덤프버전이 더 최근에 편집되었을 수 있습니다. > 덤프판 보기
노름공간
최근 편집일시 :
Normed Space
1. 개요[편집]
노름공간(노름벡터공간, 노름선형공간)은 각 원소에 크기 또는 길이를 부여할 수 있는 벡터공간이다. 각 원소에 크기를 부여하는 함수를 노름(Norm)[1] 이라고 한다. 노름은 두 원소 사이의 거리를 자연스럽게 유도하여, 노름공간은 거리공간이다.
2. 정의[편집]
2.1. 노름[편집]
체 [math(\mathbb{K\in\{R,\ C\}})] 위의 벡터공간 [math(X)]에 대하여 다음을 만족시키는 사상 [math(\|\cdot\|:X \rightarrow [0,\ \infty))]를 [math(X)] 위의 반노름(seminorm)이라고 한다.
- (양의 동차성) 모든 [math(x\in X)]와 [math(a\in \mathbb{K})]에 대하여 [math(\|ax\| = |a|\cdot\|x\|)]
- (삼각부등식) 모든 [math(x,\ y\in X)]에 대하여 [math(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|)]
- (양의 정부호성) [math(\|x\|=0)]이면 [math(x=0)]이다.
모든 [math(x\in X)]에 대하여 [math(C_1 \|x\|_2\le\|x\|_1\le C_2\|x\|_2)]
2.2. 노름공간[편집]
노름이 부여된 [math(\mathbb{K})]-벡터공간을 [math(\mathbb{K})]-노름공간(노름벡터공간, 노름선형공간)이라고 한다. 노름공간 [math(X)]의 벡터 [math(x,\ y)]에 대하여 [math(\rho(x,\ y)=\|x-y\|)]로 정의된 함수 [math(\rho:X\to[0,\ \infty])]는 [math(X)] 위의 거리함수로, 노름공간 [math(X)]에 거리위상을 부여한다. 이러한 위상을 [math(X)]의 노름위상이라고 한다. 이 문서에서 특별한 언급이 없는 경우 노름공간은 노름위상이 부여된 위상벡터공간을 의미한다. 동치인 두 노름은 동치인 거리를 유도하여 노름공간에 동일한 노름위상을 부여한다. 노름위상에서 완비성을 갖춘 노름공간을 바나흐 공간(Banach Space)이라고 한다.
2.3. 연속 쌍대공간[편집]
두 노름공간 [math(X,\ Y)] 사이의 선형사상 [math(T:X\to Y)]에 대하여 임의의 [math(x\in X)]에서 [math(\|Tx\|\le C\|x\|)]를 만족시키는 [math(C\ge0)]가 존재할 경우, 선형사상 [math(T)]를 유계라고 한다. 이는 [math(T)]가 연속사상임과 동치이다. [math(X)]에서 [math(Y)]로의 모든 유계 선형사상의 공간을 [math(L(X,\ Y))]로 나타낸다. [math(L(X,\ Y))]는 다음과 같은 연산자 노름이 부여된 노름벡터공간이다.
[math(\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}\\
&=\sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:x\ne0\right\}\\
&=\inf\{C:\|Tx\|\le C\|x\|\text{ for all }x\}
\end{aligned})]
&=\sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:x\ne0\right\}\\
&=\inf\{C:\|Tx\|\le C\|x\|\text{ for all }x\}
\end{aligned})]
[math(\mathbb{K})]-벡터공간 [math(X)]에 대하여 [math(X)]에서 [math(\mathbb{K})]로의 선형사상을 선형범함수라고 한다. [math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]에 대하여 연속선형범함수 공간 [math(X^*=L(X,\ \mathbb{K}))]를 [math(X)]의 연속 쌍대공간(Continuous Dual Space)이라고 한다. 자명하지 않은 연속선형범함수의 존재성은 한-바나흐 정리에 의해 보장된다.
3. 연산[편집]
3.1. 곱노름공간[편집]
두 노름공간 [math(X,\ Y)]의 직합 [math(X\oplus Y)]에 다음과 같은 곱노름을 부여하면 벡터공간 [math(X\oplus Y)]은 노름공간을 이룬다.
[math(\|(x,\ y)\|=\max(\|x\|,\ \|y\|))]
이는 [math(\|(x,\ y)\|=\|x\|+\|y\|)] 또는 [math(\|(x,\ y)\|=\sqrt{\|x\|^2 +\|y\|^2})]등과 동치이다.
3.2. 몫노름공간[편집]
[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]의 닫힌 [math(\mathbb{K})]-부분공간 [math(W)]에 대하여 몫공간 [math(X/W)]에 다음과 같은 몫노름을 부여하면 벡터공간 [math(X/W)]는 노름공간을 이룬다.
[math(\displaystyle\|x+W\|=\inf_{w\in W}\|x+w\|)]
노름공간 [math(X)]와 부분공간 [math(W)]에 대하여 몫공간 [math(X/W)]가 노름공간을 이루기 위해서는 [math(W)]가 [math(X)]의 닫힌집합이어야 한다. [math(X)]의 부분공간 [math(W)]의 폐포 [math(\overline{W})]는 [math(X)]의 부분공간이므로 [math(W)]가 닫힌집합이 아닌 경우 그 폐포를 취하여 몫노름공간을 얻을 수 있다.
벡터공간 [math(X)] 위의 반노름 [math(\|\cdot\|)]에 대하여 [math(X)]의 닫힌 부분공간 [math(W=\{x\in X:\|x\|=0\})]의 몫공간 [math(X/M)]은 노름 [math(x+W\mapsto \|x\|)]이 부여된 노름공간이다. 이 방법은 [math(L^p)]공간을 구성할 때 활용된다.
4. 성질[편집]
4.1. 연산과 노름의 연속성[편집]
[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]는 위상벡터공간으로 덧셈 [math(+:X\times X\to X )]과 스칼라곱 [math(\cdot:\mathbb{K}\times X \to X)]은 모두 연속사상이다. [math(X)]의 노름 [math(\|\cdot\|)]에 대하여 부등식 [math(\left|\|x\|-\|y\|\right|\le \|x-y\|)]가 성립하므로 노름 또한 [math(X)]의 연속사상이다.
증명 [math(\|x\|=\|x-y+y\|\le \|x-y\|+\|y\|)]에서 [math(\|x\|-\|y\|\le \|x-y\|)]이고 [math(\|y\|=\|x-x-y\|\le\|x-y\|+\|x\|)]에서 [math(-(\|x\|-\|y\|)\le\|x-y\|)]이므로 [math(|\|x\|-\|y\||\le \|x-y\|)]이다. 임의의 [math(\epsilon>0)]이 주어졌을 때, [math(\delta=\epsilon)]이라 하면 [math(\|x-y\|<\delta)]일 때,
[math(|\|x\|-\|y\||\le \|x-y\|<\delta=\epsilon)]
}}}이므로 노름은 연속사상이다.
4.2. 국소적 볼록공간[편집]
[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]는 노름공간은 국소적 볼록 공간이다. 노름 [math(\|\cdot\|)]은 [math(X)]의 볼록함수다.
반대로 볼록성은 삼각부등식을 함의한다. 따라서 양의 동차성과 양의 정부호성을 만족시키는 볼록 실함수는 노름이다. 노름공간은 거리공간으로 하우스도르프 공간이므로, 노름공간은 국소적 볼록 하우스도르프 공간이다.
4.3. 완비성[편집]
노름공간 [math(X)]의 점렬 [math((x_n))]에 대하여 [math(\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|)]이 수렴하면 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)]를 절대수렴하는 급수라고 한다. 절대수렴성 급수의 수렴은 노름공간의 완비성과 동치이다.
증명 바나흐 공간 [math(X)]의 절대수렴 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)]에 대하여 점렬 [math((S_N))]을 [math(S_N=\sum_{n=1}^{N}x_n)]으로 정의하면 [math(N,\ M\to\infty\ (N>M))]일 때,
두 노름공간 [math(X,\ Y)] 사이의 연속 선형사상 공간 [math(L(X,\ Y))]의 완비성은 [math(Y)]에 의해 결정된다. 즉, [math(Y)]가 완비공간이면 [math(L(X,\ Y))]도 완비공간이다. 이에 따라, 노름공간 [math(X)]의 연속 쌍대공간 [math(X^*)]는 바나흐 공간이다. 한-바나흐 정리에 의해 노름공간 [math(X)]의 영이 아닌 각 벡터 [math(x)]에 대하여 [math(T(x)=\|x\|,\ \|T\|=1)]을 만족시키는 [math(T\in X^*)]가 존재한다. 선형범함수 [math(\widehat{x}:X^*\to\mathbb{C})]를 [math(\widehat{x}(T)=T(x))]로 정의하면 [math(\widehat{x})]는 [math(X^{**})]에 속하며, [math(x)]를 [math(\widehat{x})]로 대응시키는 사상은 [math(X)]와 [math(X^{**})]의 부분집합 사이의 등거리 변환을 이룬다. [math(X^{**}=L(X^*,\ \mathbb{K}))]는 완비공간이므로 [math(X^{**})]의 부분집합 [math(\widehat{X}=\{\widehat{x}:x\in X\})]의 폐포 [math(\overline{\widehat{X}})]는 [math(X^{**})]에 포함되며, [math(\overline{\widehat{X}})]를 [math(X)]의 완비화라고 한다. [math(X)]가 유한차원인 경우 [math(\widehat{X}=X^{**})]이지만, 이는 일반적으로 참이 아니다. [math(\widehat{X}=X^{**})]를 만족시키는 노름공간 [math(X)]를 반사적이라고 한다.[math(\displaystyle\|S_N -S_M\|\le \sum_{M+1}^N\|x_n\|\to 0)]
}}}이므로 점렬 [math((S_N))]은 코시열로 수렴한다. 즉, 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)]는 수렴한다. 반대로, 노름공간 [math(X)]의 모든 절대수렴 급수가 수렴한다고 가정하면 [math(X)]의 코시열 [math((x_n))]에 대하여 각 [math(k\in \mathbb{N})]가 주어졌을 때 [math(m,\ n\ge n_k)]이면 [math(\|x_m -x_n\|<2^{-k})]를 만족시키는 [math(n_k\in\mathbb{N})]가 존재한다. [math(X)]의 점렬 [math((y_k))]를 [math(y_1=x_1)], [math(y_k=x_{n_k}-x_{n_{k-1}}\ (k>1))]로 정의하자. 그러면 [math(\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\sum_{k=1}^{\infty}y_k)]이고
[math(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\|y_k\|\le \|y_1\|+\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=\|x_1\|+1<\infty)]
}}}이므로 [math((x_n))]은 수렴한다. 즉, [math(X)]는 바나흐 공간이다.
4.4. 약한 *-위상[편집]
노름공간 [math(X)]와 [math(X)]의 연속 쌍대공간 [math(X^*)]에 대하여 [math(X^*)]로 생성된 [math(X)]의 약위상을 약한 위상이라고 한다. 반대로 [math(X^*)]에 [math(X^{**})]로 생성된 [math(X^*)]의 약한 위상을 고려할 수 있다. [math(X)]를 [math(X^{**})]의 부분공간으로 볼 때, [math(X^*)]에 [math(X)]로 생성된 약한 위상을 부여할 수 있다. 이를 [math(X^*)]의 약한 *-위상(약한 스타 위상)이라고 한다. [math(X^*)]의 약한 *-위상은 약한 위상보다 더 약하며, [math(X)]가 반사적일 경우 두 위상은 서로 같다. [math(X^*)]의 단위구는 노름위상에서 컴팩트가 아닐 수 있지만, 약한 *-위상에서는 컴팩트이다.
단, 이는 연속 쌍대공간 [math(X^*)]가 컴팩트 공간 또는 국소 컴팩트 공간임을 보장하지 않는다.
4.5. 함의 관계[편집]
내적이 정의되면 노름은 그 내적에서 [math(\lVert x\rVert:= \sqrt{\langle x,\ x\rangle})]에 의해 자연스럽게 정의된다. 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 노름이 있다고 해서 그에 자연스럽게 대응되는 내적이 항상 존재하는 것은 아니다. [math(p\neq2)]일 때, [math(L^p)] 노름은 내적으로 정의될 수 없다.
노름공간은 거리공간이며, 노름을 이용해 위와 같은 '자연스러운' 거리함수(the norm-induced metric) 뿐만 아니라 다른 거리함수도 만들 수 있다. [math(d(x,\ y):= \lVert x\rVert + \lVert y \rVert)] 라 정의하고, 단 [math(x=y)]일 때 [math(d(x,\ y)= 0)]라 하면, 이것도 거리함수의 공리를 만족하며, 흔히 우체국 거리(post office metric)라고 불린다. [math(d(\bold{x}, \bold{y}))]를 [math(\bold{x})]에서 [math(\bold{y})]로 편지를 보낼 때 원점의 우체국을 거쳐 편지가 이동하는 거리로 파악할 수 있기 때문이다.
그러나 거리공간은 노름공간이 아닐 수 있다. 즉, 거리함수가 있다고 해서 그에 자연스럽게 대응하는 노름이 항상 존재하는 것은 아니다.
이상을 종합하면 다음과 같다.
[math(\mathbb{K})]-내적공간[math(\Longrightarrow\mathbb{K})]-노름공간[math(\Longrightarrow)]거리공간
5. 예시[편집]
- 유한차원 노름공간
유한차원 벡터공간의 모든 노름은 동치다.
[증명] - 유한차원 [math(\mathbb{K})]-벡터공간 [math(V)]의 벡터 [math(a\in V)]와 기저 [math(\{e_1,\ldots,\ e_n\})]에 대하여 [math(a=\sum_{k=1}^n a_ke_k~(a_1,\ \ldots\ a_n\in\mathbb{K}))] 라고 하면 [math(\|a\|_1=\|\sum_{k=1}^n a_ke_k\|_1=\sum_{k=1}^n |a_k|)]는 [math(V)]의 노름이다. 벡터공간 [math(V)]의 노름 [math(\|\cdot\|)]에 대하여 [math(N=\max\{\|e_1\|,\ \ldots\ ,\ \|e_n\|\})]이라 하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(\|x-a\|_1<\epsilon/N)]일 때[math(\displaystyle\begin{aligned}|\|x\|-\|a\||&\le\left\|\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)e_k\right\|\\
&\le\sum_{k=1}^n|x_k-a_k|\|e_k\|\\
&\le \|x-a\|_1 \cdot N<\epsilon\end{aligned})]
이므로 노름 [math(\|\cdot\|)]은 위상공간 [math((V,\ \|\cdot\|_1))]의 연속사상이다. 유클리드 공간 [math(\mathbb{K}^n)]에서 노름공간 [math((V,\ \|\cdot\|_1))]로의 사상 [math((a_1,\ \ldots\ ,\ a_n)\mapsto \sum_{k=1}^n a_ke_k)]을 [math(T)]라고 하자. 각 [math(A=(a_1,\ \ldots\ ,\ a_n)\in \mathbb{K}^n)]에 대하여 임의의 [math(\epsilon>0)]이 주어졌을 때 [math(\delta=\epsilon/n)]이라 하면 [math(\|X-A\|<\delta)]일 때 각 [math(k(1\le k \le n))]에 대하여 [math(|x_k-a_k|<\delta=\epsilon/n)]이다. 따라서[math(\displaystyle\begin{aligned}\|T(X)-T(A)\|_1&=\left\|\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)e_k\right\|_1\\
&=\sum_{k=1}^n|x_k-a_k|\\
&<n\cdot \frac{\epsilon}{n}=\epsilon\end{aligned})]
으로, [math(T)]는 연속사상이다. 집합 [math(D=\{(a_1,\ \ldots \ ,\ a_n)\in\mathbb{K}^n:\sum_{k=1}^n|a_k|\})]는 [math(\mathbb{K}^n)]의 유계 닫힌집합으로, 컴팩트 집합이다. 따라서 [math(T(D)=\{x\in X:\|x\|_1=1\})]는 [math((X,\ \|\cdot\|_1))]의 컴팩트 집합이다. 노름 [math(\|\cdot\|)]은 위상공간 [math((V,\ \|\cdot\|_1))]의 연속사상이므로 [math(\|T(D)\|)]의 최댓값 [math(M)]과 최솟값 [math(m)]이 존재한다. 따라서 임의의 [math(x(\ne0)\in V)]에 대하여 [math(m\le \|x/\|x\|_1\|\le M)]으로, [math(m\|x\|_1\le\|x\|\le M\|x\|_1)]이다. 즉, 노름 [math(\|\cdot\|)]와 [math(\|\cdot\|_1)]은 동치다.
- 유클리드 공간의 노름
유클리드 공간 [math(\mathbb{R}^n)]에 부여된 다음 노름은 모두 동치인 노름으로, 유클리드 위상을 유도한다.
[math(\displaystyle \left\|\bold{x}\right\|_p = \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots + |x_n|^p} = \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \right)^{1/p}~(p\ge1))]
n차원 유클리드 공간에서의 노름은 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부르고 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle \left\|\bold{x}\right\|_2 = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2} = \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} {x_k}^2 })]
유클리드 노름은 평행선 법칙을 만족시켜, 내적으로부터 유도된 노름이다.- 택시 노름([math(L^1)])
[math(L^p)] 노름에서 [math(p=1)]인 경우 택시 노름(맨해튼 노름, Taxicab norm, Manhattan norm)이라고 한다.
[math(\left\|\bold{x}\right\|_1 = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} {|x_k|})]
유클리드 평만 위의 두 점 사이의 최단거리는 유클리드 노름으로 계산하지만, 만약에 그 사이에 밑면의 한 변의 크기가 1인 정사각형 모양의 빌딩이 있고 田자 모양의 도로망이 있을 때에는 ㄱ자 형태로 가로 1, 세로 1만큼, 총 2의 거리를 가야 한다. 이 거리를 계산하는 방법이 택시 노름이다. 맨해튼의 도로 구조가 위와 같이 격자 모양에 가까워 다른 이름이 맨해튼 노름인 것. 당연히 여기서 유도되는 거리함수 이름은 택시 거리 함수(Taxicab metric) / 맨해튼 거리 함수(Manhattan metric)이다. 머신러닝이나 통계학을 전공한다면 L1 정규화(L1 regularization)라는 개념으로 자주 마주치게 될 것이다. 택시 기하학 문서 참고- 상한 노름([math(L^\infty)])
[math(L^p)] 노름에서 [math(p)]를 무한대로 보내면 얻는 노름이다.
[math(\left\|\bold{x}\right\|_{\infty} = \max(|x_1|, |x_2|, \cdots, |x_n|) )]
주어진 성분 중 최댓값을 노름으로 삼는 방식이다. 상한 거리 함수, 혹은 최대 거리 함수(max metric)가 이 노름에서 정의된다. 하한은 반노름을 이룬다.측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]의 가측함수 [math(f)]와 실수 [math(p\in [0,\ \infty))]에 대하여
[math(\displaystyle \|f\|_p=\left[\int |f|^p d\mu\right]^{1/p})]
는 함수공간 [math(\mathcal{L}^p(X,\ \mathcal{M},\ \mu)=\{f:X\to\mathbb{C}:f\text{ is measurable and }\|f\|_p<\infty\})]의 반노름이다. 따라서 함수공간 [math(\mathcal{L}^p)]의 부분집합 [math(W=\{f:f(x)=0\text{ a.e. }x\in X\}=\{f:\|f\|_p=0\})]
에 대한 상공간 [math(L^p=\mathcal{L^p}/W)]은 노름공간이다. 특히 르베그 적분은 함수열의 수렴성을 보존하므로 [math(L^p)]는 바나흐 공간이다. [math(p=2)]인 경우, [math(L^2)]노름은 내적으로부터 유도된 노름으로 [math(L^2)]는 힐베르트 공간이다. [math(0- 복소측도 공간
가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))] 위의 복소측도의 공간을 [math(M(X))]에 노름 [math(\|\mu\|=|\mu|(X))]을 부여하면 [math(M(X))]는 바나흐 공간이다.
6. 둘러보기 틀[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-10-25 19:41:35에 나무위키 노름공간 문서에서 가져왔습니다.