평균부등식

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분류

1. 개요
2. 증명
2.1. 변수 2개짜리 평균부등식
2.2. 변수 n개짜리 평균부등식
2.3. 멱평균 부등식
2.4. 횔더 부등식을 이용한 증명
3. 예제
4. 관련 문서


1. 개요[편집]

여러 종류의 일반화된 평균들, 특히 멱평균(power mean)에 대한 부등식으로 몇 가지의 버전이 있다.

고교과정에서 n=2 일 때로 매우 제한적으로 배우는 AM-GM을 훨씬 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전이다. 수학을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 부등식에 들어가기 전에 먼저 몇가지 정의를 설명한다. [math(n)]개의 양수[1] [math(x_1,x_2,\cdots,x_n)]에 대하여,
  • 최댓값 (Max): 말 그대로 최댓값 (=[math(\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right))])
  • 제곱근 멱평균/제곱 평균 제곱근 (RMS: Root-Mean Square)[2]: [math(\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}})][3]
  • 산술평균 (AM: Arithmetic Mean): [math(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})]
  • 기하평균 (GM: Geometric Mean): [math(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})]
  • 조화평균 (HM: Harmonic Mean): [math(\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}})] (역수들의 산술평균의 역수)
  • 최솟값 (Min): 말 그대로 최솟값 (=[math(\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right))])|}}

이 셋팅에서 평균부등식은 간단히 말해 다음을 일컫는다.
평균부등식
[math(n)]개의 양수 [math(x_1,x_2,\cdots,x_n)]에 대하여 MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN, 즉 다음이 성립한다.
[math(\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\geq\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right))]
[math(x_1 = x_2 = \cdots = x_n)]이 아니면 등호가 성립하지 않는다.

교과 외 고등과정에선 다음 일반화된 버전을 보통 의미한다. 멱평균(power mean) 혹은 일반화된 평균(generalized mean)은, 확장된 실수(즉 실수에 +무한대와 -무한대를 첨가한것) [math(p)]에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.
  • [math(p)]차 멱평균: [math( M_p (x_1, \cdots, x_n) = \left( \frac{ x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p }{n} \right)^{1/p} )]
p가 0이나 무한대일 때는 극한으로 생각한다. (물론 극한이 수렴함을 증명하여아 한다.)
멱평균 부등식 (power mean inequality) 혹은 일반화된 평균 부등식(generalized mean inequality)
[math(n)]개의 양수 [math(x_1,x_2,\cdots,x_n)]에 대하여, [math(M_p(x_1, x_2, \cdots, x_n))]는 [math(p)]에 대해 단조증가한다. [math(x_1 = x_2 = \cdots = x_n)]이 아니면 순증가이다.
위의 모든 평균들은 다 이 멱평균의 특수한 예로, 최대값/제곱평균제곱근/산술평균/기하평균/조화평균/최소값은 각각 [math(p=+\infty, 2, 1, 0, -1, -\infty)]에 대응된다. 윗버전의 완벽한 일반화라 볼 수 있는 것. 더욱 일반화하면 이런 류의 것이 다 그렇듯 가중치가 있는 버전, 적분형 버전 등도 당연히 생각할 수 있고, 가장 일반적인 측도버전은 다음일 것이다.
음이 아닌 확률변수 [math(X)]에 대해 [math(\mathbb{E}[X^p]^{1/p})]는 [math(-\infty \le p \le \infty)]에서 단조증가이다.

주의할 점은 대학 수학 이상의 정규 교과과정에서 이걸 부르는 정해진 이름은 딱히 없다는 것이다. 즉 멱평균/일반화된 평균 등의 용어가 공식적으로 확인되진 않는다. 다만, 확률변수 버전에서부터 느낄 수 있듯이 이게 필요하다면 횔더 부등식의 특수한 경우로 간주되어 등장하게 된다.


2. 증명[편집]


2.1. 변수 2개짜리 평균부등식[편집]

1. WLOG [math(a\geq b)]라 가정한다. 그러면 [math(\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})]. 즉, MAX ≥ RMS.
2. [math(\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0)]. 즉, RMS ≥ AM.
3. [math(\frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0)]. 즉, AM ≥ GM.
4. [math(\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0)]. 즉, GM ≥ HM.
5. WLOG [math(a\geq b)]라 가정한다. 그러면 [math(\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b})]. 즉, HM ≥ MIN.


2.2. 변수 n개짜리 평균부등식[편집]

1. WLOG [math(x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n)]이라 가정한다. 그러면 [math(\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}})]. 곧, MAX ≥ RMS.
2. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, [math(\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2)]이다. 양변을 [math(n^2)]으로 나눠주고 정리하면, [math(\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2)]. 양변에 제곱근을 씌워주면, [math(\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})]. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다.
3. 항목 참조.[4]
4. AM-GM을 활용한다. [math(\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}} }{n})][math(\geq1)]이므로, 이를 잘 정리해주면, [math(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})][math(\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n})][math(\geq1)]이고, 곧, [math(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}})]. 즉, GM ≥ HM이 성립한다.
5. WLOG [math(x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n)]이라 가정한다. 그러면 [math(\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}})]. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다.


2.3. 멱평균 부등식[편집]

1. 우선 멱평균이 [math((0,\infty))]에서 단조증가함을 보인다. 멱평균을 [math(p)]에 대해 로그미분한 뒤, 식을 정리해 다음처럼 변형시킨다.
[math(\frac{d}{dp} \log M_p(x_1, \cdots, x_n) = \frac{d}{dp} \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p} = \frac{ \frac{d}{dp} \log (x_1^p + \cdots + x_n^p) }{p} - \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p^2} )]
[math(=\frac{1}{p^2}\left( \frac{ x_1^p \log x_1^p + \cdots + x_n^p \log x_n^p} {(x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p)} -\log( \frac{x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p}{n} ) \right))]
형태가 복잡해 보이지만, 볼록함수 [math(f(x) = x \log x)]와 실수쌍 [math( y_i = \frac{x_i^p}{x_1^p + \cdots+ x_n^p})]들에 대해 젠센 부등식을 적용하면 바로 위 식이 0 이상임을 얻을 수 있다.

2. [math(p<0)]인 경우는 [math(M_p(x_1, \cdots, x_n) = M_{-p}(x_1^{-1}, x_2^{-1}, \cdots, x_n^{-1})^{-1})]을 관찰한다. 우변이 [math(p)]에 대해 단조증가이므로 좌변도 단조증가여야 한다.

3. 마지막으로 특수값 [math(p=\infty, 0, -\infty)]에 대해 [math(M_p)]의 극한값이 원하는 값으로 수렴함을 보인다.
(a) 최대값: 최대값을 [math(M)]이라고 하면 [math(p>0)]일 때 [math(M^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le nM^p)]가 성립한다. 양변을 [math(n)]으로 나누고 p제곱근을 씌운 뒤, [math(p \rightarrow \infty)]의 극한을 보내고 샌드위치 정리를 사용한다.
(b) 최소값: 최소값을 [math(m)]이라 하면 [math(p<0)]일 때는 비슷하게 [math(m^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le n m^p)]가 성립한다. 방법은 대동소이하지만 [math(p)]가 음수이므로 p제곱근을 씌울때 부등호방향이 바뀌는 것만 유의하면 된다.
(c) 기하평균: 로그형태 [math(\log M_p = \frac{ \log (x_1^p + \cdots + x_n^p)- \log n}{p})]로 바꾸어 극한 [math(p \rightarrow 0)]을 취하면 되는데, 늘 그랬듯이 로피탈의 정리 혹은 미분계수의 정의식을 사용하면 된다. 분자를 [math(p)]로 미분하면 [math(\frac{x_1^p \log x_1 + \cdots + x_n^p \log x_n}{x_1^p + \cdots + x_n^p})]이고 [math(p=0)]일 때의 이 값은 [math(\frac{\log x_1 + \cdots + \log x_n}{n} = \log \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})]이므로 [math(M_0(x_1, \cdots, x_n) = \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n})]이 증명된다.


2.4. 횔더 부등식을 이용한 증명[편집]

실수 [math(\alpha>\beta)]에 대해 [math(\mathbb{E}[X^\alpha]^{1/\alpha} \ge \mathbb{E}[X^\beta]^{1/ \beta} )]을 보이면 된다.
(a) [math(\alpha>\beta>0)]일 경우: 횔더 부등식의 기본형태 [math(\mathbb{E}[x^p]^{1/p} \mathbb{E}[y^q]^{1/q} \le \mathbb{E}[xy])]에서 [math(x = X^\beta, y = 1, p = \alpha/\beta)]로 놓자. 그러면 [math( \mathbb{E}[X^{\alpha}]^{\beta/\alpha} \le \mathbb{E}[X^\beta] )]를 얻을 수 있다.
(b) [math(\alpha>0>\beta)]일 경우: [math( \gamma = (\alpha^{-1} - \beta^{-1})^{-1})]에 대해 [math(x = X^\gamma, y = X^{-\gamma}, p = 1 - \alpha/\beta , q = 1 - \beta/ \alpha)]로 맞춰주자.
(c) [math( 0 > \alpha > \beta)]일 경우: [math(X^{-1})]을 대신 생각하면 (a)의 경우가 된다.


3. 예제[편집]

양의 실수 [math(a,b,c)]에 대하여, [math(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9)]가 성립한다. AM-HM에 의해, [math(\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}})]이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 부등식이 증명된다. 등호는 [math(a=b=c)]일 때 성립한다. 코시-슈바르츠 부등식이 훨씬 더 쉬운 것 같은데...?[5]


4. 관련 문서[편집]



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[1] 원칙적으로는 음이 아닌 실수여도 된다. 조화평균의 경우 [math(\frac{1}{0}=\infty)]로 간주하여 0으로 취급하면 문제없다. 다만 확장된 실수 개념의 모호함으로 교과과정에선 다루지 못한다[2] 책에 따라서는 SQM (Square-root Quadratic Mean)이라 부르기도 한다.[3] 수학보다는 화학이나 물리학에서 주로 쓰이는데, 고전역학적으로 질량 [math(m)]과 운동에너지 [math(E_{k})]가 주어지면, 운동에너지에서 스피드 [math(v)]를 구하는건 [math(\displaystyle{E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}})]를 이용해서 구할 수 있다. 분자의 운동에너지의 총 합이 바로 온도가 되는데, 문제는 이상 기체 분자의 운동속력은 맥스웰-볼츠만 분포를 따르게 된다. 즉, 분포가 주어지게 되므로, 이것만으로는 분자의 운동속력을 구할 수는 없다. 하지만, 그 대표값으로 삼는게 바로 RMS. 즉, [math(\displaystyle{E_{k}=\sum_{v\in AREA}\frac{1}{2}mv^{2}}=\frac{3}{2}kT=\frac{1}{2}m\bar{v}^2)]라는 공식을 이용하여 구할 수 있는 [math(\bar{v})]가 바로 맥스웰-볼츠만 분포를 따르는 기체분자의 평균 운동속력이다.[4] 수학적 귀납법을 사용해 증명한다.[5] 애초에 부등식은 푸는 방법이 매우 다양하며, 특히 KMO 고등부나 IMO로 올라갈수록 그 경향이 더욱 심해진다. 결국 부등식을 풀 때는 여러 가지 해법 중 본인에게 가장 쉬운 해법을 선택하여 풀면 되는 것이다. 그러니까 음수일때 AM-GM 좀 쓰지 말자

관련 문서