Lp 공간

[math(L^p)]-space, Lebesgue space

1. 개요[편집]

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[math(L^p)]공간(르베그 공간)은 측도공간에서 절댓값의 [math(p)]제곱이 르베그 적분 가능한 함수의 공간이다. 이때, 거의 어디에서나 같은 함수들은 동일한 함수로 본다. [math(p\ge1)]일 때 [math(L^p)] 공간은 완비 노름공간, 즉 바나흐 공간이다. 특히 [math(p=2)]일 때에는 완비 내적공간, 즉 힐베르트 공간이다.

2. 정의[편집]

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2.1. p∈[1, ∞)인 경우[편집]

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측도공간 [math( (X,\ \mathcal{M},\ \mu) )]와 실수 [math(p\in[1,\ \infty))]가 주어졌을 때, 보렐 가측함수 [math(f : X \rightarrow \mathbb{K}\ (\mathbb{K\in\{R,\ C\}}))]에 대하여
라고 하자. 함수공간 [math(\mathcal{L}^p(X,\ \mathcal{M} ,\ \mu))](또는 [math(\mathcal{L^p(\mu),\ L^p})])를 [math(\mathcal{L^p}:= \left\{ f : \|f\|_p <\infty \right\})]로 정의하면 [math(\mathcal{L^p})]는 벡터공간이다. 민코프스키 부등식에 의해 [math(\|\cdot\|_p)]는 [math(\mathcal{L^p})]의 반노름을 이루므로 [math(\mathcal{L^p})]의 부분공간 [math(\mathcal{N}=\{f\in\mathcal{L^p}:\|f\|_p=0\}=\{f\in\mathcal{L^p}:f=0 \text{ a.e. }x\in X\})][1]에 대한 상공간 [math(L^p=\mathcal{L^p/N})]은 [math(\|\cdot\|_p)]를 노름으로 갖는 노름공간이다. 노름공간 [math(L^p)]를 [math(L^p)] 공간 또는 르베그-[math(p)] 공간이라고 하며, 노름 [math(\|\cdot\|_p)]를 [math(L^p)]-노름 또는 르베그 노름이라고 한다.

2.2. p=∞인 경우[편집]

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[math(p=\infty)]인 경우 [math(\|f\|_\infty)]를 다음과 같이 정의한다.
[math(p\in [1,\ \infty))]일 때와 마찬가지로 [math(\|\cdot\|_\infty)]는 [math(\mathcal{L^\infty})]의 반노름이며, [math(L^\infty)]공간은 [math(\mathcal{L^\infty})]에 대한 거의 어디에서나 [math(0)]인 함수공간의 상공간으로 정의된다. [math(L^\infty)] 노름은 본질적 상한(essential supremum)이라고 하며 [math(\|f\|_\infty=\textrm{ess}\sup_{x\in X}|f(x)|)]으로 나타낸다. 본질적 상한은 함수의 최대값을 측도공간에 맞추어 일반화한 개념이다.

2.3. p∈(0, 1)인 경우[편집]

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[math(p\in(0,\ 1))]인 경우 [math(\|\cdot\|_p)]는 삼각부등식을 만족시키지 못하여 [math(L^p)]공간은 노름공간이 아니지만, 완비 준노름(quasinorm) 공간이다.

이 문서에서는 별도의 서술이 없으면 [math(p \in [1, \infty])]인 경우를 다룬다.

3. 성질[편집]

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3.1. Lp 노름의 성질[편집]

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[math(L^p)]-노름은 로그-볼록(log-convex)이다. 즉 [math(p>1)]에 대해 [math(\log \|f\|_{p})]는 볼록함수이다.

3.2. 완비성[편집]

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[math(L^p)]-공간은 완비성을 갖춰 바나흐 공간이다. 특히, [math(L^2)]-노름은 내적으로부터 유도할 수 있어 [math(L^2)]-공간은 완비 내적 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)이 된다. 단순함수, 연속함수, 매끄러운 함수(smooth functions)들의 집합 등은 [math(L^p)]의 조밀한 부분집합을 이룬다.

3.3. Lp 공간 사이의 관계[편집]

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일반적으로 [math(L^p)]공간 사이에는 포함관계가 없다. 르베그 측도공간 [math((0,\ \infty))] 위의 함수 [math(f_a(x)=x^{-a}(a>0))]에 대하여 [math(f_a\chi_{(0,\ 1)}\in L^p)]일 필요충분조건은 [math(p<a^{-1})]이고 [math(f_a\chi_{(1,\ \infty)}\in L^p)]의 필요충분조건은 [math(p>a^{-1})]이다. 따라서 [math(p<q)]일 때 [math(p<a^{-1}<q)]이면 [math(f_a\chi_{(0,\ 1)})]는 [math(L^p)]의 원소이지만 [math(L^q)]의 원소가 아니며, [math(f_a\chi_{(1,\ \infty)})]는 [math(L^q)]의 원소이지만 [math(L^p)]의 원소가 아니다. 즉, [math(L^p)]공간과 [math(L^q)]공간 사이에 포함관계가 성립하지 않는다. 단, [math(\mu)]가 유한측도인 경우 [math(p<q)]일 때 [math(L^p\supset L^q)]와 [math(\|f\|_p \le \|f\|_q \mu (X)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}})]가 성립한다. 이에 따라 유한측도에서 [math(L^{\infty})]-노름은 [math(p \rightarrow \infty)]일 때 [math(L^p)]-노름의 극한이 된다.

[math(L^p)] 공간 사이의 단순한 포함관계는 일반적으로 성립하지 않으나, [math(1 < p_1 < q < p_2)]에 대하여 [math(L^{p_1} \cap L^{p_2} \subset L^q \subset L^{p_1} + L^{p_2})]가 성립한다. 이와 같은 [math(L^p)]공간의 포함 관계에 따라 [math(L^p)]공간 위의 작용소의 보간이 가능하다.

3.4. 쌍대성[편집]

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[math(1 < p<\infty)]에 대해 [math(L^p)]의 쌍대공간은 [math(L^q)]로 주어진다. 여기서 [math(q)]는 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]을 만족하는 횔더 부등식에 등장하는 양수로, 보통 횔더 켤레(Holder conjugate)라 불린다. 이 쌍대성은 [math(L^1)]과 [math(L^{\infty})]에선 성립하지 않는데, [math((L^1)^{*} = L^{\infty})]이지만 [math((L^{\infty})^{*} \neq L^1)]이기 때문이다. 이에 따라 [math(1<p<\infty)]일 때 [math(L^p)]공간은 반사적이다.

4. 적용[편집]

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편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 [math(L^1, L^2, L^{\infty})] 정도일 것이다.

이 중 [math(L^2)] 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, [math(L^p)] 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 [math(L^2)]이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[2]는 특정 가중치가 주어진 변형된 [math(L^2)] 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 [math(L^2)]는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 [math(L^2)] 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[3], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.

[math(L^1)]과 [math(L^{\infty})] 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 [math(L^2)]보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 [math(L^2)]보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 [math(L^1)]이나 [math(L^{\infty})] 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 [math(L^2)] 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 [math(L^2)] 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, [math(L^1)]이나 [math(L^{\infty})] 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.

확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 [math(L^n)]을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 [math(L^2)]를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.

푸리에 변환은 [math(1 \le p \le 2)]이면 [math(L^p \rightarrow L^q)] 위에서 잘 정의되며, 특별히 [math(L^2 \rightarrow L^2)] 범위에서는 동형사상(isomorphism)이 된다.

해석학 내에선 [math(L^p)] 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 [math(L^p)]에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 특정 편미분방정식을 전공하지 않는 한 대부분의 사람들이 [math(p=1,2,\infty)]가 아닌 다른 특정한 차수의([math(L^3)], [math(L^4)] 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다.