잉여역수

1. 개요[편집]

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[math(a)]가 하나의 정수일 때, 법[1] n에 대한 a의 잉여역수(arithmethic inverse) 란 aa'를 n으로 나눈 나머지가 1임을 만족하는 수 a'를 말한다. 이는 윌슨의 정리 증명 시 사용되는 개념이다. 잉여역원이라고도 한다.

법 n이 소수일 경우, 페르마의 소정리 및 확장된 유클리드 호제법을 응용한 방법으로 잉여역수를 구할 수 있다.

2. 일반항[편집]

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[math(a')]가 법 [math(n)]에 대한 [math(a)]의 잉여역수일 때, [math(aa'=kn+1)]([math(k)]는 정수)이므로 [math(\displaystyle a'=\frac{1+kn}{a})]([math(k)]는 정수)가 성립하며, 이것이 일반항이라고 할 수 있다. 따라서 잉여역수의 일반항을 수열이라고 하면 이것은 등차수열이다. 예를 들어 법 [math(5)]에 대한 [math(3)]의 잉여역수는 [math(3a')]를 [math(5)]로 나눈 나머지가 [math(1)]인 수 a'로, [math(\displaystyle a'=\frac{1+5k}{3})](k는 정수)꼴이며, k=1일 때 a'=2가 한 예이다.

3. 성질[편집]

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서로소인 두 정수 a([math(\not=0)]), n에 대하여 법 n에 대한 a의 잉여역수는 법 n에 대한 완전잉여계에 유일하게 존재한다.

3.1. 존재성[편집]

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명제의 역도 성립한다. 즉, a와 n이 서로소이면 [math(aa'=1)] (mod n)을 만족하는 정수 a'이 존재한다.

증명
베주 항등식에 의해 ax+ny=1을 만족하는 정수 x, y가 존재한다. 따라서 [math(ax\equiv 1)] (mod n)
역으로 [math(aa'\equiv 1)] (mod n)이면 aa'-kn=1을 만족하는 정수 k가 존재하므로 베주 항등식에 의해 gcd(a, n)=1이다.

3.2. 유일성[편집]

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이제 유일성을 보이자. c, d가 법 n에 대한 a의 잉여역수라고 하자. 잉여역수의 정의에 의해 [math(ac\equiv ad\equiv 1)](mod n)이므로 [math(ac-ad=a(c-d)\equiv 0)] (mod n)임을 알 수 있다. 합동식의 정의에 의해 n|a(c-d)이고, gcd(a, n)=1이므로 [math(n|c-d)]을 얻는다. 따라서 c와 d를 n으로 나눈 나머지는 서로 같다. 즉, [math(c\equiv d)] (mod n)이므로 법 n에 대한 a의 잉여역수는 법 n에 대한 완전잉여계에 유일하게 존재한다. 이것을 잉여역수의 유일성이라고 한다.