합이 무엇인지 명시해놓는 것이 근본적인 해결법이다.

다시 말해 위 무리방정식의 지문은 아래와 같이 바꿔야 무연근이 나오지 않는다.

2.2. 해석기하학적 규명[편집]

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이를 좌표평면에 그래프로 나타냄으로써 설명할 수도 있다. 아래의 풀이를 보면, 무연근은 결코 그래프의 교점[5]이 되지 않음을 알 수 있다.

• 위 분수방정식의 풀이
• 위 무리방정식의 풀이

3. 교육과정[편집]

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3.1. 대한민국[편집]

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대한민국에서는 2007 개정 교육과정까지 분수방정식, 분수부등식, 무리방정식과 함께 중요하게 다뤘으나(이과 한정. 문과생들은 배울 일이 없었다.), 2009 개정 교육과정에서 전면 삭제되었다. 그러다가 심화 수학Ⅰ에서 부활하긴 했으나 수능에 출제되지도 않을뿐더러 배우는 학생이 적은 과목이라 사실상 이 내용은 사장(...)되었다.

그러나 아무리 무연근의 개념이 교과서에 명시되어 있지 않더라도 수능 수학에서는 무연근의 존재를 염두에 두고 분수방정식과 무리방정식을 푸는 것이 도움이 될 때가 많다. 없다고 생각할 수 있지만 유리함수/무리함수 문제 풀이에서 실질적으로 분수/무리방정식이 쓰인다. 간단히 생각해서 유리/무리함수의 Y값을 주고 X값을 구하라고 하면 그게 유리/무리방정식이다. 그러므로 무연근 개념은 명시만 되어있지 않을 뿐 여전히 교과과정 내 내용이라고 볼 수 있다.

위의 내용을 차차하더라도, 무연근 자체는 현재 수학I에서 배우는 로그방정식에서도 익힐 수 있는 부분이긴 하다. 로그방정식을 풀이할 때 진수 조건을 체크하는게 바로 무연근을 배제하는 과정이다.