자유군
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1. 개요[편집]
自由群 / free group
자유군은 주어진 문자(alphabet)들의 집합[1]으로부터 정의되는 가장 자연스러운 군의 구조이다. 이는 조건을 최소한으로 만족하는 군으로, 이름의 자유(free)는 이런 성질에서 기인한다.
2. 자유군의 이해와 구성[편집]
비어 있지 않은 집합 [math(S)]에 대하여, [math(S)]의 원소들을 나열한 단어(word)라는 개념을 생각할 수 있다. 예를 들어 [math(S = \{ a, b, c \})]라면, [math(abac)], [math(abb)], [math(cabbca)], [math(aaaaaa)] 등이 모두 단어이며 그 개수는 무수히 많다.[2] 물론 우리는 곱셈군의 구조를 생각할 것이므로, 위 단어들을 각각 [math(abac)], [math(ab^2)], [math(cab^2ca)], [math(a^6)] 등으로 적을 수 있다. 이제 이 단어들의 집합을 군으로 이해하려 한다. 군을 구성하기 위해서는 '연산'이 필요한데, 이 단어들의 모임에서 가장 자연스러운 연산은 이어 쓰기(juxtaposition)가 될 것이다. 예를 들어
가 되며, 이어 쓰기가 결합법칙을 만족한다는 사실은 자명하다. 이제 이 단어들의 모임이 온전한 군이 되려면 항등원과 역원을 갖추어야 한다.
우선 항등원의 경우, 연산의 정의를 생각해 볼 때 비어있는 단어(empty word)가 가장 적절해 보인다. 혼동을 방지하기 위해, 비어있는 단어를 [math(1)]로 표시하고[3] 이 군의 항등원으로 정의한다. 실제로,
[math(abac \cdot 1 = abac \cdot \text{\_} = abac = \text{\_} \cdot abac = 1 \cdot abac)]
[3] 이 때문에 [math(1 \notin S)]를 가정하는 편이 좋다.
등이 성립하므로 항등원으로 놓는 것에 문제가 없다.
이제 마지막으로 역원이 필요하다. 그런데 우리의 이어 쓰기 연산은 단어의 길이가 늘어날 뿐, 줄어들지 않는데 이 때문에 문제가 생긴다. 항등원이 비어있는 단어 [math(1)]이므로, 예를 들어 [math(cabbca)]에 어떤 단어를 곱해도 [math(1)]이 되지 않는 것. 이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 집합을 생각한다.
[math(S^{-1} := \left\{ x^{-1} \ \rvert \ x \in S \right\})]
단, 우리가 처음 생각한 집합 [math(S)]가 군이 아니었기 때문에 [math(x^{-1})]와 같은 표현은 그 의미가 명확하지는 않다. 이제 이런 표현들을 단순히 형식적 기호(formal symbol)로 이해하고, 이를 1글자 단어로 포함시킨 후 연산 규칙 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]을 부여한다. 그렇다면
[math(\begin{aligned} cabbca \cdot a^{-1}c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1} & = cabbc \cdot c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1} \\ & = cabb \cdot b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1} \\ & = cab \cdot b^{-1}a^{-1}c^{-1} \\ & = ca \cdot a^{-1}c^{-1} \\ & = c \cdot c^{-1} = 1 \end{aligned})]
이므로 [math(a^{-1}c^{-1}b^{-1}b^{-1}a^{-1}c^{-1})]이 [math(cabbca)]의 역원임을 알 수 있다. 또 [math(ab^{-1}a^2c)]같은 단어의 역원이 [math(c^{-1}a^{-2}ba^{-1})]이 되므로 이런 확장은 문제를 일으키지 않는다.
이제 군의 연산, 항등원, 역원 등이 다 깔끔하게 정의되었지만 한 가지 문제가 남았다. 우리가 군의 개념을 완성하기 위해서 역원에 해당하는 형식적인 기호를 도입했고, 여기서 두 기호 사이의 관계가 정의되었다. 최소한의 조건만을 갖춘 군을 만들려 했지만 그 정의 때문에 조건이 아예 없는 군은 불가능했고, 연산 관계 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]를 갖추어야만 한다는 것.[4] 그렇기 때문에
와 같이, 그 표현이 다름에도 정의상 같은 단어들이 생긴다. 그래서 축약된 단어(reduced word)라는 개념 도입이 필요하다. 그 표현에서 알 수 있듯이, 축약 규칙 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]를 적용하여 단어의 길이를 가장 짧게 만든 것이 축약된 단어이다. 예를 들어, [math(abc^{-2}aa^{-1}c^2)]와 같은 단어의 축약된 단어는 [math(ab)]이다. 이런 축약된 단어는 각 단어마다 유일하게 결정되고, 축약된 단어들끼리의 연산(즉, 이어 쓰기 후 축약하기) 또한 유일하게 정해진다.
최종적으로, 우리는 집합 [math(S)]에 정의된 자유군(free group) [math((\mathcal F_S,\ \cdot \ ))]을 정의했다. 군의 원소들은 형식적 기호 집합 [math(S \cup S^{-1})]의 축약된 단어들의 모임이며, 연산은 이어 쓰기 후 축약하기가 된다. 이는 군으로서 갖춰야 할 최소 조건(결합법칙, 항등원, 역원)만을 가진 군이다. 이에 빗대어 볼 때 이름의 자유(free)는 '연산으로부터 자유롭다(free form relation)'는 의미라고 볼 수 있다.
자유군 [math((\mathcal F_S,\ \cdot \ ))]을 만드는 데에 쓰인 집합 [math(S)]를 생성집합(generating set), [math(S)]의 원소들을 생성원(generator)이라 부른다. 또, [math(\lvert S \rvert = n)]인 경우 [math(\mathcal F_S)] 대신 [math(\mathcal F_n)]의 표현도 사용한다.[5] 단순히 어떤 군 [math(G)]가 군으로서 자유(free as a group)이라고 말하는 경우도 있는데, 이는 [math(G)]가 어떤 자유군과 동형이라는 것을 의미한다. '자유군의 부분군은 항상 자유이다[6]' 같은 식으로 쓴다.
3. 엄밀한 정의[편집]
위 문단에서는 집합 [math(S)]로부터 자연스럽게 자유군 [math((\mathcal F_S,\ \cdot \ ))]를 얻었다. 하지만 이는 자유군의 이해를 위해 상당히 간략화한 정의로, 실제 자유군의 정의와는 다르다. '축약된 단어', '이어 쓰기 후 축약하기' 등이 직관적으로는 그 의미가 명백하고 유일성도 자명하지만, 엄밀한 수학적 논증을 하기에는 부족한 면이 있다. 이럴 때 보편 성질(Universal property)이 필요하다.
이 정의에 의해, 자유군은 군들의 범주(category) [math(\mathcal{Gr})]의 자유 오브젝트(free object)임을 알 수 있다. 자유군의 정의가 바뀌었으니, 자유군의 존재성과 유일성이 문제가 된다.
- 존재성: [math(\mathcal F(S))]를 2번 문단에서 정의한 [math(\mathcal F_S)]로, [math(\imath: S \to \mathcal F_S)]를 포함함수라고 할 때, 어떤 축약된 단어의 함숫값은 거의 당연하게 정해진다. 예를 들어 [math(S = \{x, y, z\})]이고 [math(x^2y^{-1}z \in \mathcal F_S)]라면,
[math(\tilde f(x^2y^{-1}z) = \tilde f(x)^2 \tilde f(y)^{-1} \tilde f(z) = f(x)^2 f(y)^{-1} f(z))]
- 유일성: [math((\mathcal F(S), \imath))]와 [math((\mathcal F'(S), \jmath))]가 모두 [math(S)]로부터 생성된 자유군이라면, 아래 가환 다이어그램을 생각한다.
여기서 [math(\tilde{\imath}: \mathcal F'(S) \to \mathcal F(S))]와 [math(\tilde{\jmath}: \mathcal F(S) \to \mathcal F'(S))]는 각각 [math((\mathcal F'(S), \jmath))]와 [math((\mathcal F(S), \imath))]의 보편 성질로부터 얻어지는 유일한 준동형사상이다. 그러므로 두 사상의 합성 [math(\tilde{\imath} \circ \tilde{\jmath}: \mathcal F(S) \to \mathcal F(S))]를 생각할 수 있고, 이는 [math(\mathcal F(S))] 위의 자기준동형사상이다.
한편 [math((\mathcal F(S), \imath))]의 보편 성질로부터 [math(\imath: S \to \mathcal F(S))]는 준동형사상 [math(\mathcal F(S) \to \mathcal F(S))]를 유도하는데, 이는 그 유일성으로부터 [math(\text{id}_{\mathcal F(S)})] 이어야만 한다. 위 사실과 결합하면, [math(\tilde{\imath} \circ \tilde{\jmath} \equiv \text{id}_{\mathcal F(S)})]. 비슷하게 [math(\mathcal F(S))]와 [math(\mathcal F'(S))]의 역할을 바꾸어 생각하면 [math(\tilde{\jmath} \circ \tilde{\imath} \equiv \text{id}_{\mathcal F'(S)})]를 얻으며, 이 두 사실로부터 두 자유군 [math(\mathcal F(S))]와 [math(\mathcal F'(S))]는 동형임을 알 수 있다.
4. 관련 개념들[편집]
4.1. 군의 표현(group presentation)[편집]
모든 군들은 그 군의 성질을 특징지어주는 몇 개의 등식을 가지고 있다. 예를 들어, 소수 [math(p)]에 대하여 원소가 [math(p)]개인 순환군 [math(G)]를 생각할 수 있다. 이 때 임의의 [math(x \in G)]에 대하여 [math(x^p = 1)]을 만족하며, 이런 등식을 관계(relation)이라고 한다. 군들은 이런 관계 여러개에 의해 특정지어지는데, 이는 아무런 관계가 없는 자유군에 관계를 정의하여 얻어졌다는 관점에서 해석할 수 있다. 즉, 위에서 언급한 소수 순환군 [math(G)]와 같은 경우에는 생성집합이 [math(\{ x \})]인 자유군 [math(\mathcal F(\{ x \}))]에 관계 [math(x^p = 1)], 같은 말로 단어 [math(x^p = xxx \cdots x)]와 항등원 [math(1)]이 그냥 같은 단어라고 정의하여 얻어졌다고 보는 것이다. 이를
[math(G \cong F(\{ x \}) / \langle x^p \rangle = \langle x \ | \ x^p \rangle)]
와 같이 표현하기도 한다. 그런데 과연 모든 군에서 이런 관점을 적용할 수 있을까 의문이 들 수 있는데, 있다!
이 정리와 제1 동형사상 정리로부터, 모든 군을 자유군에 관계를 정의함으로서 얻을 수 있다. 이렇게 자유군에 관계를 주어 군을 표현하는 것을 군의 표현(group presentation)이라고 한다.
아래는 몇몇 군의 표현 예시이다. 더 많은 예시는 Wikipedia 참조.
- 순환군(cyclic group)
[math(\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \left\langle x \ | \ x^n \right\rangle)]
- [math(\mathbb Z/6\mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ x^2 = y^3 = 1, yx = xy \right\rangle)][9]
- 두 순환군의 직합(direct sum)
[math(\mathbb Z \oplus \mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ yx = xy \right\rangle)]
[math(\mathbb Z/m\mathbb Z \oplus \mathbb Z/n\mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ x^m = y^n = 1, yx = xy \right\rangle)]
[math(\mathbb Z/m\mathbb Z \oplus \mathbb Z/n\mathbb Z \cong \left\langle x, y \ | \ x^m = y^n = 1, yx = xy \right\rangle)]
- 정이면체군(dihedral group)
[math(D_{2n} \cong \left\langle x, y \ | \ x^n, y^2, (xy)^2 \right\rangle)]
- 3번째 대칭군(symmetric group)
[math(S_3 \cong D_6 \cong \left\langle x, y \ | \ x^3, y^2, (xy)^2 \right\rangle)]
- 사원수군(해밀턴 군, quaternion group)
[math(Q_8 \cong \left\langle x, y \ | \ x^4 = 1, x^2 = y^2, yx = x^3y \right\rangle)]
4.2. 자유곱(free product)[편집]
군 [math(G_\alpha (\alpha \in I))]들의 자유곱(free product)은 [math(\bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha)]의 원소들로 만들어진 자유군을 의미한다. 그런데 몇 가지 조심해야 할 점이 있다. 우선, 이 군들은 항등원 [math(1_{G_\alpha})]를 가지고 있는데 이들을 전부 같은 문자로 본다. 또, 2번 문단에서 형식적인 기호로 정의했던 [math(x^{-1})]들은 이 [math(x)]가 군의 원소이므로 그 의미가 확실하게 정의됨에 주의해야 한다. 마지막으로, 축약된 단어를 만들 때 축약 규칙 [math(x^{-1} \cdot x = 1 = x \cdot x^{-1})]뿐만 아니라 원래 군의 연산 규칙까지 모두 적용하여 축약을 해야 한다. 이렇게 얻어진 자유곱을 [math({\large *}_{\alpha \in I} G_\alpha)]로 쓰는 것이 일반적이나[10], 범주론적인 의미를 강조하기 위해 [math(\coprod_{\alpha \in I} G_\alpha)]의 표기도 쓰인다.
예를 들어, 두 군 [math(G)]와 [math(H)]의 자유곱은 다음과 같은 원소들로만 이루어져 있다.
[math(g_1h_1g_2h_2 \cdots g_nh_n)]
[math(g_1h_1g_2h_2 \cdots h_ng_{n+1})]
[math(h_1g_1h_2g_2 \cdots h_ng_n)]
[math(h_1g_1h_2g_2 \cdots g_nh_{n+1})]
여기서 [math(g_i \in G - \left\{ 1_G \right\})], [math(h_i \in H - \left\{ 1_H \right\})]. 왜냐하면, 같은 군에 속하는 두 문자가 연달아 나타난다면 이는 두 문자의 연산 결과로 대체되기 때문이다. 또한 중간에 [math(1_G, 1_H)]들이 포함되어 있는 것은 아무런 영향을 주지 못한다.
한편 자유군 [math(\mathcal F(S))]는 [math(S)]의 원소 갯수인 [math(\lvert S \rvert)]만큼의 덧셈군 [math(\mathbb{Z})]의 자유곱으로 볼 수도 있다. 즉 [math(\mathcal F(S) \cong {\large *}_{1 \leq i \leq \lvert S \rvert} \mathbb{Z})]. 이 관점은 가환군화(abelianization)를 할 때 유용하다.
자유곱의 계산은 보기보다 훨씬 복잡하다. 예를 들어, 단순해 보이는 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z * \mathbb Z/2\mathbb Z)]는 유한군조차 아니며, 각 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z)]의 생성원 [math(a, b)]에 대하여 [math(abab\cdots a)]과 같은 원소들도 전부 포함하고 있다. 그렇다고 해서 정수군 [math(\mathbb Z)]와도 동형이 아니며, 실제 계산 결과는 기묘하게도 두 군 [math(\mathbb Z)]와 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z)]의 준직합(semidirect product) [math(\mathbb{Z} \rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z)]가 된다.[11] 원소의 개수가 고작 4개밖에 되지 않는 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z)]와도 비교해 보면 그 난해함이 더욱 잘 느껴진다. 유한군의 자유곱도 이정도로 난해한데, 자유군 [math(\mathcal F_2 = \mathbb Z * \mathbb Z)]와 같은 군들은 후술할 위상수학에서의 응용을 생각하지 않으면 성질을 파악하기조차 힘들다.
자유곱 또한 보편 성질로서 정의가 가능하며, 그 방법은 아래와 같다.
이렇게 새로 정의된 자유곱의 존재성과 유일성 증명은 자유군의 그것과 완전히 똑같이 가능하다. 또한, 범주론적 관점에서 자유곱은 쌍대곱(coproduct)에 대응한다.
4.3. 자유 가환군(free abelian group)[편집]
자유 가환군(free abelian group)은 자유군에 교환법칙만을 조건으로 준 것이다. [math(S = \left\{ x, y, z \right\})]일 때, 위에서 설명한 군의 표현을 떠올려보면
[math(\mathcal F(S) / \langle xy = yx, yz = zy, zx = xz \rangle \\ = \langle x, y, z \ | \ xy = yx, yz = zy, zx = xz \rangle)]
가 될 것이다. 이 군은 자유군에 비해 파악하기가 훨씬 간편한데, 예를 들어 [math(x^2zyx^{-1} = x^2zx^{-1}y = x^2x^{-1}zy = xzy = xyz)]와 같은 관계가 성립하므로 모든 원소를 [math(x^ay^bz^c (a, b, c \in \mathbb Z))]로 표시할 수 있기 때문이다. 가환군의 범주 [math(\mathcal{Ab})]와 [math(\mathbb{Z})]-가군의 범주 [math(\mathcal{Mod}_{\mathbb Z})]는 동형이므로, [math(S)]에 정의된 자유 가환군 원소들은 (더하기 표현을 남용하여)
[math(x^ay^bz^c \approx ax + by + cz \ \ \ \forall a, b, c \in \mathbb Z)]
와 같이 쓸 수 있다.
일반적으로, 집합 [math(S)]위에 주어진 자유 가환군 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S))] 역시 보편 성질로서 정의되며 그 방법은 다음과 같다.
보편 성질로 정의된 자유군의 정의와 거의 같으며, 밑줄을 친 부분만 달라진 것이다. 역시 존재성과 유일성이 문제시 되지만, 위 구성을 참고하면 금방 보일 수 있다. 또한 [math(\mathbb{Z})]-가군의 범주 [math(\mathcal{Mod}_{\mathbb Z})]에서 생각하면,
[math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \cong \left\{ \displaystyle\sum_{g \in G} n_gg \ \biggl| \biggr. \ n_g \in \mathbb{Z}, n_g = 0 \textsf{ almost every }g \in G \right\})]
[13] 정확히 해야 할 필요가 있을 때는 [math((\mathcal F(S), \imath))]를
라 볼 수도 있다.[14] 다만 자유 가환군을 이런 식으로 다룰 때는 우변의 [math(\displaystyle\sum_{g \in G} n_gg)]가 실제 합이 아닌, 형식적인 유한 합으로 보아야 함에 주의해야 한다. 이 때 두 원소의 연산은
[math(\displaystyle\sum_{g \in G} m_gg + \sum_{g \in G} n_gg = \sum_{g \in G} (m_g + n_g)g)]
[14] [math(\textsf{almost every} \Leftrightarrow \textsf{all but finitely many})].
로 주어진다. 물론 거의 모든 [math(m_g)]와 [math(n_g)]가 0이므로, [math(m_g + n_g)]도 거의 모두 0이고 이 연산이 잘 정의됨은 명백하다. [math(S)]가 유한집합이라면, 거의 모두 0인지 여부를 신경 쓸 필요가 없으므로 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \cong \mathbb Z^{\lvert S \rvert})]라 봐도 무방하다.[15]
한편, 가환 다이어그램을 적절히 활용하면 다음 사실을 증명할 수 있다. 이는 관계의 관점에서 보았을 때, 자유 가환군은 자유군에 교환법칙만을 추가하여 얻어진다는것을 의미한다.
참고로 자유군에는 자유곱이 있는것처럼, 자유 가환곱 이라는 것도 존재한다. 다만, 곱해지는 대상의 수가 유한할 경우 이 자유 가환곱이라는건 딱히 의미가 없는데, 아벨군의 범주가 아벨 범주이기 때문에 자유곱과 직접곱이 똑같아지기 때문이다. 즉, 유한한 수의 자유 가환곱을 계산할때는 그냥 그것들의 직접곱을 계산하기만 하면 된다. 다만, 무한한 수의 자유곱은 직접곱과 다를 수 있기에, 이 점을 유의해야 한다.
5. 자유군의 쓰임새[편집]
자유군은
5.1. 위상수학[편집]
대수학에서의 취급과는 다르게, 자유곱은 정말 뜬금없이 위상수학에서 등장한다. 그것도 상당히 중요한 개념인 공간의 기본군(fundamental group)을 계산할 때 필요한 내용. 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)에 따르면, 기본군이 [math(G, H)]인 두 공간을 한 점에서 이어붙인 공간의 기본군은 자유곱 [math(G * H)]이다.
또한 덮개 공간(covering space)을 생각하면, 고리가 2개 연결된 8자 모양을 고리가 5개인 모양으로 잘 덮어서 [math(\mathcal F_2)] 안에 [math(\mathcal F_5)]를 집어넣을 수도 있고, 더욱 나아가 위에서 언급한 Nielsen–Schreier 정리(자유군의 부분군은 항상 자유이다)를 증명할 수도 있다.
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-15 09:35:12에 나무위키 자유군 문서에서 가져왔습니다.[15] 다만 무한집합의 경우에는 [math(\mathcal F_{\mathrm{ab}}(S) \not \cong \mathbb Z^{\lvert S \rvert})].[16] 위의 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z * \mathbb Z/2\mathbb Z)]만 보아도..