점군

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1. 개요
2. 설명
2.1. 1차원 대칭
2.2. 2차원 대칭
2.3. 3차원 대칭
2.4. 4차원 대칭


1. 개요[편집]


/ point group

점군은 공간에서 어떤 조작에 대해 하나 이상의 고정된 점을 보존하는, 기하학적 대칭의 군(群)을 의미한다. 점군은 모든 차원의 유클리드 공간에서 존재하며, 모든 n차원 점군은 직교군 [math(O\left(n\right))]의 부분군이다. 점군은 직교행렬의 집합으로 표현될 수 있다.

기하학, 대수학 등 수학 뿐만 아니라, 화학, 응집물질물리학에서도 물질의 대칭성을 표시할 때 주로 사용된다.


2. 설명[편집]


쉽게 설명해, 점군은 임의의 기하학적 대상이 회전이나 반사 등의 조작에 대해, 어떤 대칭을 가지는지에 대한 서술이다.

기하학적 대상에 대해 가능한 조작은 다음과 같다.

차원
조작
기호
설명
0차원 이상
동등 조작(identity)
[math(E)]
아무런 조작도 가하지 않는다.[1]
1차원 이상
반사(reflection)
[math(\sigma)]
특정한 경계면[2]을 기준으로 대칭시킨다.[3]
반전(inversion)
[math(i)]
특정한 점을 기준으로 대칭시킨다. (점대칭)
2차원 이상
회전(rotation)
[math(C_n)]
특정한 축을 기준으로 (360/n)º회전시킨다.
3차원 이상
회전반사(Improper rotation)
[math(S_n)]
특정한 축을 기준으로 (360/n)º 회전시킨 후, 해당 축에 수직인 평면을 기준으로 대칭시킨다.


2.1. 1차원 대칭[편집]


직선 위에 있는 점들에 대한 대칭은 C1과 D1 두 가지밖에 없다.

Scn[Scn]
명칭
Int[Int]
Cox[Cox]
대칭 차수
C1
동등군(indentity group)
n
[]+
1
D1
반사군(reflection group)
nm
[]
2


2.2. 2차원 대칭[편집]


평면 위에 있는 점들에 대한 대칭에는 Cn과 Dn이 존재한다. n은 자연수 또는 무한대가 될 수 있다.

Scn[Scn]
명칭
Int[Int]
Cox[Cox]
대칭 차수
Cn
순환군
n
[n]+
n
Dn
반사군
nm
[n]
2n
단, n은 자연수 또는 무한대.


2.3. 3차원 대칭[편집]


여기서부터 이면체 대칭(dihedral symmetry)과 정다면체 대칭(polyhedral symmetry)으로 나뉜다.

분류
Scn[Scn]
명칭
Int[Int]
Cox[Cox]
대칭 차수
낮은 차수 대칭[4]
C1
동등군


1
Ci
점대칭


2
Cs
면대칭


2
이면체 대칭
C
Cn
순환 대칭[5]
n
[n]+
n
Cnh
각기둥 대칭[A]

[n^^+^^,2]
2n
Cnv
피라미드 대칭

[n]
2n
S[6]
S2n
gyro-n-gonal group

[2n^^+^^,2^^+^^]
2n
D
Dn
이면체 대칭

[n,2]+
2n
Dnh
각기둥 대칭[A]

[n,2]
4n
Dnd
엇각기둥 대칭

[2n,2^^+^^]
4n
정다면체 대칭
T
T
카이랄 정사면체 대칭
[math(23)]
[3,3]+
12
Td
정사면체 대칭
[math(\overline{4}3m)]
[3,3]
24
Th
황철석면체 대칭[7]
[math(m\overline{3})]
[3,3^^+^^]
24
O
O
카이랄 정다면체 대칭
[math(432)]
[3,4]+
24
Oh
정팔면체 대칭
[math(m\overline{3}m)]
[3,4]+
48
I
I
카이랄 정이십면체 대칭
[math(532)]
[3,5]+
60
Ih
정이십면체 대칭
[math(\overline{53}m)]
[3,5]
120


2.4. 4차원 대칭[편집]


4차원 이상의 회전은 복잡한 특징을 가진다. 2차원 또는 3차원 회전의 경우, 회전면[8]이 하나지만, 4차원 이상의 회전의 경우 둘 이상의 회전면을 가질 수 있기 때문이다.

인간이 통상 3차원 공간에 살기 때문에 회전이라는 것을 '회전축을 중심으로 도는 것'으로 생각할 수 있으나, 이것은 3차원에서만 정의되는 것이며, 모든 차원에 적용되는 회전의 정의는 회전면에서 벌어지는 변환으로 이해해야 한다. 단편적으로, 만약 회전축을 중심으로 한 변환이라고 생각할 경우, 4차원 이상에서는 어떤 축에 수직한, 서로 평행하지 않은 평면이 수없이 많으므로 회전이 잘 정의되지 않는다. 따라서 4차원 이상의 회전은 회전축이 아닌 여러 개의 회전면의 개념으로 이해한다.

어떤 하나의 회전면을 기준으로 회전하는 심플 로테이션, 그리고 서로 수직한 두 방향으로 회전하는, 더블 로테이션(double rotation)으로 나뉜다. 더블 로테이션의 대칭은 듀오프리즘으로 대표될 수 있다.

이에 따라 4차원의 군은 크게 네 종류의 콕서터 군과 그 부분군으로 분류된다. 콕서터 군은 대합 대칭군 5종, 4차원 정다포체 대칭군 5종, 정다면체 기둥 대칭군 3종, 그리고 무수히 많은 듀오프리즘 대칭군으로 이루어진다.

콕서터 군
분류
바일 군
명칭
Cox[Cox]
대칭 차수
4차원
정다포체
대칭군
(5종)
A4
정오포체 대칭
[3,3,3]
120
D4
반정팔포체 대칭
[3^^1,1,1^^]
192
B4
정십육포체 대칭
[4,3,3]
384
F4
정이십사포체 대칭
[3,4,3]
1152
H4
정육백포체 대칭
[5,3,3]
14400
정다면체
기둥
대칭군 (3종)
A3A1
정사면체 기둥 대칭
[3,3]×[]
48
B3A1
정팔면체 기둥 대칭
[4,3]×[]
96
H3A1
정이십면체 기둥 대칭
[5,3]×[]
240
듀오프리즘
대칭군
I2(p)I2(q)
듀오프리즘 대칭
[p]×[q] = [p,2,q]
4pq
대합
대칭군
(5종)
대칭 없음
[]+
1
반사 대칭
[]
2
2-fold 회전 대칭
[2^^+^^]
2
2-fold 더블 로테이션 대칭
[2^^+^^, 2^^+^^]
2
점대칭
[2^^+^^, 2^^+^^, 2^^+^^]
2


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[1] 아무것도 하지 않은 채 그대로 두나, 수학적 완전성을 위해 필요하다.[2] 1차원일 경우 점, 2차원은 경계선, 3차원은 경계면(평면). 이와 같이 n차원 도형은 n-1차원 공간을 경계로 반사시킨다.[3] 이 조작에 대해 대칭을 갖지 않는 성질을 카이랄성(chirality)이라고 한다. 이는 물리학화학은 물론, 특히 약학에서 중요하게 다뤄지는 성질이다. 극단적인 예시로, 약물 분자의 카이랄성 때문에 발생한 탈리도마이드 사건이 있다.[Scn] A B C 숀플리스(Schönflies) 표기법[Int] A B C 헤르만-모갱(Herrman-Mauguin) 표기법, 또는 국제기호[Cox] A B C D 콕서터(Coxeter) 표기법[4] 대칭 요소가 없거나, 하나밖에 없는 점군.[5] cyclic symmetry[A] A B Cnh와 Dnh는 둘 다 각기둥 대칭이라고 불리나, 서로 다르다. 같은 n이라면 적도에 수직한 면대칭이 있는 Dnh가 더 대칭성이 2배 크다.[6] 독일어로 거울을 뜻하는 Spiegel(슈피겔)에서 따왔다.[7] pyritohedral symmetry. 광물 황철석에서 이름을 따왔다.[8] 회전축에 수직한 평면