곱셈 공식

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1. 개요
2. 공식
2.1. 변형
2.1.1. 이차항인 경우
2.1.2. 삼차항인 경우
2.1.3. 사차항인 경우
2.1.4. 오차항인 경우
2.1.5. 육차항인 경우
2.1.6. 변형 공식 문제
2.2. 인수분해 공식
3. 집합과 확률에서 곱셈 공식
4. 관련 문서


1. 개요[편집]


algebraic formula

다항식을 전개하기 위해 자주 사용하는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) )] 는 [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 )] 와 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 동류항끼리 모으고 결합하는 과정을 거쳐 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 )]은 자주 나오는 꼴[1]이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈 공식은 일종의 항등식임은 물론이다. 곱셈정리(product rule) 또는 승법정리(multiplicative rule)라고도 한다, 확률론에서는 확률승법정리가 잘 알려져있다.

반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 304×296과 3002 - 42 의 계산식이 그 예.

형돈이와 대준이가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. 뮤직비디오에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다. 근데 교육과정이 바뀌어서 '중3 수학은 이걸로 끝났다'로 제목을 바꿔야 할지도?

페이커도 곱셈 공식의 중요성을 알고 있다. #

또한, 곱셈공식은 기하학적으로 접근했을 때 정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다. 왜냐면, 2차 완전제곱은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱인 [math( \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2 )] 은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다.

이 움짤에 대한 설명


세제곱은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 볼 수 있을 것이다.
파일:세제곱.gif 이 움짤에 대한 설명


2. 공식[편집]


다음은 대표적인 곱셈 공식이다.
  • [math( \left(a±b\right)^2 = a^2 ± 2ab + b^2 )]
  • [math( \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 )]
  • [math( \left(x+a\right)\left(x+b\right) = x^2 + \left(a+b\right)x + ab )]
  • [math( \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) = acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd )]
  • [math( \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\quad(x\ne0))]
  • [math( \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x -\frac{1}{x}\right)^2+2\quad(x\ne0))]

여기까지가 중학교 과정이다. 2015 개정 교육과정 기준으로 중학교 3학년 1학기 과정에 나온다.[2] 2009 개정 교육과정에서는 2학년 1학기 과정에서 이 공식들을 배웠으나, 이번에 인수분해와 함께 연계시키기 위해서 3학년으로 올린 듯.[3]

위 공식에는 각각의 명칭이 있다. 1번째는 완전제곱식, 2번째는 합차공식[4], 3번째는 일반공식 등.

이 아래부터는 고등 수학 (상)에서 배우게 된다.
  • [math( \left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right) = x^3 + \left(a+b+c\right)x^2 + \left(ab+bc+ca\right)x + abc )]
  • [math( \left(a+b+c\right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc + 2ca )]
  • [math( \left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \left(a-b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 )]
  • [math( \left(a+b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^3 + b^3, \left(a-b\right)\left(a^2 + ab + b^2\right) = a^3 - b^3 )]
  • [math( \left(a+b+c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\right) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc )][5][6][7]
  • [math(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)=a^3+b^3+c^3-3abc)] [8]
  • [math( \left(a^2 + ab + b^2\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^4 + a^2b^2 + b^4 )]

여기까지가 고등학교 과정이다.

  • [math((a+ib)(a-ib)=a^2+b^2)][9]
  • [math((a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b)=a^3+b^3)][10]
  • [math((a-b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b)=a^3-b^3)]
  • [math((a^2+b^2+\sqrt{2}ab)(a^2+b^2-\sqrt{2}ab)=a^4+b^4)]
  • [math((a^2-b^2+ab)(a^2-b^2-ab)=a^4+b^4-3(ab)^2)]
  • [math((a+\omega b)(a+\omega^2 b)=a^2+b^2-ab)]
  • [math((a-\omega b)(a-\omega^2 b)=a^2+b^2+ab)]
  • [math((a+\omega b+\omega^2 c)(a+\omega^2 b+\omega c)=a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))]
  • [math((a+\omega b)(a+\omega^2 b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b)=a^4+b^4+(ab)^2)]
  • [math((a+b+c)(a+\omega b+\omega^2 c)(a+\omega^2 b+\omega c)=a^3+b^3+c^3-3abc)][11]
  • [math((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c))]
  • [math((a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d)=a^4+b^4+ c^4+d^4-2((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)+8abcd)][12]
  • [math((a+b)(a+c)(b+c)=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+2abc)]
  • [math((a+b+c)(ab+ac+bc)=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+3abc)]
  • [math((a+b)(a+c)+(a+b)(b+c)+(a+c)(b+c)=a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc))]
  • [math((a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)=a^4+b^4+c^4-2((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2))]
  • [math((a+b+c)^3-(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)=4(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+abc))]
  • [math((a+b+c+d)^3-(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d)=4(ab(a+b)+ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d)+(abc+abd+acd+bcd)))]
  • [math((a+b)^4=a^4+b^4+4(ab(a^2+b^2))+6a^2b^2)]
  • [math((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))+6abc)]
  • [math((a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+4(ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+bc(b^2+c^2))+6((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)+12(abc(a+b+c)))]
  • [math((a+b+c+d)^3=a^3+b^3+c^3+d^3+3(ab(a+b)+ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d))+6(abc+abd+acd+bcd))]
  • [math((a+b+c+d)^4=a^4+b^4+c^4+d^4+4(ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+ad(a^2+d^2)+bc(b^2+c^2)+bd(b^2+d^2)+cd(c^2+d^2))+6((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)+12(abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d))+24abcd)]
  • [math((a+b+c+d)^4=a^4+b^4+c^4+d^4+4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2)]
  • [math((a+b+c+d+e)^5=a^5+b^5+c^5+d^5+e^5+5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-5AB^2+5BC)]
  • [math((a+b+c+d+e+f)^6=a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+6(A-a)(A-b)(A-c)(A-d)(A-e)(A-f)-9A^2B^2+2B^3+12ABC-3C^2-6BD)]
  • [math((a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)+(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)=B(abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d)))]


2.1. 변형[편집]


위 곱셈 공식을 이항하여 다음과 같이 변형할 수 있다.

  • [math(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab)]
  • [math((a+b)^2-4ab=(a-b)^2)]
  • [math(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b))]
  • [math(a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b))]
  • [math(a^4+b^4=(a+b)^4-4ab(a+b)^2+2(ab)^2=A^4-4A^2B+2B^2)]
  • [math(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))]
  • [math(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\dfrac12\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\})]
  • [math(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\})]
  • [math(a^3+b^3+c^3)]
    =[math((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))+3abc)]
    =[math((a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c))]
    =[math((a+b+c)^3-3(ab+ac+bc)(a+b+c)+3abc)]
    =[math((a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+ac+bc))+3abc)]
    =[math(A^3-3AB+3C)]

여기서부터는 식이 복잡해져서 각 근의 합은 A[13], 두 근끼리의 곱의 합은 B[14], 세 근끼리의 곱의 합은 C[15], 네 근끼리의 곱의 합은 D[16], 다섯 근끼리의 곱의 합은 E[17]... 이런 식으로 치환한다.


2.1.1. 이차항인 경우[편집]


  • [math(a^2+b^2+c^2+d^2=A^2-2B)][18]
  • [math(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=A^2-2B)]

2.1.2. 삼차항인 경우[편집]


  • [math(a^3+b^3+c^3+d^3=A^3-3AB+3C)][19]

2.1.3. 사차항인 경우[편집]


  • [math((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2=B^2-2AC)]
  • [math((a^2+b^2+c^2)^2=A^4-4B(A^2-B))]
  • [math((a^2+b^2+c^2+d^2)^2=A^4-4B(A^2-B))]
  • [math(a^4+b^4+c^4)]
    =[math((a+b+c)^4-2(2(a+b+c)^2-(ab+ac+bc))(ab+ac+bc)+4abc(a+b+c))]
    =[math(A^4-4A^2B+2B^2+4AC)]
  • [math((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2=B^2-2AC+2D)]
  • [math(a^4+b^4+c^4+d^4)]
    =[math((a+b+c+d)^4-2(2(a+b+c+d)^2-(ab+ac+ad+bc+bd+cd))(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+4(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)-4abcd)]
    =[math(A^4-4A^2B+2B^2+4AC-4D)][20]
  • [math(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=A^4-4A^2B+2B^2+4AC-4D)]

2.1.4. 오차항인 경우[편집]


  • [math(a^5+b^5)]
    =[math((a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b))]
    =[math(A^5-5A^3B+5AB^2)]
  • [math(a^5+b^5+c^5=A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC)]
  • [math(a^5+b^5+c^5+d^5=A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC-5AD)]
  • [math(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC-5AD+5E)]

2.1.5. 육차항인 경우[편집]


  • [math(a^6+b^6=A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3)]
  • [math(a^6+b^6+c^6=A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2)]
  • [math(a^6+b^6+c^6+d^6=A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD)]
  • [math(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD+6AE)]
  • [math(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD+6AE-6F)]

2.1.6. 변형 공식 문제[편집]


변형 공식은 다음과 같이 곱셈 공식의 심화 문제로 많이 나온다.

  • [math(a+b=3, ab=6, a^2+b^2=?)]
  • [math(a+b=4, ab=7, a^3+b^3=?)]
이 경우 식도 두 개이고 미지수도 두 개여서 연립방정식을 곧이곧대로 풀어서 [math(a)]와 [math(b)]의 값을 각각 구하거나 a+b의 값을 부호만 바꾼 것을 1차항의 계수로, ab의 값을 상수항의 계수로 하는 2차항의 계수가 1인 방정식을 풀어도 되지만 출제 의도는 결코 그것이 아니다. 위의 곱셈 공식 [math((a+b)^2-2ab=a^2+b^2)] 또는 [math(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b))]를 이용하라는 것이다. 반드시 이것을 이용하여 문제를 풀도록 하기 위하여 출제자는 항상 연립방정식을 풀기 어렵도록 숫자를 만들어 놓는다.


특히 [math((a+b)^2-2ab=a^2+b^2)], [math(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b))] 이 두 개는 근과 계수의 관계 문제에서도 단골로 이용된다. 이차방정식의 두 근의 합([math(a+b)])과 곱([math(ab)])을 근과 계수의 관계로 구하도록 하고 곱셈 공식을 사용하여 답을 구하라는 것이 출제 의도이다. 이때도 물론 연립방정식을 풀기 어렵도록 방정식의 두 근을 복잡한 무리수로 만들어 놓는다. [math(a^4+b^4)]의 값도 위의 공식 그대로 구할 수 있다. [math(a^5+b^5)]는 [math((a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b))]로 놓고 구하면 되며[21] [math(a^6+b^6)]은 [math((a^2)^3+(b^2)^3)] 혹은 [math((a^3)^2+(b^3)^2)]로 치환하거나 [math((a^2+b^2)(a^4+b^4)-a^2b^2(a^2+b^2))]로 놓는게 빠르며 [math(a^7+b^7)]는 [math((a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b))]로 놓고 구하면 되며 [math(a^8+b^8)]은 [math((a^2)^2)^2+(b^2)^2)^2)]로 치환하는게 빠르다.

삼차방정식의 근과 계수의 관계는 과거와 달리 고등학교에서 다루지 않지만, 다룬다면 세 근의 제곱의 합([math(a^2+b^2+c^2)]) 또는 세 근의 세제곱의 합([math(a^3+b^3+c^3)])을 구하라는 문제를 낼 수 있다. 이때는 세 근의 합([math(a+b+c)]), 세 근의 두 근끼리의 곱의 합([math(ab+bc+ca)]), 세 근의 곱([math(abc)])을 근과 계수의 관계로 구한 뒤 다음 곱셈 공식을 이용하는 것이다.

[math(a^2+b^2+c^2)]의 값은 위의 공식 그대로 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근의 곱을 알면 구할 수 있다.
[math(a^3+b^3+c^3)]의 값은 [math(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc)]이라는 값이 나오며 이 공식을 이용해서 구하는게 빠르다. 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근의 곱을 알면 곧바로 구할 수 있다. 이를 응용해서 [math(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))]이나 [math((a+b)(a+c)(b+c))]등 이러한 값도 구할 수 있다.
[math(a^4+b^4+c^4)]의 값은 공식으로 푸는 방법도 있지만 [math(a^2+b^2+c^2)], [math((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)]를 알아내면 더 빨리 구할 수 있다. [math(a^5+b^5+c^5)]는 [math((a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)-((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)(a+b+c)+abc(ab+ac+bc))]를 이용해야 하며 [math(a^6+b^6+c^6)]은 [math((a^3)^2+(b^3)^2+(c^3)^2)]로 치환하는게 빠르며 [math((ab)^3+(ac)^3+(bc)^3=B^3-3ABC+3C^2)]를 이용해서 대입하는게 빠르며 그 이상의 것은 a는 ab, b는 bc, c는 ca를 놓고 치환할 시 A는 B, B는 AC, C는 C^2가 된다는 점을 이용하면 [math(a^8+b^8+c^8)] 등 더 어려운 것도 쉽게 구할 수 있다.

사차방정식의 근과 계수의 관계를 이용해서 [math(a^2+b^2+c^2+d^2)]의 값을 구할 수 있다.
[math(a^3+b^3+c^3+d^3)]의 값은 네 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근끼리의 곱의 합을 알면 구할 수 있다.
[math(a^4+b^4+c^4+d^4)]의 값은 공식으로 푸는 방법도 있지만 [math(a^2+b^2+c^2+d^2)], [math((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)]를 알아내면 더 빨리 구할 수 있다. [math(a^5+b^5+c^5+d^5)]도 위의 공식을 이용해야 하며 [math(a^6+b^6+c^6+d^6)]은 [math((a^3)^2+(b^3)^2+(c^3)^2+(d^3)^2)]를 이용해도 [math((ab)^3+(ac)^3+(ad)^3+(bc)^3+(bd)^3+(cd)^3)]를 알아야 해서 식이 복잡하다.

[math(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5)]나 이런 것도 엄청 복잡해지지만 구할 수 있긴 하다. 4차항 이상은 문제로 나올 가능성은 거의 없지만 그냥 적어보았다. 깊게 들어가면 미지수의 개수와 항의 차수 대비 팩토리얼과 연관성을 찾을 수도 있다. 예를 들어 (a+b+c)^3라 할때 a^3+b^3+c^3의 항의 개수는 [math(\dfrac{3!}{3!})]=1, a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2의 항의 개수는 [math(\dfrac{3!}{2!\times 1!})]=3, abc의 항의 개수는 [math(\dfrac{3!}{1!\times 1!\times 1!})]=6 이런 식으로 항의 개수만큼 나눠주면 알아낼 수 있다.


(a+b)^2
(a+b)^3
(a+b)^4
항의 종류
a^2
ab
a^3
a^2b
a^4
a^3b
a^2b^2
항의 개수
1
2
1
3
1
4
6


(a+b+c)^2
(a+b+c)^3
(a+b+c)^4
항의 종류
a^2
ab
a^3
a^2b
abc
a^4
a^3b
a^2b^2
a^2bc
항의 개수
1
2
1
3
6
1
4
6
12


(a+b+c+d)^2
(a+b+c+d)^3
(a+b+c+d)^4
항의 종류
a^2
ab
a^3
a^2b
abc
a^4
a^3b
a^2b^2
a^2bc
abcd
항의 개수
1
2
1
3
6
1
4
6
12
24


(a+b+c+d+e)^5
항의 종류
a^5
a^4b
a^3b^2
a^3bc
a^2b^2c
a^2bcd
abcde
항의 개수
1
5
10
20
30
60
120


(a+b+c+d+e+f)^6
항의 종류
a^6
a^5b
a^4b^2
a^3b^3
a^4bc
a^3b^2c
a^2b^2c^2
a^3bcd
a^2b^2cd
a^2bcde
abcdef
항의 개수
1
6
15
20
30
60
90
120
180
360
720

(a+b+c+...)^n이라 할때 n의 차수에 따른 항의 종류의 개수는 다음과 같이 늘어난다.
차수
1
2
3
4
5
6
7
8
9
항의 종류의 개수
1
2
3
5
7
11
15
22
30

근과 계수의 관계 문서에서 예제를 참고하라.

2.2. 인수분해 공식[편집]


곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 것이다.
예시는 다음과 같다.

  • [math(a^2 ± 2ab + b^2 = \left(a±b\right)^2)]
  • [math(a^2 - b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right))]
  • [math(x^2 + \left(a+b\right)x + ab = \left(x+a\right)\left(x+b\right))]
  • [math( acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd = \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) )]

고등학교 과정의 인수분해 공식 또한 비슷하게 할 수 있다.



3. 집합과 확률에서 곱셈 공식[편집]


    통계학

Statistics
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파일:조건부 확률.png
[math( P(A|B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)} )]

  • 곱셈 공식(확률승법정리)
[math( P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B \cap A) = P(B|A)P(A) )]

A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)

파일:전체 확률의 법칙.png
정의) [math(A_1, A_2)]는 [math(A)]의 파티션(서로 상호 배타적이고 합하면 [math(A)]가 나오는 집합)이다.
[math( P(B) )]
[math( = P(B \cap A) )]
[math( = P(B \cap A_1) + P(B∩A_2))]
[math( = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2))]

[math( P(A_1|B) )]
[math(\displaystyle = \frac{P(B \cap A_1)}{P(B)})]
[math(\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)})]
[math(\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)})]

4. 관련 문서[편집]




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[1] 특히 복소수절댓값, 복소 벡터내적을 구할 때 필수적이다.[2] 2018학년도 중학교 신입생부터 적용[3] 그 대신 피타고라스 정리가 2학년으로 내려왔다. 다만 무리수를 배우지 않았다는 점을 들어 자연수 범위에서의 피타고라스 수만을 다룬다. 이렇게 한 이유는 중2 나이대에 피타고라스 정리를 배우는 다른 나라들과 달리 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배워 국제적으로 학력을 비교 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다. 단, 무리수를 배우지 않았을 뿐 무리수가 있다는 것은 1학년 초반에 짚고 넘어간다. 1학년 끝물에 나오는 원주와 원의 면적, 호의 길이와 면적, 입체도형의 부피에서 주야장천 파이를 우려먹기 때문. 뿐만 아니라 파이(원주율)라는 개념은 초등학교 6학년 과정에도 등장하며, 끝이 없다는 내용을 배우기 때문에 사실상 초등학교 때부터 무리수의 개념을 짚고 넘어간다고 볼 수 있다.[4] [math((a+b)(a-b))] 를 전개하면 [math((a+b)(a-b) = a^2 + \cancel{ab - ab} - b^2 = a^2 - b^2 )]가 되기 때문이다.[5] [math(-3abc)]를 이항해서 외워도 좋다.[6] 이게 중요한 것이, [math(a+b+c=0)]이라면 [math(3abc=a^3+b^3+c^3)]이 된다. 삼차방정식을 푸는 중요한 열쇠 중 하나이다.[7] 일본 도쿄대 입시문제중 2006년 문제에 [math(x^3+y^3+z^3=xyz)]를 만족하는 양의 정수쌍이 없음을 증명하라는 문제가 있었는데, [math(x^3+y^3+z^3-3xyz=-2xyz)]로 이항한 뒤 좌변을 곱셈공식으로 인수분해하여 조금 변형하면 쉽게 풀 수 있다.
[math(x^2+y^2+z^2-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx))]가 되고,
[math(\displaystyle =\left(x+y+z\right)\frac{1}{2}\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\})]이 되므로 반드시 0 이상의 정수가 되어야 함에도, 우변은 [math(x,y,z)]가 양의 정수이므로 [math(-2xyz<0)]이 되어야 하기 때문에 모순이라고 보이면 된다.
[8] 위의 식을 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 [math(a^3+b^3+c^3=3abc)]이라는 조건과 함께 나와서 [math(a=b=c)]를 알아내는 데 쓰인다.[9] 단, [math(i=\sqrt{-1})]이다.[10] 단, [math(\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2})]이다.[11] 삼차방정식을 푸는 중요한 열쇠가 되며 [math(a^3+(-3bc)a+(b^3+c^3))]으로 치환해서 구할 수 있다.[12] 사차방정식을 푸는 중요한 열쇠가 되며 [math(a^4+(-2(b^2+c^2+d^2))a^2+(8bcd)a+(b^4+c^4+d^4-2((bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)))]으로 치환해서 구할 수 있다.[13] 이차항일때 [math(a+b)], 삼차항일때 [math(a+b+c)], 사차항일때 [math(a+b+c+d)], 오차항일때 [math(a+b+c+d+e)],...[14] 이차항일때 [math(ab)], 삼차항일때 [math(ab+ac+bc)], 사차항일때 [math(ab+ac+ad+bc+bd+cd)], 오차항일때 [math(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)],...[15] 삼차항일때 [math(abc)], 사차항일때 [math(abc+abd+acd+bcd)], 오차항일때 [math(abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde)]...[16] 사차항일때 [math(abcd)], 오차항일때 [math(abcd+abce+abde+acde+bcde)]...[17] 오차항일때 [math(abcde)],...[18] 미지수가 5개 이상인 경우에도 n개 근의 합, 두 근끼리 곱의 합만 알면 구할 수 있다.[19] 미지수가 5개 이상인 경우에도 n개 근의 합, 두 근, 세 근끼리 곱의 합만 알면 구할 +3C)[20] 미지수가 5개 이상인 경우에도 n개 근의 합, 두 근, 세 근, 네 근끼리 곱의 합만 알면 구할 수 있다.[21] [math(a^5+b^5=A^5-5A^3B+5AB^2)]으로 구하는 방법도 있지만 더 간략한 방법이 있다.